Matrices 1 Structure d'espace vectoriel sur l'ensemble des matrices

Matrices1 Structure d’espace vectoriel sur l’ensemble desmatricesSoient K un corps (i.e. R où C), m,n ∈ N. Une matrice de type (m,n) à coefficientsdans K est la donnée de mn éléments de K. On représentera une matricesous la forme d’un tableau⎧n colonnes{ ⎛ }} ⎞{⎪⎨ a 1,1 a 1,2 ... a 1,nm lignes ⎝ · · · · · · · · · ⎠a ⎪⎩ m,1 a m,2 ... a m,nExemple : la matrice 0⎧n colonnes{ ⎛ }} ⎞{⎪⎨ 0 0 ... 0m lignes ⎝ · · · · · · · · · ⎠0 0 ... 0⎪⎩qui est appelée la matrice nulle.Lorsque m = n, les matrices de type (m,n) seront appelées matrices carréesd’ordre n.Exemple : La matriceI n =⎛⎜⎝1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · 0 1appelée matrice identité.Plus généralement, une matrice de la forme⎛⎜⎝est appelée matrice diagonale.⎞α 1 0 0 · · · 00 α 2 0 · · · 0⎟· · · · · · · · · · · · ⎠0 0 · · · 0 α n1⎞⎟⎠

Une matrice de la forme⎛⎜⎝⎞a 1,1 a 1,2 a 1,3 · · · a 1,n0 a 2,2 a 2,3 · · · a 2,n⎟· · · · · · · · · · · · ⎠0 0 · · · 0 a n,nest appelée matrice triangulaire supérieure.Nous allons maintenant définir une addition et une multiplication par un scalairesur l’ensemble M m,n (K) des matrices de type (m,n) à coefficients dans K.Soient A et B deux éléments de M m,n (K). Écrivons A = (a i,j ) 1≤i≤m,1≤j≤n et B =(b i,j ) 1≤i≤m,1≤j≤n . On définit A+B comme étant la matrice (a i,j +b i,j ) 1≤i≤m,1≤j≤ncomme pour les vecteurs, on fait l’addition coordonnée par coordonnée, en particulier,il faut que les deux matrices aient même type.Pour tout λ ∈ K, on notera λA la matrice (λa i,j ) 1≤i≤m,1≤j≤n .On multiplie chaque coordonnées par λ.proposition 1. Le triplet (M m,n (K), +,.) est un K-espace vectoriel d’élémentneutre la matrice nulle.Preuve : Exercice.2 Multiplication de matricesDonnons-nous une matrice A de type (m,n) et une matrice B de type (n,p).Nous allons définir le produit A.B.Écrivons A = (a i,j ) 1≤i≤m,1≤j≤n et B = (b j,k ) 1≤j≤n,1≤k≤p . On définit A.B commeune matrice de type (m,p) égale (c i,k ) 1≤i≤m,1≤k≤p avec c i,k = ∑ nj=1 a i,j.b j,kFormellement, on l’écrit sous la forme suivante :⎛⎞b 1,1 b 1,2 ... b 1,p⎝ · · · · · · · · · ⎠b n,1 b n,2 ... b n,p⎛⎜⎝⎞a 1,1 a 1,2 ... a 1,n· · · · · · · · ·· · · · · · · · ·· · · · · · · · ·· · · · · · · · ·⎟· · · · · · · · · ⎠a m,1 a m,2 ... a m,n⎛⎜⎝⎞c 1,1 c 1,2 ... c 1,p· · · · · · · · ·· · · · · · · · ·· · · · · · · · ·· · · · · · · · ·⎟· · · · · · · · · ⎠c m,1 c m,2 ... c m,pPour calculer c 1,1 on va utiliser les coefficients de A qui sont dans la même ligne,et les coefficients de B qui sont dans la même colonne. c 1,1 = a 1,1 .b 1,1 + a 1,2 .b 2,1 +a 1,3 .b 3,1 + ....2

