Estimation d'une mesure de risque dans le cas de pertes ... - Mistis

Estimation d’une mesure de risque dans le cas de pertesextrêmesparJonathan EL METHNIen collaboration avecLaurent GARDES & Stéphane GIRARDLTHE Lundi 18 Juin 2012

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectives1 Cadre d’étudeThéorie des valeurs extrêmesMesure de risque2 But du travailDefinitions des estimateursPropriétés asymptotiques3 Illustration sur simulations4 Application à un jeu de données réelles5 Conclusions et perspectives2 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesRésultat fondamental de la Théorie des valeurs extrêmesSoit Y 1, . . . , Y n un échantillon d’observations indépendantes issues d’unevariable aléatoire Y ayant pour fonction de répartition F .Théorème [Fisher et Tippett (1928) et Gnedenko (1943)]Sous certaines conditions de régularité sur la fonction de répartition F , il existeun paramètre réel γ et deux suites (a n) n≥1 > 0 et (b n) n≥1 ∈ R tels que pourtout x ∈ R,„ «max(Y1,lim P . . . , Y n) − b n≤ y = Hn→∞ γ(y),a navecoù z + = max(0, z).( “”exp −(1 + γy) −1/γH γ(y)+=´−yexp`−eif γ ≠ 0,if γ = 0,3 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesTrois domaines d’attractionDensité de la loi des valeurs extrêmes pour γ = −1, γ = 0 et γ = 15 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesMesure de risqueApproche historiqueVariance ou écart-type : Markowitz (1952),6 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesMesure de risqueApproche historiqueVariance ou écart-type : Markowitz (1952),DefinitionSoit Y une variable aléatoire désignant un montant de perte. On appelle mesurede risque une fonction R associant à Y une valeur positive ou nulle telle queR : Y −→ R +R(Y ) représente le capital à détenir pour faire face aux pertes Y .De grandes valeurs de R(Y ) indiqueront que Y est “dangereux”.6 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesMesure de risqueApproche historiqueVariance ou écart-type : Markowitz (1952),DefinitionSoit Y une variable aléatoire désignant un montant de perte. On appelle mesurede risque une fonction R associant à Y une valeur positive ou nulle telle queR : Y −→ R +R(Y ) représente le capital à détenir pour faire face aux pertes Y .De grandes valeurs de R(Y ) indiqueront que Y est “dangereux”.Exemples de mesures de risque R :Value-at-Risk,Conditional Tail Expectation.6 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesValue-at-RiskDefinitionLa plus utilisée des mesures de risque est la Value-at-Risk (1993). LaValue-at-Risk au niveau de confiance α ∈]0, 1[ notée VaR(α) est définie parVaR(α) = F −1 (α)où F −1 (.) est l’inverse de la fonction de survie de Y .RemarqueOn notera que la VaR(α) représente le quantile d’ordre α noté q(α) de lafonction de survie de la variable aléatoire Y . On peut ainsi écrireα = P(Y ≥ VaR(α)) ⇐⇒ VaR(α) = q(α)7 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesValue-at-RiskL’idée derrière le concept de la VaR est la suivanteOn fixe un seuil probabiliste α et on définit une valeur VaR(α) qui seraacceptable ssi la probabilité que la catastrophe survienne est plus petite que α.La VaR fournit une information ponctuelle et ne prend pas en comptel’importance du risque lorsque qu’il survient mais seulement sa fréquence.La VaR ne fait pas la différence entre une catastrophe qui coûtera 1Million ou 1 Milliard d’euros, elle sous estime les pertes.On peut voir la VaR(α) comme le montant d’extra capital qu’uneentreprise a besoin afin de réduire à α la probabilité de faire faillite.Un des principaux reproches fait à la VaR et que des v.a à queue légères et àqueues lourdes (Embrechts et al. 1997) peuvent avoir la même VaR(α).8 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesConditional Tail ExpectationDefinitionLa Conditional Tail Expectation (CTE) au niveau de confiance α ∈]0, 1[ est unemesure de risque définie parCTE(α) = E(Y |Y > VaR(α))Dans la littérature elle est aussi appellée Tail-Conditional-Expectation,Average-Value-at-Risk, Expected Shortfall ou Tail-Value-at-Risk.La CTE(α) est la perte attendue sachant que la VaR(α) est dépassée, i.e.