1 Alg`ebre linéaire

Dernière version : 9 février 20061 Algèbre linéaire1. Théorème 1.1 (Inégalité de Cauchy-Schwartz) Pour tous vecteurs |v〉 et|w〉 on a |〈v|w〉| 2 = 〈v|w〉 〈w|v〉 〈v|v〉 〈w|w〉.2. Un opérateur A est dit adjoint, ou conjugué Hermitien, sioù A † = (A ∗ ) T .(|v〉 , A |w〉) = (A † |v〉 , |w〉)3. Un opérateur A est Hermitien s’il est son propre Conjugué Hermitien : A † =A.4. Si |i〉 forment une base orthonormale de W, alors P = ∑ i|i〉〈i| est un projecteursur l’espace W.5. Tout projecteur est Hermitien P = P † .6. Si P est un projecteur, alors Q = I − P est aussi un projecteur.7. Pour tout projecteur P = P 2 .8. Un opérateur A est dit normal si AA † = A † A.9. Théorème 1.2 (Décomposition spectrale) Un opérateur A ∈ C n est normalsi et seulement s’il peut être écrit ainsiA = ∑ iλ i |ψ i 〉〈ψ i |où les λ i sont des nombres complexes et les |ψ i 〉 forment une base orthonormalede C n .10. Les opérateurs Hermitiens sont aussi normaux.11. Un opérateur Hermitiens A a pour décomposition spectrale A = ∑ i λ i |i〉〈i|où ∀i, λ i ∈ R.12. Un opérateur normal A est hermitien ⇐⇒ A n’a pour valeurs propres quedes nombres réels.13. Un opérateur U est dit unitaire si et seulement si UU † = I.1

14. Un opérateur unitaire est normal : UU † = U † U = I.15. Un opérateur unitaire A a pour décomposition spectrale A = ∑ i λ i |i〉〈i| où∀i, λ i ∈ C et |λ i | = 1.16. Un opérateur unitaire U préserve le produit scalaire :(U |v〉 , U |w〉) = (|v〉 , |w〉) = 〈v|w〉17. Tout opérateur unitaire a pour représentation U = ∑ i |w i〉〈v i | où |w i 〉 et |v i 〉sont des bases orthonormales et |w i 〉 = U |v i 〉.18. Si A et A ′ sont des opérateurs sur l’espace vectoriel W et qu’A et A ′ représententle même opérateur mais selon des bases orthonormales, |v i 〉 et |v ′ i〉, différentes,alors A i,j = 〈v i | A |v j 〉 et A ′ i,j = 〈v ′ i| A ∣ ∣v ′ j〉.19. Un opérateur Hermitien A est dit positif si, ∀ |v〉 〈v| A |v〉 ∈ R et 〈v| A |v〉 0. Si ∀ |v〉 〈v| A |v〉 > 0 alors A est dit positif défini.20. Un opérateur positif a pour décomposition spectrale A = ∑ i λ i |i〉〈i| où∀i, λ i ∈ R et 0 λ i .21. Si A est hermitien et que |v〉 et |w〉 sont deux de ses vecteurs propres, alorssi leurs valeurs propres associées sont distinctes 〈v|w〉 = 0.22. les valeurs propres d’un projecteurs sont soit 0 où 1.23. Pour tout opérateur A, A est positif ⇐⇒ ∃B tel que A = BB † .1.1 Produit Tensoriel1. Si V et W, deux espaces vectoriels, sont de dimension n et m respectivement,alors V ⊗ W est de dimension n × m.2. Si |i〉 est une base de V et que |j〉 est une base de W alors |i〉 ⊗ |j〉 est unebase de V ⊗ W.3. Propriété du produit tensoriel :(a) z(|v〉 ⊗ |w〉) = z(|v〉) ⊗ |w〉 = |v〉 ⊗ z(|w〉)(b) (|v 1 〉 + |v 2 〉) ⊗ |w〉 = |v 1 〉 ⊗ |w〉 + |v 2 〉 ⊗ |w〉(c) |w〉 ⊗ (|v 1 〉 + |v 2 〉) = |w〉 ⊗ |v 1 〉 + |w〉 ⊗ |v 2 〉(d) λA ⊗ µB = λµ(A ⊗ B)2