Exemple( 2 1 1−1 −5 4⎛⎞3 4 −2 1⎝ 4 −2 −1 0 ⎠) (0 1 2 −1)10 7 −3 1−23 10 15 −5proposition 2. La multiplication de matrices vérifie les propriétés suivantes1. Pour toute matrice A de type (m,n), toute matrice B de type (n,p) et toutscalaire λ on aA.(λB) = λ(AB) = (λA)B.2. Pour toutes matrices A,B de type (m,n) et toute matrice C de type (n,p)on a (A + B).C = A.C + B.C (disctributivité à gauche).3. Pour toute matrice A de type (m,n) et toutes matrices B,C de type (n,p)on a A.(B + C) = A.B + A.C (dictributivité à droite.4. Pour toute matrice A de type (m,n), toute matrice B de type (n,p) et toutematrice C de type (p,q) on a A.(B.C) = (A.B).C (associativité).5. Pour toute matrice A de type (m,n) on a I m .A = A.I n = A.Preuve : : Exercice, ou second semestre.ATTENTION : En général, si on a une matrice A de type (m,n) et une matriceB de type (n,p) alors on peut parler de A.B mais pas de B.A en général. Pourcela, il faut que p = n.⎛Exemple : Prenons A = ⎝3 4 −2 14 −2 −1 00 1 2 −1A.B est une matrice de type (3, 3)⎛A.B = ⎝⎞⎠ et B =17 −1 8−11 8 170 7 −1tandis que B.A est une matrice de type (4, 4)⎛B =⎜⎝⎞⎠5 −4 8 −512 15 −10 5−3 −3 4 −2−22 24 7 0⎛⎜⎝⎞⎟⎠−1 2 44 0 −1−1 0 12 −7 2⎞⎟⎠ . AlorsMême lorsque m = n = p (auquel cas A.B et B.A sont deux matrices de type(m,m),( i.e. matrice ) carrée( d’ordre m) ) on n’a pas égalité en général1 2−1 2Si A = et B =3 4( )−3 1( )−7 45 6Alors A.B = et B.A =−15 100 −23

3 Quelques objets associés à une matriceSoit M ∈ M m,n (K). On définit alors une application linéaire f M : K n → K m parf M (X) = MX.Les propriétés du produit de matrice vues ci-dessus font que cette application estlinéaire. Vous verrez au second semestre que ce procédé est en fait réversible : àtoute application linéaire on peut associer une matrice. L’étude des applicationslinéaires peut ainsi se ramener à l’étude des matrices.Définissons maintenant un sous-ensemble de K n parK M = {X ∈ K n | MX = 0 K m} .L’ensemble K M est alors un sous-espace vectoriel de K n .Exemple : Si M = (1, 2, 3) alorsK M = {( x//y//z ) |x + 2y + 3z = 0 } .Une telle représentation d’un espace est appelée représentation implicite. L’avantaged’une telle représentation est qu’il est aisé de vérifier si un vecteur donnéappartient à cet espace vectoriel (il suffit de le multiplié à gauche par la matriceM), il est toutefois plus compliqué de trouver de tels vecteurs (car il faut résoudreun système linéaire).Définissons maintenant un sous-ensemble de K m parI M = {Y ∈ K m | ∃Y ∈ K n tel que X = MY }.Utilisant de nouveau les propriétés du produit de matrices, on montre que cetensemble est un sous-espace vectoriel.Exemple : considérons la matriceOn a alors⎧⎛⎨I M = ⎝⎩⎛P = ⎝x + 4y2x + 5y3x + 6y1 42 53 6⎞⎠⎞ ⎫⎬⎠ ,x,y ∈ K⎭Une telle représentation est appellée représentation paramétrique. Avec une telledescription, il est asié de produire des vecteurs (remplacé les x,y par des valeurs)mais plus difficile de tester si un vecteur particulier est dans le sous-espacevectoriel.4

