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Aide à la décision (L3)<strong>TD</strong> 1 (Techniques d’ordonnancement)Université <strong>du</strong> <strong>Maine</strong>, FranceDownload: http://www.univ-lemans.fr/~kzhao<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 1 / 17
SynthèseSynthèseIl existe trois méthodes d’ordonnancement : le diagramme de Gantt, la méthode MPM(Méthode des Potentiels Métra), le PERT (Program Evaluation and Research Task).La réalisation d’un graphe présentant l’analyse d’un problème d’ordonnancement nécessite uneétude préalable des diverses tâches à considérer, de leur <strong>du</strong>rée (déterminée ou aléatoire), et desrelations entre les tâches (principalement les contraintes d’antériorité).Exemple :Tâche Durée Tâches antérieuresA 2 -B 4 -C 4 AD 5 A, BE 6 C, D<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 2 / 17
SynthèseMéthode MPMM.P.MPrincipe :Les tâches sont représentées par des sommets et les contraintes de succession par des arcs.Chaque tâche est renseignée par la date à laquelle elle peut commencer (date au plus tôt)et celle à laquelle, elle doit se terminer (date au plus tard).A chaque arc est associé une valeur numérique, qui représente soit une <strong>du</strong>rée d’opération,soit un délai.Date auplus tôtDate auplus tard00 2A2 52 C40 0Début29 9E15 156 Fin0 00 B4 44 D5<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 3 / 17
SynthèseMéthode MPMRemarques :La date de début au plus tôt d’une tâche est obtenue en cumulant la <strong>du</strong>rée des tâches quiprécèdent sur la séquence la plus longue.On initialise le somme ”Début” avec une date au plus tôt = 0.Date au plus tôt de la tâche ”j” = Max[Date au plus tôt de i + Durée D ij ] pourtous les prédécesseurs i de j.La date au plus tard est une date à laquelle doivent être exécutées les tâches sansremettre en cause la <strong>du</strong>rée optimale de fin <strong>du</strong> projet.On initialise à l’étape terminale, le dernier sommet ”Fin” par la date au plus tard =date au plus tôt.Date au plus tard de la tâche ”i” = Min[Date au plus tard de j − Durée D ij ] pourtous les successeurs j de i.Le chemin critique est une succession de tâches sur le chemin le plus long au sens des<strong>du</strong>rées. Pour toutes les tâches <strong>du</strong> chemin critique, les dates au plus tôt et au plus tardcoïncident.Click (Step by step)<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 4 / 17
SynthèseMéthode MPMMarges relatives aux tâches :Pour une tâche donnée, identifiée par l’indice i, deux marges sont calculéesLa marge totale de la tâche i, MT iLa marge totale sur une tâche est le retard que l’on peut prendre dans laréalisation de cette tâche sans retarder l’ensemble <strong>du</strong> projet, elle est obtenue par ladifférence entre la date au plus tard d’une tâche et la date au plus tôt.MT i = T i − t iavec T i date au plus tard et t i date au plus tôte.g. marge totale sur A = (2 − 0) = 2La marge libre de la tâche i, ML iLa marge libre sur une tâche est le retard que l’on peut prendre dans la réalisationd’une tâche sans retarder la date de début au plus tôt de tout autre tâche qui suit.ML i = Min[t j − t i − D ij ]avec t j date au plus tôt de la tâche qui suit la tâche considéréee.g. marge libre sur A = (2 − 0 − 2) = 0 et marge libre sur C = 9 − 2 − 4 = 3<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 5 / 17
SynthèseMéthode PERTP.E.R.TPrincipe :Graphe P.E.R.T est un graphe valué dont les arcs seront les tâches, les valeurs des arcs étantleur <strong>du</strong>rée et les sommets représentent des états d’avancement <strong>du</strong> projet, numérotés de 1 à n.Pour construire un graphe P.E.R.T, on utilise la méthode des niveaux.On détermine les tâches sans antécédents, qui constituent le niveau 1.On identifie ensuite les tâches dont les antécédents sont exclusivement <strong>du</strong> niveau 1. Cestâches constituent le niveau 2, et ainsi de suite.Date auplus tôtDate auplus tard0 01A (2)2 42C (4)9 9415 15E (6) 54 4B (4) 3D (5)<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 6 / 17