(e) (A ⊗ B) † = A † ⊗ B †où z est un scalaire.4. ( ∑ i a i |v i 〉 ⊗ |w i 〉 , ∑ j b j |v j 〉 ′ ⊗ |w j 〉 ′ ) = ∑ i,j āib〈 〈j vi |v j〉 ′ wi |w j′⎛⎞A 1,1 B . . . A 1,n B⎜5. A ⊗ B = ⎝.. ..⎟ . ⎠ .A m,1 B . . . A m,n B6. (a) (A ⊗ B) ∗ = Ā ⊗ ¯B(b) (A ⊗ B) T = A T ⊗ B T(c) (A ⊗ B) † = A † ⊗ B †7. Si A et B sont unitaires, hermitiens, positifs ou des projecteurs alorsA ⊗ B est aussi unitaire, hermitien, positif ou un projecteur.∑8. H ⊗n = √ 12 n x,y (−1)x·y |x〉〈y|9. Soient |X 〉 = 1 √d∑ d−1j=0 |jj〉 ∈ Cd ⊗ C d et A un opérateur quelconque, alors(A ⊗ I) |X 〉 = (I ⊗ A T ) |X 〉.〉1.2 Fonctions linéaires1. Si A = ∑ aa |a〉〈a| est un opérateur normal, alors pour une fonction f :C −→ C alors nous pouvons définir la fonction f sur l’opérateur A ainsif(A) ∑ af(a) |a〉〈a|.2. Si A est un opérateur hermitien alors e iA est unitaire.3. Si U est unitaire alors U x , où x ∈ R, est unitaire.4. Si A est normal, U est unitaire et V = UAU † , alors V x = UA x U † .5. Si f : C −→ C est une fonction qui préserve la norme des nombres complexesde norme égale à 1 et que U est unitaire, alors f(U) est unitaire.6. (a) tr(A) = ∑ i A i,i(b) tr(AB) = tr(BA)(c) tr(A + B) = tr(A) + tr(B)3

(d) tr(zA) = ztr(A) où z est un scalaire(e) tr(A ⊗ B) = tr(A) tr(B) .(f) Si A est un opérateur dans C n alors pour toute base orthonormale |ψ i 〉de C ntr(A) = ∑ 〈ψ i | A |ψ i 〉 .i7. Lemme 1.2.1 Si ∀ρ tr(Aρ) = tr(ρ) alors A = I.8. Si U est un opérateur unitaire alors tr(A) = tr ( UAU †)9. Si U est un opérateur unitaire alors |tr(AU)| |tr(A)|.10. tr(A |ψ〉〈ψ|) = tr(〈ψ| A |ψ〉).11. Le commutateur est ainsi défini : [A, B] = AB − BA12. L’anti-commutateur est ainsi défini : {A, B} = AB + BA13. (a) [A, B] † = [B † , A † ](b) [A, B] T = [−B, A]14. Si A et B sont hermitiens, alors i[A, B] l’est aussi.15. Théorème 1.3 Si A et B sont des opérateurs Hermitiens, alors [A, B] =0 ⇐⇒ ∃ une base |i〉 orthonormale telle que A = ∑ i a i |i〉〈i| et B = ∑ i b i |i〉〈i|,où |i〉 est un vecteur propre d’A et de B.16. Pour toutes les matrices de Pauli σ 2 i = I17. Théorème 1.4 (Décomposition polaire) Soit A un opérateur linéaire, alors∃ un opérateur unitaire U et 2 opérateurs positifs uniques J et K tels queA = UJ = KU. De plus J = √ A † A et K = √ AA † .18. Théorème 1.5 (Décomposition Singulaire) Soit A une matrice carréequelconque, alors ∃ 2 opérateurs unitaires U et V ainsi qu’une Matrice diagonaleD à entrées non-négatives tels queA = UDV.Les éléments de D s’appellent valeurs singulières de A.4