Il peut donc etre utile de passer d’une représentation à l’autre, ce qui peut sefaire à l’aide du pivot( de Gauss. ) 1 1 4 4Exemple : Soit M =. Donner une représentation paramétrique2 1 4 2de K M .Soit P =⎛⎜⎝4 10−4 −61 00 1⎞4 Inverse d’une matrice⎟⎠ . Donner une représentation implicite de I P.Definition 1. Soit A une matrice carrée de type (n,n). On dira que A est inversibles’il existe une matrice carrée de type (n,n) telle que B.A = A.B = I n . Lamatrice B est alors appelé l’inverse de A.proposition 3. Soit A une matrice carrée inversible de type (n,n) et M unematrice de type (n,m). Si A.M = 0 alors M = 0Preuve : Notons B l’inverse de A et multiplions à gauche par B. On a doncB.A.M = 0 (l’ordre dans lequel on multiplie est égal car la multiplication estassociative). Or B.A = I n et I n .M = M, on trouve donc le résultat.On prendra garde au fait que si A n’est pas inversible, alors ce résultat est fauxExemple : ( 1 00 0) ( 0 00 1proposition 4. Soit A une matrice carrée d’ordre n. Notons f 1 ,...,f n les vecteursobtenus à partir des lignes de A. Alors la matrice A est inversible seulementsi la famille f 1 ,...,f n est une base (ou, de manière équivalente, si f 1 ,...,f n estlibre où génératrice).Dans les faits, si e 1 ,...,e n désigne la base canonique, on a f i = A.e iPreuve : Supposons la matrice inversible. Nous allons montrer que la famille f iest libre. Pour cela, supposons avoir une combinaison linéaire nulle ∑ i λ if i = 0.Par définition, on a donc)0 = ∑ iλ i A.e i = ∑ iA.(λ i e i ) = A.( ∑ iλ i e i )D’après la proposition précédente, on trouve que ∑ i λ ie i = 0 mais comme lese i forment une base (en particulier une famille libre) on trouve que pour tout iλ i = 0.Nous verrons plus tard que la réciproque de cette proposition est vraie.5

Soit A = (a i,j ) i,j une matrice. Pour calculer un inverse (s’il existe) on procède dela manière suivante :Le fait est que si A possède un inverse B et qu’on a AX = Y ⎛alors ⎞on aurax 1x 2BY = BAX = X. On prend donc un vecteur quelconque X = ⎜ ⎟ et un⎝ . ⎠x n⎛vecteur Y = ⎜⎝⎞y 1y 2⎟. ⎠y nA.X = Y en utilisant le pivot de Gauss.Au début, on aura doncet on cherche B tel que BX = Y . On essaie de résoudrea 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + ... + a 1,n x n = y 1a 2,1 x 2 + a 2,2 x 2 + ... + a 2,n x n = y 2. = .a n,1 x n + a n,2 x 2 + ... + a n,n x n = y nAprès l’avoir mis sous la forme triangulaire, on trouverab 1,1 x 1 + b 1,2 x 2 + ...+ b 1,n x n = c 1,1 y 1 + c 1,2 y 2 + ... + c 1,n y nb 2,2 x 2 + ...+ b 2,n x n = c 2,1 y 1 + c 2,2 y 2 + ...c 2,n y n. = .b n,n x n = c n,1 y 1 + c n,2 y 2 + ...c n,n y net si tous les éléments de la diagonale sont non nuls, alors on pourra résoudre. Sil’un des éléments de la diagonale est nul alors on ne pourra pas résoudre et doncla matrice n’est pas inversible.On se place donc dans le cas ou tous les éléments diagonaux sont non nuls et onfini la résolution du système. On obtient donc finalementx 1 = d 1,1 y 1 + d 1,2 y 2 + ... + d 1,n y nx 2 = d 2,1 y 1 + d 2,2 y 2 + ... + d 2,n y n. =.= d n,1 y n + d n,2 y 2 + ... + d n,n y nx nles d i,j sont alors les entrées de la matrice inverse de A.Exemple : calculer l’inverse de la matrice⎛ ⎞1 0 −1⎝ 2 −2 1 ⎠−1 −1 26