SynthèseMéthode PERTRemarques :Il a été nécessaire d’intro<strong>du</strong>ire une tâche fictive de <strong>du</strong>rée égale à 0, pour représenter larelation d’antériorité entre A et D.Le cumul des tâches composant la séquence la plus longue (B, D, E) permet dedéterminer la date au plus tôt de réalisation <strong>du</strong> projet. Cette succession de tâchesconstituent le chemin critique.Détermination des dates :Date au plus tôtPour un sommet, la date au plus tôt (t) représente concrètement le tempsminimum nécessaire pour atteindre ce sommet.ij.Date au plus tardt 1 = 0 et t j = Max[t i + D ij ] sur tous les i précédant j avec D ij <strong>du</strong>rée de la tâchePour un sommet, la date au plus tard (T ) représente concrètement la date àlaquelle cet état doit obligatoirement être atteint si l’on ne veut pas augmenter la <strong>du</strong>réetotale <strong>du</strong> projet.T n = t n = Durée <strong>du</strong> projet, et T i = Min[T j − D ij ] sur tous les j suivant i.On aura toujours t 1 = T 1 = 0 et t inférieur ou égal à T pour tout sommet. On appelleT − t la marge de flottement <strong>du</strong> sommet.<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 7 / 17
SynthèseMéthode PERTInitialiser la date au plustôt <strong>du</strong> 1er sommet à 0A (2)2C (4)01Tâcje fictive(<strong>du</strong>rée nulle)D (5)4 E (6) 5B (4) 3<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 8 / 17
SynthèseMéthode PERT0+2=2A (2)22C (4)Max[2+4, 4+5]9+6=1501Max[0+4, 2+0]4B (4) 3D (5)9415E (6) 5<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 8 / 17
SynthèseMéthode PERTMin[9-4, 4-0]Min[4-2, 4-4]0 01A (2)2 424 4B (4) 39-5=4C (4)D (5)15-6=99 94Initialiser la date au plus tard<strong>du</strong> dernier sommet avec sadate au plus tôt15 15E (6) 5<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 8 / 17
SynthèseMéthode PERT0 01A (2)2 42C (4)9 9415 15E (6) 54 4B (4) 3D (5)Chemin Critique: B -> D -> E<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 8 / 17
SynthèseMéthode PER<strong>TD</strong>étermination des marges :Marge totale : MT ij = T j − t i − D ije.g.Tâches A B C D EMarges totales 4-0-2=2 4-0-4=0 9-2-4=3 9-4-5=0 15-9-6=0Les marges totales des différentes tâches sont nulles sur le chemin critique.Marge libre : ML ij = t j − t i − D ije.g.Tâches A B C D EMarges libres 2-0-2=0 4-0-4=0 9-2-4=3 9-4-5=0 15-9-6=0Les marges seront toujours positives ou nulles et la marge libre d’une tâche seratoujours inférieure ou égale à sa marge totale.<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 9 / 17
Exercices Exo 1Exercice 1La construction d’un entrepôt est découpée en dix tâches dont lescaractéristiques sont données dans le tableau suivantTâches Nature Travaux Duréeantérieurs en joursA Acceptation des plans 4B Préparation <strong>du</strong> terrain 2C Commande des matériaux A 1D Creusage des fondations A, B 1E Commande des portes et fenêtres A 2F Livraison des matériaux C 2G Coulage des fondations D, F 2H Livraison des portes et fenêtres E 10I Pose des murs et <strong>du</strong> toit G 4J Mise en place des portes H, I 11. Tracer le diagramme P.E.R.T et en dé<strong>du</strong>ire le chemin critique.2. Utiliser la méthode M.P.M et trouver le chemin critique.<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 10 / 17
Exercices Solution (Exo 1)Solution (P.E.R.T)2E (2)5A (4)C (1)H (10)1(0)4F (2) 6 G (2) 7 I (4) 8 J (1) 9B (2)D (1)3<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 11 / 17
Exercices Solution (Exo 1)Solution (P.E.R.T)42E (2)65A (4)C (1)H (10)01(0)547697168F (2) G (2) I (4) J (1)179B (2)D (1)43<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 11 / 17
Exercices Solution (Exo 1)Solution (P.E.R.T)4 42E (2)6 65A (4)C (1)H (10)0 01(0)5 847 1069 12716 168F (2) G (2) I (4) J (1)17 179B (2)D (1)4 93<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 11 / 17
Exercices Solution (Exo 1)Solution (P.E.R.T)4 42E (2)6 65A (4)C (1)H (10)0 01(0)5 847 1069 12716 168F (2) G (2) I (4) J (1)17 179B (2)4 93D (1)Chemin critique: A E H J<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 11 / 17
Exercices Solution (Exo 1)Solution (M.P.M)0A44E2H10Début4C1FJ1Fin024B2D1G2I<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 12 / 17
Exercices Solution (Exo 1)Solution (M.P.M)0Début00A4444C4E15F26H1016J117Fin0240B24D17G29I<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 12 / 17
Exercices Solution (Exo 1)Solution (M.P.M)0 0Début00 0A4444 7C4 4E15 8F26 6H1016 16J117 17Fin0240 7B24 9D17 10G29 12I<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 12 / 17