1.3 MesuresUne mesure est un ensemble M = {M m }, où m est un événement possible. Onobtient m avec probabilitép(m) = 〈ψ| M † mM m |ψ〉 .Un état quelconque |ψ〉 devient lorsque l’événement m est obtenu :|ψ〉 −→√M m |ψ〉.〈ψ| M mM † m |ψ〉De plus ∑ m M † mM m = I ce qui impose 1 = ∑ m p(m) = ∑ m 〈ψ| M † mM m |ψ〉.Dans la base calculatoire, M i = |i〉〈i|.1.3.1 Mesure ProjectiveUne mesure Projective est un opérateur Hermitien M tel que M = ∑ m mP m où m,la valeur propre, est un résultat possible de la mesure P m qui est un projecteur surl’espace propre associé à m. La probabilité d’obtenir le résultat m est définie parp(m) = 〈ψ| P m |ψ〉. L’état du système après la mesure est donné par √ Pm|ψ〉 . M estp(m)parfois appelé une observable.1.3.2 POVMUn POVM est une collection {E m } d’opérateur positifs tel que ∑ m E m = I. Ceciimplique que la mesure {M m } associé est égale à { √ E m }.Par le théorème de décomposition polaire ∀M m , M m = U m√Em où E m = M † mM m .1.4 Opérateurs de densité1. ρ est un opérateur de densité si et seulement si ρ est un opérateur positif ettr(ρ) = 1.2. Si ρ est un opérateur de densité alors ρ est de la forme ρ = ∑ i p i |ψ i 〉〈ψ i |.5

3. Si ρ est de la forme ρ = |ψ〉〈ψ| alors ρ est un état pur. Sinon ρ est un étatimpur.4. Si ρ est un état pur alors tr(ρ 2 ) = 1. Si ρ est un état impur alors tr(ρ 2 ) < 1.5. Un opérateur unitaire appliqué à un opérateur de densité agit ainsiρ = ∑ ip i |ψ i 〉〈ψ i |U−−−−→ ∑ ip i U |ψ i 〉〈ψ i | U † = UρU † .6. Une mesure agit ainsi sur un opérateur de densitép(m|i) = 〈ψ i | M † mM m |ψ i 〉 = tr ( M † mM m |ψ i 〉〈ψ i | )et doncp(m) = ∑ ip(m|i)p i = tr ( M † mM m ρ ) .L’état résultant advenant le résultat m est décrit par∑iρ m =M m |ψ i 〉〈ψ i | M m( ) † = M mρM m(† ).tr M mM † m ρ tr M mM † m ρ7. L’opérateur de densité associé à l’état résultant d’une mesure dont on auraitoubliée le résultat est décrit parρ = ∑ mp(m)ρ m = ∑ mM m ρM † m.8. Deux mixtures, {p i , |ψ i 〉} et {q j , |φ j 〉}, génèrent le même opérateur de densitési et seulement s’il existe un opérateur unitaire U tel que√pi |ψ i 〉 = ∑ ju ij√qj |ϕ j 〉 .6

1.4.1 Trace partielle1. Si ρ AB est un état bi-parti, alors l’opérateur de densité représentant l’état dela partie A est décrit parρ A = tr B(ρAB )oùtr B (|a 1 〉〈a 2 | ⊗ |b 1 〉〈b 2 |) |a 1 〉〈a 2 | tr(|b 1 〉〈b 2 |) .ou encoretr B(ρAB ) ∑ i(I A ⊗ 〈i|)ρ AB (I A ⊗ |i〉)où les |i〉 forment une base de l’espace de la partie B.2. Théorème 1.6 (Décomposition de Schmidt) Si |ψ〉 est un état pur biparti,AB, alors ∃ 2 ensembles orthonormaux sur A et B, |i A 〉 et |i B 〉, telsque|ψ〉 = ∑ λ i |i A 〉 |i B 〉ioù λ i ∈ R + et ∑ i λ2 i = 1. Les λ i sont appelés coefficients de Schmidt.3. Corollaire 1.6.1 Soit |ψ〉 un état pur sur le système AB, alorsρ A = ∑ iρ B = ∑ iλ 2 i |i A 〉〈i A |λ 2 i |i B 〉〈i B | .et4. Le nombre de valeurs propres différentes dans la décomposition de Schmidtest appelé le nombre de Schmidt.5. Le nombre de Schmidt est préservé par des opérations locales sur le systèmeA ou sur le système B.6. Si ρ, un état sur l’espace Q, a pour décomposition spectrale ρ = ∑ i λ ∣ 〉〈 i iQi Q∣ ∣ ,alors l’état bi-partie, où R est le même espace que Q et où ∣ 〉 iRest une baseorthonormale de l’espace R, |QR〉 = ∑ √ ∣ 〉 ∣i λi ∣i Q 〉 iRest appelé purificationde ρ et tr R (|QR〉〈QR|) = ρ.7. Si |ψ〉 est un état composé sur le système AB alors son nombre de Schmidtest égal à 1 si et seulement s’il est un produit tensoriel de ρ A et de ρ B où ρ Aet ρ B sont purs.7