5 Déterminant des matrices d’ordres 2 et 3Il existe un moyen très simple de savoir si une matrice est inversible. Pour toutematrice carrée A, nous pouvons associer un nombre det(A) ∈ K qui est nonnul si et seulement si la matrice est inversible. Nous allons voir maintenant ledéterminant des matrices d’ordres 2 et 3.Prenons l’exemple d’une matrice carrée de type 2, 2 de la forme A =qu’on cherche à inverser.On écrit donc le système{ ax1 + bx 2 = y 1cx 1 + dx 2 = y 2( a bc dSupposons que a ≠ 0, on peut donc prendre a comme pivot et on obtient lesystème{ ax1 + bx 2 = y 1ad − bcx 2 = ay 2 − cy 1 L 2 < −aL 2 − cL 1Ainsi, d’après la théorie générale, la matrice sera inversible si et seulement siad − bc ≠ 0.Si a = 0, alors on peut réecrire le système sous la forme{ cx1 + dx 2 = y 2bx 2 = y 1et le système est inversible si et seulement si b ≠ 0 et c ≠ 0. Ce qui équivautà dire que −bc = ad − bc ≠ 0. Dans tout les cas, on voit que la matrice A estinversible si et seulement si ad − bc ≠ 0.Le nombre ad − bc est appelé déterminant de l’a matrice A et est noté det(A).Prenons ⎛ maintenant ⎞ une matrice carré d’ordre 3.a b cA = ⎝ d e f ⎠ qu’on cherche à inverser.g h iOn écrit donc le système⎧⎨ ax 1 + bx 2 + cx 3 = y 1dx 1 + ex 2 + fx 3 = y 2⎩gx 1 + hx 2 + ix 3 = y 3Comme précédement, supposons a ≠ 0, on obtient alors le système⎧⎨ ax 1 + bx 2 + cx 3 = y 1(ae − bd)x 2 + (af − cd)x 3 = ay 2 − dy 1 L 2 < −aL 2 − dL 1⎩(ah − bg)x 2 + (ai − cg)x 3 = ay 3 − gy 1 L 3 < −aL 3 − gL 17)

Supposons maintenant que (ae − bd) ≠ 0, on peut donc le prendre pour pivot eton obtient le système⎧⎪⎨⎪⎩ax 1 + bx 2 + cx 3 = y 1(ae − bd)x 2 + (af − cd)x 3 = ay 2 − dy 1((ae − bd)(ai − cg) − (af − cd)(ah − bg))x 3 = (ae − bd)(ay 3 − gy 1 ) − (ah − bg)(ay 2 − dy 1 )L 3 < −(ae − bd)L 3 − (ah − bg)L 2Donc la matrice est inversible si et seulement si le terme en bas à droite estinversible.En mettant tout sous le même dénominateur, et en simplifiant par a ≠ 0 onobtient que la matrice est inversible si et seulement sia(fj − gi) − e(bj − ci) + h(bg − cf) ≠ 0on notera det(A) la quantité a(fj − gi) − e(bj − ci) + h(bg − cf). On montre quedans les autres cas (par exemple a = 0) la condition est la même.6 Matrice de passageSoit E un espace vectoriel de dimension n sur K. Prenons e = (e 1 ,...,e n ) etf = (f 1 ,...,f n ) deux bases. Tout vecteur X ∈ E peut s’écrire sous la formeX = ∑ i λ ie i = ∑ j µ jf j . Les (λ i ) s’apellent les coordonnées de X dans la base eet les µ j sont les coordonnées de X dans la base f. Nous souhaitons voir commentpasser des coordonnées dans la base e aux coordonnées dans la base f. Pour cela,écrivons pour tout j f j = ∑ i α i,je i .On a alorsX = ∑ j= ∑ j= ∑ i,jµ j f j (1)∑µ j α i,j e i (2)iµ j α i,j e i (3)= ∑ i( ∑jα i,j µ j)e i (4)Par unicité de la décomposition comme combinaison linéaire, on trouve que λ i =∑j α i,jµ j . Posons P = (α i,j ) et notons Λ le vecteur colonne de coordonnées λ i etM le vecteur colonne de coordonnées µ j . On voit alors que Λ = P.M.Donc la matrice P permet de passer des coordonnées dans la base f j aux coordonnéesdans la base e i . Nous la noterons P f,e . C’est la matrice de passage de eà f (les colonnes de la matrice P f,e sont les coordonnées des f j dans la base e.8