“la perte moyenne dans les pires (1 − α)% des cas”.La CTE consiste à déterminer l’extra capital nécessaire afin de surmonteren moyenne les pire exercices.Cette mesure de risque, donne des informations sur la distribution de Y au delàde la VaR(α) et donc contrairement à la VaR(α), sur l’épaisseur de la queuede distribution.9 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesVaR et CTEDensité0.0 0.1 0.2 0.3 0.4Espérance VaR CTE−4 −2 0 2 4Pertes10 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesMesure de risque cohérentePour répondre à la nécessité de principes théoriques et pratiques, Artzner et al.(1999) ont introduit la notion de mesure de risque cohérente.DefinitionUne mesure de risque R est dite cohérente si, pour deux v.a X et Y , ellesatisfait les propriétés suivantes :Monotonie : si P(X ≤ Y ) = 1, alors R(X ) ≤ R(Y ),Homogénéité positive : R(aX ) = aR(X ), pour tout a > 0,Invariance par translation : R(X + b) = R(X ) + b, pour tout b > 0,Sous-additivité : R(X + Y ) ≤ R(X ) + R(Y ).11 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesMesure de risque cohérentePour répondre à la nécessité de principes théoriques et pratiques, Artzner et al.(1999) ont introduit la notion de mesure de risque cohérente.DefinitionUne mesure de risque R est dite cohérente si, pour deux v.a X et Y , ellesatisfait les propriétés suivantes :Monotonie : si P(X ≤ Y ) = 1, alors R(X ) ≤ R(Y ),Homogénéité positive : R(aX ) = aR(X ), pour tout a > 0,Invariance par translation : R(X + b) = R(X ) + b, pour tout b > 0,Sous-additivité : R(X + Y ) ≤ R(X ) + R(Y ).La Var n’est pas une mesure de risque cohérente (sous-additivité nonnécessairement vérifiée).La CTE est une mesure de risque cohérente.11 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesNouveautés de ce travailContributionsL’apport nouveau de ce travail consiste en l’ajout de deux difficultéssupplémentaires dans le cadre de l’estimation de la CTE des pertes pour deslois à queues lourdes1 On ajoute la présence d’une covariable X ∈ R p .2 On s’intéresse à l’estimation de la CTE des pertes extrêmes pour des lois àqueues lourdes.=⇒ Pour cela on remplace α par une suite α n → 0 quand la taille del’échantillon n → ∞.L’estimation de la VaR des pertes extrêmes en présence d’une covariable pourdes lois à queues lourdes a déjà été faite par Daouia et al. (2010).12 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesMesure de risque conditionnelle extrême1 Quantile conditionnelPour tout x ∈ R p la fonction q(α|x) = F −1 (α|x) est appelée quantileconditionnel.On peut ainsi définir VaR(α|x) = q(α|x) comme étant la Value-at-Riskconditionnelle.2 Quantile conditionnel extrêmeOn dit de q(α|x) ou de la VaR(α|x) qu’ils sont extrêmes si leur ordreα = α n → 0 quand n → ∞.ObjectifOn cherche donc à estimerCTE(α n|x) = E(Y |Y > VaR(α n|x), X = x)avec α n → 0 quand n → ∞.14 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesDéfinitions et notationsRappel1 VaR(α|x) = F −1 (α|x)2 CTE(α n|x) = E(Y |Y > VaR(α n|x), X = x)DéfinitionOn définit l’espérance conditionnelle d’ordre a ≥ 0 de Y sachant X = x parϕ a(y|x) = E (Y a I{Y > y}|X = x) ,où I{.} est la fonction indicatrice.1 On a ϕ 0(y|x) = F (y|x) et donc VaR(α|x) = F −1 (α|x) = ϕ −10 (α|x).2 Ainsi on aCTE(α n|x) = 1 α nϕ 1(ϕ −10 (α n|x)|x).15 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesChoix des estimateursEstimateur de ϕ a(.|x)Pour estimer l’espérance conditionnelle d’ordre a ≥ 0 de Y sachant X = x, onutilise un estimateur à noyau défini pour (x, y) ∈ R p × R parnX„ «, nX „ «x − Xibϕ a,n(y|x) = KYi ax − XiI{Y i > y} Kh n h ni=1i=1La fonction K(.) appelée noyau est une densité de probabilité sur R p desupport S inclus dans la boule unité.(h n) est une suite non aléatoire telle que h n = h → 0 quand n → ∞appelée paramètre de lissage.Estimateur de ϕ −1a (.|x)Comme ˆϕ a,n(.|x) est une fonction décroissante on donc peut définir unestimateur de ϕ −1a (.|x) par ˆϕ −1a,n(α|x).16 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesPropriétés asymptotiquesDéfinitionOn propose donc d’estimer CTE(α n|x) avec α n → 0 quand n → ∞ parĈTE n(α n|x) = 1 α nˆϕ 1,n( ˆϕ −10,n(α n|x)|x).17 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesPropriétés asymptotiquesDéfinitionOn propose donc d’estimer CTE(α n|x) avec α n → 0 quand n → ∞ parĈTE n(α n|x) = 1 α nˆϕ 1,n( ˆϕ −10,n(α n|x)|x).Théorème : Normalité asymptotique de ĈTE n(α n|x)Supposons que certaines hypothèses soient vérifiées, alors pour tout x ∈ R p telque g(x) > 0 et γ(x) < 1/2, on a√nhp α n!