8. Si |ψ〉 et |ϕ〉 sont 2 états purs composites AB avec des coefficients de Schmidtsidentiques, alors ∃ U et V , des transformations unitaires, telles que |ψ〉 =(U ⊗ V ) |ϕ〉.2 Circuits quantiques1. Le circuit qui ne fait rien (opérateur identité).|ψ〉 I 2 |ψ〉2. L’application de H = 1 √2( 1 11 −1 ) sur 0 et sur 1.|0〉 H |↗〉 |1〉 H |↘〉3. Les matrices de Paulis sont( ) 1 0σ 0 = I =(0 1) 0 −iσ 2 = σ y = Y =i 0( ) 0 1σ 1 = σ x = X =(1 0) 1 0σ 3 = σ z = Z =0 −14. Pour toutes les matrices de paulis, σ 2 i = I.5.I σ x σ y σ zI I σ x σ y σ zσ x σ x I iσ z −iσ yσ y σ y −iσ z I iσ xσ z σ x iσ y iσ x I, par exemple XZ = −iY et ZX = iYI 2 X 2 Y 2 Z 2 Π i,1 devientI 1 I 1 I 2 I 1 X 2 Z 1 Y 2 Z 1 Z 2 I 1 ou Z 1X 1 X 1 X 2 X 1 I 2 Y 1 Z 2 Y 1 Y 2 X 1 ou Y 16. Y 1 Y 1 X 2 Y 1 I 2 X 1 Z 2 X 1 Y 2 Y 1 ou X 1Z 1 Z 1 I 2 Z 1 X 2 I 1 Y 2 I 1 Z 2 Z 1 ou I 1Π j,2devient I 2 ou X 2 X 2 ou I 2 Y 2 ou Z 2 Z 2 ou Y 28

7. Les opérateurs S et T sont S =( ) ( )1 0 1 0et T = .0 i0 e iπ 48. Quelques identités H = √ 12(X + Z), H = H −1 , S = TZ, HXH = Z, HYH = −Yet HZH = X.⎛ ⎞1 0 0 09. CNOT = ⎜0 1 0 0⎟⎝0 0 0 1⎠ ou |c〉 |t〉 −→ |c〉 |t ⊕ c〉. L’opérateur CNOT est ins-0 0 1 0crit ainsi|ψ 2 〉 |ψ 1 〉❤⎫⎬⎭ |ϕ〉10. Un opérateur U contrôlé général est défini ainsi |c〉 |t〉 −→ |c〉 U c |t〉 et s’inscritainsi⎫|ψ 2 〉 ⎬⎭ |ϕ〉|ψ 1 〉 U11. La transformation de fourier quantique est l’opérateur unitaire suivant :|j〉 −→N−1∑k=0e 2πijk/N |k〉12. Soit C 1 l’ensemble des opérateurs de Paulis. L’ensemble C 2 ainsi définieC 2 = {U : UC 1 U † ⊆ C 1 } est appelé le groupe de Clifford. Il contient, entreautre, les opérateurs H, CNOT et les racines carrées des opérateurs de Paulis.L’ensemble C 3 est ainsi défini : C 3 = {U : UC 1 U † ⊆ C 2 }. Cet ensemble contient,entre autre, les portes Toffoli, controled-controled-NOT, T, controled-phased— (diag(1, 1, 1, i)).3 Complexité quantiqueBPP ⊂ BQP ⊂ PSPACE9

4 Information Quantique4.1 Super-opérateursρ ′ = ε(ρ) = tr Env([U(ρ ⊗ ρEnv )U † ] ) .Soit |i〉 une base orthonormale sur la partie environnement, alors ε(ρ) peut être écritcomme une somme d’opérateur ainsi :ρ ′ = ε(ρ) = ∑ i〈i| U[ρ |0〉〈0|]U † |i〉où l’état initial de l’environnement est, sans perte de généralité, considéré comme levecteur |0〉. Si l’on écrit E k = 〈i| U |0〉 alors l’opérateur quantique peut être réécritainsiρ ′ = ε(ρ) = ∑ E k ρE † k .kSi E et F sont des superopérateurs, alors G = F ◦ E est un superopérateur, c’est-àdirequ’il a une représentation comme somme d’opérateurs.On dit qu’un superopérateur préserve la trace si et seulement si ∑ k E† k E k = I. Si∑k E† k E k I il ne préserve pas la trace.Deux super-opérateurs, E et E ′ , sont dit équivalents sit et seulement si pour tous lesopérateurs de densité ρ, E(ρ) = E ′ (ρ).Théorème 4.1 (Équivalence de super-opérateurs) Deux super-opérateurs E etF sont équivalents si et seulement si il existe une matrice unitaire U = u ij telle queE i = ∑ j u ijF j .4.2 Mesures de distance4.2.1 Classique1. La Distance de Trace, L 1 ou de Kolmogorov est définie ainsi sur desensembles de probabilités {p x } et {q x } :D(p x , q x ) 1 ∑|p x − q x | .2x10

