Estimation d'une mesure de risque dans le cas de pertes ... - Mistis

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Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesDéfinitions et notationsRappel1 VaR(α|x) = F −1 (α|x)2 CTE(α n|x) = E(Y |Y > VaR(α n|x), X = x)DéfinitionOn définit l’espérance conditionnelle d’ordre a ≥ 0 de Y sachant X = x parϕ a(y|x) = E (Y a I{Y > y}|X = x) ,où I{.} est la fonction indicatrice.1 On a ϕ 0(y|x) = F (y|x) et donc VaR(α|x) = F −1 (α|x) = ϕ −10 (α|x).2 Ainsi on aCTE(α n|x) = 1 α nϕ 1(ϕ −10 (α n|x)|x).15 / 29
Outline Cadre d’étude But du travail Illustration sur simulations Application à un jeu de données réelles Conclusions et perspectivesChoix des estimateursEstimateur de ϕ a(.|x)Pour estimer l’espérance conditionnelle d’ordre a ≥ 0 de Y sachant X = x, onutilise un estimateur à noyau défini pour (x, y) ∈ R p × R parnX„ «, nX „ «x − Xibϕ a,n(y|x) = KYi ax − XiI{Y i > y} Kh n h ni=1i=1La fonction K(.) appelée noyau est une densité de probabilité sur R p desupport S inclus dans la boule unité.(h n) est une suite non aléatoire telle que h n = h → 0 quand n → ∞appelée paramètre de lissage.Estimateur de ϕ −1a (.|x)Comme ˆϕ a,n(.|x) est une fonction décroissante on donc peut définir unestimateur de ϕ −1a (.|x) par ˆϕ −1a,n(α|x).16 / 29
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