Exercices Solution (Exo 1)Solution (M.P.M)0 0Début00 0A4444 7C4 4E15 8F26 6H1016 16J117 17Fin0240 7B24 9D17 10G29 12IChemin critique: A E H J<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 12 / 17
Exercices Exo 2Exercice 2Le tableau suivant répertoire les tâches et les contraintes d’enchaînement.Tâches Durée en jours Travaux antérieursA 10 -B 20 -C 5 -D 40 AE 10 A, B, CF 4 A, CG 12 E, FH 5 GI 15 GJ 3 D, H, IDéterminer le chemin critique en prenant en compte deux méthodes(PERT et MPM).<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 13 / 17
Exercices Solution (Exo 2)Solution (P.E.R.T)A (10)2(0)D (40) J (3)891 B (20) 3 E (10)C (5)(0)F (4)45G (12)6H (5)I (15)(0)7<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 14 / 17
Exercices Solution (Exo 2)Solution (P.E.R.T)A (10)102(0)D (40) J (3)57860901B (20)104203C (5)(0)F (4)E (10)305G (12)426H (5)I (15)(0)577<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 14 / 17
Exercices Solution (Exo 2)Solution (P.E.R.T)A (10)10 172(0)D (40) J (3)57 57860 6090 01B (20)10 20420 203C (5)(0)F (4)E (10)30 305G (12)42 426H (5)I (15)(0)57 577<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 14 / 17
Exercices Solution (Exo 2)Solution (P.E.R.T)A (10)10 172(0)D (40) J (3)57 57860 6090 01B (20)10 20420 203C (5)(0)F (4)E (10)30 305G (12)42 426H (5)I (15)(0)57 577Chemin critique: B E G I J ( ≠ B E G H J)<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 14 / 17
Exercices Solution (Exo 2)Solution (M.P.M)Début00A0BC101051020FDE410G401212IH155J3Fin<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 15 / 17
Exercices Solution (Exo 2)Solution (M.P.M)0Début000A00B0C10105102010F10D20E41030G121242I4042H15557J360Fin<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 15 / 17
Exercices Solution (Exo 2)Solution (M.P.M)0 0Début000 7A00 0B0 21C10101020510 26F10 17D20 20E41030 30G12124042 42I42 52H15557 57J360 60Fin<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 15 / 17
Exercices Solution (Exo 2)Solution (M.P.M)0 0Début000 7A00 0B0 21C10101020510 26F10 17D20 20E41030 30G12124042 42I42 52H15557 57J360 60FinChemin critique: B E G I J<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 15 / 17
Exercices Solution (Exo 2)Solution (M.P.M)0 0Début000 7A00 0B150 21C101010552010 26F10 17D20 20E41030 30G12124042 42I42 52H15557 57J360 60Fin<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 15 / 17
Exercices Solution (Exo 2)Thank you !CONTACT : kai.zhao@univ-lemans.fr<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 16 / 17
AppendixOpérationinitialenotée 00A2 C40Début2E 6 Fin50 B 4 DReturn<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 17 / 17
AppendixMax [Date au plus tôt de i + Durée Tij]0+0=000A2 C40Début0+0=02E 6 Fin00 B4 D5Return<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 17 / 17
Appendix0+2=200A22 C40Début2E 6 Fin00 B44 D5Max [0+4, 0+2] => 4Return<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 17 / 17
Appendix00A22 CMax [2+4, 4+5] => 949+6=150Début29E156 Fin00 B44 D5Return<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 17 / 17
AppendixLa date au plus tard =la date au plus tôt00A22 C4(sommet Fin)15=150Début29E15 156 Fin00 B44 D5Return<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 17 / 17
AppendixMin [Date au plus tard de j - Durée Tij]=> 15-6=900A22 C40Début29 9E15 156 Fin00 B44 D5Return<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 17 / 17
Appendix9-4=500A2 52 C40Début29 9E15 156 Fin00 B4 44 D59-5=4Return<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 17 / 17
AppendixMin [Date au plus tard de j - Durée Tij]=> Min [5-2, 4-2]00 2A2 52 C40Début4-4=029 9E15 156 Fin0 00 B4 44 D5Return<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 17 / 17
AppendixMin [2-0, 0-0]Au sommet « Début »Date au plus tôt =Date au plus tard = 000 2A2 52 C40 0Début29 9E15 156 Fin0 00 B4 44 D5Return<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 17 / 17
Appendix00 2A2 52 C40 0Début29 9E15 156 Fin0 00 B4 44 D5Le chemin le plus long est appelé Chemin Critique. Sur le chemin critique, les dates au plustôt et au plus tard coïncident. (B -> D -> E)Return<strong>TD</strong> 1 (Problèmes d’ordonnancement) 17 / 17
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