2. La Fidélité est ainsi définie sur les mêmes ensembles de probabilités :F (p x , q x ) ∑ x√px q x .4.2.2 Quantique1. La distance de Trace entre deux états quantiques est ainsi définie :où |A| = √ A † A.D(ρ, σ) 1 tr(|ρ − σ|) ,22. Si ρ et σ commuent — ρ = ∑ x r i |i〉〈i| et σ = ∑ x s i |i〉〈i| — alorsD(ρ, σ) = D(r i , s i ) .} {{ }classique3. Soit U un opérateur unitaire, alorsD(UρU † , UσU † ) = D(ρ, σ).4. ‖A ⊗ B‖ tr = 2‖A‖ tr ‖B‖ tr . ? ? ? John Watrous QSZK5. D(ρ, σ) = maxPtr(P(ρ − σ)).6. Théorème 4.2 Soit {E m } un POVM et p m tr(ρE m ) et q m tr(σE m ) lesprobabilités d’obtenir l’événement m pour ρ et σ respectivement. AlorsD(ρ, σ) = max D(p m, q m ) .{E m} } {{ }classique7. Théorème 4.3 (Contraction de la distance de trace) Si E est un superopérateurqui préserve la trace, alors pour deux opérateurs de densité ρ et σ :D(E(ρ), E(σ)) D(ρ, σ).8. Corollaire 4.3.1 D(ρ A , σ A ) D(ρ AB , σ AB ).11

9. Théorème 4.4 (Convexité forte) Soit {p i } et {q i } deux ensembles de probabilitéset deux ensembles d’opérateurs de densité {ρ i } et {σ i }, alors( ∑D p i ρ i , ∑ )q i σ i D(p i , q i ) + ∑ p i D(ρ i , σ i ).iii10. D ( ∑ i p iρ i , ∑ i p iσ i ) ∑ i p iD(ρ i , σ i ).11. D ( ∑ i p iρ i , σ) ∑ i p iD(ρ i , σ).12. Si E est un superopérateur qui préserve la trace, alors E possède au moins unpoint fixe : E(ρ) = ρ.13. Si E est un superopérateur qui préserve la trace et que ∀ρ, σ D(E(ρ), E(σ))

(e) ∃U t.q F (ρ, σ) = tr ( √ ρ√ σU)— U est tel que√ ρ√ σ =∣ ∣ √ ρ√ σ∣ ∣ U † , ladécomposition polaire de √ ρ √ σ.20. Soient deux états, σ 1 et σ 2 , sur le même espace Q, alors :F (ρ 1 ⊗ σ 1 , ρ 2 ⊗ σ 2 ) = F (ρ 1 , ρ 2 )F (σ 1 , σ 2 ).21. Théorème 4.6 Soit {E m } un POVM et p m tr(ρE m ) et q m tr(σE m ) lesprobabilités d’obtenir l’événement m pour ρ et σ respectivement. AlorsF (ρ, σ) = min F (p m , q m ) .{E m} } {{ }classique22. Théorème 4.7 (Monotonie de la fidélité) Soit E un superopérateur préservantla trace, alorsF (E(ρ), E(σ)) F (ρ, σ).23. Théorème 4.8 (Concavité forte de la fidélité) Soient deux distributionsde probabilités {p i } et {q i } et deux séries d’opérateurs de densité {ρ i } et {σ i }alors( ∑F p i ρ i , ∑ )q i σ i ∑ √pi q i F (ρ i , σ i ).iii24. F ( ∑ i p iρ i , ∑ i p iσ i ) ∑ i p iF (ρ i , σ i ).25. F ( ∑ i p iρ i , σ) ∑ i p iF (ρ i , σ).26. F (ρ, σ) tr(ρσ) .27. 1 − F (ρ, σ) D(ρ, σ) √ 1 − F (ρ, σ) 2 , donc 1 − D(ρ, σ) 2 F (ρ, σ) etF (ρ, σ) 1 − D(ρ, σ).28. La fidélité d’intrication pour un état ρ et un super opérateur E appliqué àρ est ainsi définie :F (ρ, E) = 〈ψ|(I R ⊗ E Q ) |ψ〉〈ψ| |ψ〉où |ψ〉 RQest une purification de ρ Q dans l’espace RQ.13