ĈTE n(α n|x)CTE(α − 1 n|x)„d→ N 0, ‖K‖2 2g(x)«2(1 − γ(x))γ(x) 21 − 2γ(x)17 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesSimulationsOn génère un échantillon {(X i , Y i ), i = 1, . . . , n} de taille n = 1000 où lacovariable X ↩→ U[0, 1] et Y |X = x est distribué selon une loi issue du modèlede Hall :F (y|x) = y −1/γ(x) (a + aby ρ/γ(x) )| {z }l(y|x)avec a > 0, b ∈ R ∗ , ρ ≤ 0 et 0 < γ(x) < 1/2 ∀x ∈ [0, 1].On a choisi pour valeurs ρ = −1, a = 1/2 et b = 1.On a choisi un noyau bi-quadrique K(u) = 1516 (1 − u2 ) 2 I {|u|≤1} .Pour le paramètre de lissage h = 0.1.On a fixé l’ordre du quantile α = 0.05.18 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesIndice de queue conditionnelLa fonction indice de queue conditionnel choisie estx ∈ [0, 1] → γ(x) = 1 „ « 12 10 + sin(πx) 1110 − 1 „x2 exp 64 − 1 « !! 22γ(x)0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x19 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesCTE(α|x) et VaR(α|x) théoriquesCTE(α|x) et VaR(α|x) théoriques avec une échelle logarithmique20 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesVaR(α|x) théorique et estiméVaR(α|x) théorique et estimé avec une échelle logarithmique21 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesCTE(α|x) théorique et estiméeCTE(α|x) théorique et estimée avec une échelle logarithmique22 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectives100 échantillons et CTE(α|x) théoriqueCTE(α|x) théorique et estimée avec une échelle logarithmique23 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesCTE(α|x) théorique et moyenne des 100 CTE(α|x) estiméesCTE(α|x) théorique et estimée avec une échelle logarithmique24 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesInterpolation par noyau472 Stations26 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesInterpolation par noyau472 Stations Grille de 2500 points26 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesInterpolation par noyau472 Stations Grille de 2500 points Travail dans la B(x, h n)26 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesConclusions et perspectives1 Perspectives à court termeChoix du paramètre de lissage h (par exemple par validation croisée).Continuer les simulations sur d’autres lois (exemple : Loi de Burr).2 Perspectives à long termeEstimer la VaR et la CTE pour des ordres très petits sur le jeu de donnéesréelles issue de la pluviométrie.Etude du cas 1/2 < γ(x) < 1.27 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesPrincipales référencesArtzner, P., Delbaen, F., Eber, J. M. et Heath, D. (1999). Coherentmeasures of risk, Mathematical finance, 9(3), 203–228.Collomb, G. (1980). Estimation non paramétrique de probabilitésconditionnelles, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 291,427–430.Daouia, A., Gardes, L., Girard, S. et Lekina, A. (2010). Kernel estimatorsof extreme level curves, Test, 20, 311–333.Embrechts, P., Kluppelberg, C. et Mikosh, T. (1997). Modelling ExtremalEvents, Springer editions.Gardes, L. et Girard, S. (2008). A moving window approach fornonparametric estimation of the conditional tail index, Journal ofMultivariate Analysis, 99, 2368–2388.Markowitz, H. M. (1952). Portfolio selection, Journal of Finance, 7, 77–91.28 / 29

Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesPrincipales référencesArtzner, P., Delbaen, F., Eber, J. M. et Heath, D. (1999). Coherentmeasures of risk, Mathematical finance, 9(3), 203–228.Collomb, G. (1980). Estimation non paramétrique de probabilitésconditionnelles, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 291,427–430.Daouia, A., Gardes, L., Girard, S. et Lekina, A. (2010). Kernel estimatorsof extreme level curves, Test, 20, 311–333.Embrechts, P., Kluppelberg, C. et Mikosh, T. (1997). Modelling ExtremalEvents, Springer editions.Gardes, L. et Girard, S. (2008). A moving window approach fornonparametric estimation of the conditional tail index, Journal ofMultivariate Analysis, 99, 2368–2388.Markowitz, H. M. (1952). Portfolio selection, Journal of Finance, 7, 77–91.Merci de votre attention.28 / 29