Attention, P f,e mulitiplié par des coordonnées dans f donne des coordonnées danse.proposition 5. Soient E un espace vectoriel de dimentsion n et e,f,g trois basesde E.i) P e,e = I nii) P f,g P e,f = P e,giii) P e,f P f,e = I n en particulier, P e,f = P −1f,e .Exemple : trouver les matrices de passage pour les bases e 1 =⎛⎝0−2−1⎞⎛⎠,e 3 = ⎝−112⎞⎛⎠ et f 1 = ⎝312⎞⎛⎠ ,f 2 = ⎝513⎞⎛⎠,f 3 = ⎝En calculant les décompositions des vecteurs f i dans la base e on trouvef 1 = 4e 1 + 4e 2 + e 3 , f 2 = 20e 3 1 + 7e 2 + 5e 3 3⎛et f 3 = 5e 1⎞+ 5e 2 + e 3 .4 20/3 5On peut donc écrire la matrice P f,e = ⎝ 4 7 5 ⎠1 5/3 1412⎞⎠⎛⎝121⎞⎠,e 2 =Si le vecteur (x,y,z) représente les coordonnées d’un vecteur u dans la base f alorsP f,e représente les coordonnées de u dans la base e. Par exemple P f,e (1, 0, 0) =(4, 4, 1) et ce sont les coordonnées de f 1 dans la base e.En inversant la matrice, on trouve que P f,e = ⎝⎛4 −5 5−3 3 01 0 −4Et on a P e,f (1, 0, 0) = (4, −3, 1) et 4f 1 −3f 2 +f 3 = (1, 2, 1) donc on a bien obtenules coordonnées de e 1 dans la base f (sachant que (1, 0, 0) sont les coordonnéesde e 1 dans la base e.7 Transposée d’une matriceSoit A une matrice de type (m,n), A = (a i,j ) 1≤i≤m,1≤j≤n . On appelle transposéede A et on note t A la matrice de type (n,m) définie par t A = (a i,j ) 1≤j≤n,1≤i≤m .proposition 6. i) Soit A une matrice de type (m,n). alors tt A = A.ii) Pour toutes matrice A et B de type (m,n) on at (A + B) = t A + t B.⎞⎠iii) Pour toute matrice A de type (m,n) et toute matrice B de type (n,p) on at (AB) = t B t A.9

iv) Pour toute matrice carrée A d’ordre m on a t (A −1 ) = ( t A) −1Preuve : La première assertion est évidente. Passons à la deuxième A = (a i,j ),B = (b j,k ), AB = ( ∑ j a i,jb j,k ) et t B t A = ( ∑ j b k,ja j,i ).Pour la dernière assertion, on remarque que t I n = I n et donc le résultat découlede l’assertion précédente.8 Produit scalaire et produit vectorielUtilisant la transposée, on peut définir une applicationR n × R n → Rpar (u,v) ↦→ u.v := t uv ∈ RLes propriétés connues du produit de matrices et de la transposée nous donneproposition 7. Pour tout u,u ′ ,v ∈ R n et tout λ ∈ R on ai) u.v = v.uii) (λu + u ′ ).v = λu.v + u ′ .v.Cette définition fonctionne pour tout n.Pour définir le produit vectoriel, on se place dans R 3 et on le définit coordonnéepar coordonnée.Si u = (x,y,z) et u ′ = (x ′ ,y ′ ,z ′ ) alors on définit u∧u ′ = (yz ′ −zy ′ ,zx ′ −xz ′ ,xy ′ −yx ′ )On a les propriétés suivantesproposition 8. Pour tout u,u ′ ,v ∈ R n et tout λ ∈ R on ai) u ∧ v = −v ∧ uii) (λu + u ′ ) ∧ v = λu ∧ v + u ′ ∧ v.⎛ ⎞x x ′ aiii) (u ∧ u ′ ).v = det⎝y y ′ b ⎠z z ′ civ) u ∧ u ′ = (0, 0, 0) si et seulement si u et u ′ sont colinéaires (ce qui équivaut àdire que {u,u ′ } est une famille liée).10