4.3 Entropie1. L’entropie de Shannon pour une source aléatoire X (un probabilité de distributiondiscrète) est ainsi définie :H(X) H(p 1 , p 2 , . . . , p n ) ∑ ip i log 2 p i .2. Pour une variable binaire : h(p) −p log p − (1 − p) log (1 − p).3. h(p) = h(1 − p).4. ∀p h(p) h(1/2) = 1.5. Soit X une variable aléatoire possédant d valeurs possibles, alors H(X) log d.6. H(X, Y ) − ∑ x,yp(x, y) log p(x, y).7. H(X, Y ) H(X) + H(Y ) avec égalité si et seulement si X et Y sont deuxvariables indépendantes.8. H(X) H(X, Y ) avec égalité ⇐⇒ Y = f(X).9. L’entropie relative entre deux distribution de probabilité sur les mêmesvaleurs {x}, p(x) et q(x), est ainsi définie :H(p(x)‖q(x)) ∑ xp(x) log( p(x)q(x) ) ≡ −H(p(x)) − ∑ xp(x) log q(x).,où −p(x) log(0) = +∞ si p(x) 0.10. H(p(x)‖q(x)) 0 avec égalité ⇐⇒ ∀p(x) = q(x).11. L’entropie conditionelle est ainsi définieH(X|Y ) H(X, Y ) − H(Y ) − ∑ y∑p(y)p(x|y) log 2 p(x|y).x12. H(X|Y ) H(X) avec égalité ⇐⇒ X et Y sont des variables indépendantes.13. L’information mutuelle entre X et Y est ainsi définie :H(X : Y ) H(X) + H(Y ) − H(X, Y ).14. H(X : Y ) = H(X) − H(X|Y ) et H(X : Y ) = H(p(x, y)‖p(x)p(y)).14

15. L’information mutuelle conditionelle entre X et Y sachant Z est ainsidéfinie :H(X : Y |Z) H(X|Z) + H(Y |Z) − H(X, Y |Z) = H(X|Z) − H(X|Y, Z), ouencorep(X, Y |Z)H(X : Y |Z) = E[log 2p(X|Z)p(Y |Z) ].16. H(X, Y ) = H(Y, X) ; H(X : Y ) = H(Y : X).17. H(Y |X) 0 =⇒ H(X : Y ) H(Y ) avec égalité ⇐⇒ Y = f(X).18. H(X 1 , . . . , X n |Y ) = ∑ i H(X i|Y, X 1 , . . . , X i−1 ).4.4 L’entropie de Von Neumann1. L’entropie de Von Neuman pour un état ρ = ∑ i λ i |ψ i 〉〈ψ i | est ainsi définie :S(ρ) −tr(ρ log ρ) = − ∑ iλ i log λ i .(a) S(ρ) 0.(b) S(I/d) = log d.(c) Si ρ AB est un système bi-partie, alors S(ρ A ) = S(ρ B ).(d) Soient {p i } un ensemble de probabilités et un emble d’états {ρ i }, alors( ) ∑S p i ρ i H(p i ) + ∑ p i S(ρ i ).iiavec égalité si et seulement si tels ils existent dans des sous-espaces orthogonaux(e) Théorème 4.9 (Entropie conjointe) Soient {p i } un ensemble de probabilitéset {|i〉}, des vecteurs orthogonaux, alors( )∑S p i |i〉〈i| ⊗ ρ i = H(p i ) + ∑ p i S(ρ i )ii15

