1 Alg`ebre linéaire

3. Si ρ est de la forme ρ = |ψ〉〈ψ| alors ρ est un état pur. Sinon ρ est un étatimpur.4. Si ρ est un état pur alors tr(ρ 2 ) = 1. Si ρ est un état impur alors tr(ρ 2 ) < 1.5. Un opérateur unitaire appliqué à un opérateur de densité agit ainsiρ = ∑ ip i |ψ i 〉〈ψ i |U−−−−→ ∑ ip i U |ψ i 〉〈ψ i | U † = UρU † .6. Une mesure agit ainsi sur un opérateur de densitép(m|i) = 〈ψ i | M † mM m |ψ i 〉 = tr ( M † mM m |ψ i 〉〈ψ i | )et doncp(m) = ∑ ip(m|i)p i = tr ( M † mM m ρ ) .L’état résultant advenant le résultat m est décrit par∑iρ m =M m |ψ i 〉〈ψ i | M m( ) † = M mρM m(† ).tr M mM † m ρ tr M mM † m ρ7. L’opérateur de densité associé à l’état résultant d’une mesure dont on auraitoubliée le résultat est décrit parρ = ∑ mp(m)ρ m = ∑ mM m ρM † m.8. Deux mixtures, {p i , |ψ i 〉} et {q j , |φ j 〉}, génèrent le même opérateur de densitési et seulement s’il existe un opérateur unitaire U tel que√pi |ψ i 〉 = ∑ ju ij√qj |ϕ j 〉 .6