∑ i2. L’entropie quantique relative est ainsi définie :S(ρ‖σ) tr(ρ log ρ) − tr(ρ log σ) .3. Théorème 4.10 (inégalité de Klein) L’entropie quantique relative est nonnégative: S(ρ‖σ) 0, avec égalité ⇐⇒ ρ = σ.4. S(ρ A , ρ B ) −tr ( ρ AB log(ρ AB ) ) .5. S(ρ A |ρ B ) S(ρ A , ρ B ) − S(ρ B ).6.S(ρ A : ρ B ) S(ρ A ) + S(ρ B ) − S(ρ A , ρ B )= S(ρ A ) − S(ρ A |ρ B )= S(ρ B ) − S(ρ A |ρ B ).7. Soit {P i } un ensemble complet de projecteurs orthogonaux. Alors l’entropiede l’état ρ ′ = ∑ i P iρP i ne peut être inférieur à celle de l’état ρ : S(ρ ′ ) S(ρ)avec égalité ⇐⇒ ρ = ρ ′ .8. S(ρ, σ) S(ρ) + S(σ) .9. S(ρ, σ) |S(ρ) − S(σ)|— (Araki-Lieb).10. Concavité de l’entropy, si ∑ i p i = 1, alors( ) ∑S p i ρ i ∑ p i S(ρ i ).ii11. Si ∑ i p i = 1, alorsSp i ρ i)p i S(ρ i ) + H(p i ).( ∑i12. Théorème 4.11 (sous-additivité forte) Pour tout trio d’états quantiquesρ A , ρ B et ρ C , les inégalités suivantes sont valides :(a) S(ρ A ) + S(ρ B ) S(ρ A , ρ C ) + S(ρ B , ρ C )(b) S(ρ A , ρ B , ρ C ) + S(ρ B ) S(ρ A , ρ B ) + S(ρ B , ρ C )16

(c) 0 S(ρ C |ρ A ) + S(ρ C |ρ B )(d) S(ρ A : ρ B ) + S(ρ A : ρ B ) 2S(ρ A )(e) S(ρ A |ρ B , ρ C ) S(ρ A |ρ B )(f) S(ρ A : ρ B ) S(ρ A : ρ B , ρ C ) La trace partielle n’accroît pas l’information mutuelle.(g) S(ρ A , ρ B |ρ C ) S(ρ A |ρ C ) − S(ρ B |ρ C ) inégalité triangulaire(h) S(ρ A : ρ B |ρ C ) 013. Théorème 4.12 (sous-addivité forte et super-opérateur) Soit un systèmeρ AB et un super-opérateur E n’opérant que sur l’espace B, et soit S(ρ A :ρ B ), l’information mutuelle entre les système ρ A et ρ B avant l’applicationd’E, et S(ρ ′A : ρ ′B ), l’information mutuelle après l’application d’E. AlorsS(ρ ′A : ρ ′B ) S(ρ A : ρ B ).14. Théorème 4.13 (Borne d’Holevo) Soit un état ρ tel qu’avec probabilitésp x ∈ {p 0 , p 1 , . . . , p n }, ρ = ρ X , où X ∈ {0, . . . , n}. Si une mesure, décritepar le POVM {E y } = {E 0 , . . . E m }, est effectuée et qu’elle a pour résultat lavariable Y , alors,H(X : Y ) S(ρ) − ∑ p x S(ρ x ),xoù ρ = ∑ x p xρ x .15. Inégalité de Fano : Soit le même contexte que pour la borne d’Holevo.Présumons maintenant qu’ ˜X soit obtenu par l’application d’une fonction f surla variable aléatoire Y — ˜X = f(Y ) — et soit p e p(X ≠ ˜X), la probabilitéd’erreur dans la prédiction d’X, alors :H(p e ) + p e log(|X| − 1) H(X|Y ).Donc, si H(X|Y ) est grand par rapport à log(|X| − 1), p e doit être grand.16. Soit un système ρ Q purifié par le système ρ RQ . La dissipation entropique,S(ρ, E), est la quantité d’entropie introduite dans le système RQ par le superopérateur E : S(ρ, E) S(ρ ′ RQ ) où E n’opère que sur le système Q.4.5 Séquences typiques4.5.1 Classique17

Pour toute la section, une source est modélisée par variable aléatoire. La variablealéatoire X prend ses valeurs dans l’alphabet X et x 1 est une instanciation de lavariable X. Y , Y et y i sont similairement définie. Dans le cas d’une instanciationmultiple X 1 X 2 X 3 . . . X n nous écrirons x = x 1 x 2 x 3 . . . x n . L’idée des séquences typiqueest la suivante (ici pour le cas d’une source binaires) : p(x 1 , x 2 , . . . , x n ) =p(x 1 )p(x 2 ) . . . p(x n ) ≈ p np (1 − p) n(1−p) . Donc − log p(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ≈ −np log p −n(1 − p) log(1 − p) = nH(X).1. Pour toute constante ɛ, une séquence x 1 x 2 x 3 . . . x n est dite ɛ-typique si2 −n(H(X)+ɛ) p(x 1 , . . . , x n ) 2 −n(H(X)−ɛ) .L’ensemble de toutes les séquences de longueur n est dénoté par T (n, ɛ).2. De manière équivalente, x 1 x 2 x 3 . . . x n ∈ T (n, ɛ) si et seulement si∣ 1∣n log 1∣∣∣p(x 1 , x 2 , . . . x n ) − H(X) .3. Théorème 4.14 (Théorème des séquences typiques)(a) Soit ɛ > 0, une constante. Alors, pour tout 0 < δ < 1 et pour tout n detaille suffisante, la probabilité qu’une séquence soit ɛ-typique est supérieurà 1 − δ.(b) Soit ɛ > 0, une constante. Alors pour tout δ > 0 et pour tout n de taillesuffisante, on a(1 − δ)2 n(H(x)−ɛ) |T (n, ɛ)| 2 n(H(X)+ɛ) .(c) Soit S(n) un ensemble de séquences de longueur n tel que |S(n)| 2 nR ,où R < H(X) est une constante. Alors pour tout δ > 0 et pour tout n detaille suffisante on a : ∑p(x) δ.x∈S(n)18

4.5.2 QuantiqueSoit une source représentée par un opérateur de densité ρ ayant pour décompositionspectrale ∑ xp(x) |x〉〈x|. Évidement, H((x)) = S(ρ).1. Pour toute constante ɛ, une séquence x 1 x 2 . . . x n est ɛ-typique si∣ 1∣n log( 1∣∣∣p(x 1 )p(x 2 ) . . . p(x n ) ) − S(ρ) ɛ.Un état |x 1 〉 |x 2 〉 · · · |x n 〉 est ɛ-typique si la séquence x 1 x 2 . . . x n est ɛ-typique.L’ensemble de toutes les séquences ɛ-typique est dénoté par T (n, ɛ). Le projecteursur le sous espace des séquences ɛ-typique est dénoté par P (n, ɛ). Deplus,∑P (n, ɛ) = |x 1 〉〈x 1 | ⊗ |x 2 〉〈x 2 | ⊗ · · · ⊗ |x n 〉〈x n | .x est ɛ-typique2. Théorème 4.15 (Théorème des sous-espaces typiques)(a) Soit ɛ > 0, une constante. Pour tout δ > 0 et pour tout n de taillesuffisante,tr ( P (n, ɛ)ρ ⊗n) 1 − δ.(b) Soient ɛ et δ, alors pour tout n de taille suffisante de on a(1 − δ)2 n(S(ρ)−ɛ) |T (n, ɛ)| 2 n(s(ρ)+ɛ) .(c) Soit P(n), un projecteur sur un sous-espace quelconque de H ⊗n de dimensioninférieure ou égale à 2 nR , où R < S(ρ). Alors pour tout δ > 0 etpour tout n de taille suffisante on a :tr ( P(n)ρ ⊗n) δ.5 Codes correcteurs quantiques5.1 Le monde classique19

5.2 Le monde quantique6 Mathématique diverse1. La série géométrique : ∑ N−1kx k = 1−xN1−xoù x appartient à un corps.2. Une fonction f : R → R est dite concave si pour tout 0 p 1 f(px(1−py)) pf(x) + (1 − p)f(y).3. ∀x > 0, log x ln 2 = ln x x − 1, avec égalité ⇐⇒ x = 1.4. ∑ N−1k=0 e2πik/N = 0Démonstration :Soit la racine nième de l’unité :ω = e 2πi/N . Par définition ω N = 1, doncω N −1 = 0. Factorisons ω N −1 en (ω−1)(1+ω+ω 2 +· · ·+ω N−1 ) = 0. C étant uncorps et (ω−1) ≠ 0 ceci implique que (1+ω+ω 2 +· · ·+ω N−1 ) = ∑ N−1k=0 ωk = 0.CQFD. 17 Résultats à trier1. Si n 2k, alors il n’existe pas de schéma de partage de secret ((n, k)) quantique,où k est le seuil [?].2. Pour tout code quantique de longueur 2k − 1 qui corrige k − 1 suppressions,—pour les codes stabilisateurs un code [[2k − 1, 1, k]] q ,— alors ce code constitueaussi un shéma à seuil ((k, 2k − 1)) [?].1 On peut aussi utiliser la série géométrique 120