- Systèmes Linéaires et algorithme de Gauss1 - 1 Résolution de ...

IUT de Laval Année Universitaire 2007/2008Département Informatique, 2ème annéeAlgèbre linéaire et GéométrieTP- Systèmes Linéaires et algorithme de Gauss 1 -1 Résolution de systèmes linéairesUn système de p équations linéaires à n inconnues se présente sous la forme⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = y 1⎪⎨ a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = y 2(E). . ⎪⎩a p1 x 1 + a p2 x 2 + · · · + a pn x n = y pEn utilisant le produit matriciel, on peut l’écrire de la manière suivante :⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞a 11 a 12 . . . a 1n x 1 y 1a 21 a 22 . . . a 2nx 2⎜⎟ ⎜ ⎟⎝ . . . ⎠ ⎝ . ⎠ = y 2⎜ ⎟⎝ . ⎠ ⇔ Ax = ya p1 a p2 . . . a pn x n y pScilab possède plusieurs primitives pour résoudre des sytèmes d’équations linéaires commelinsolve(A,y) qui renvoie une solution de l’équation Ax + y = 0 (sans dire s’il y ena d’autres) ou la matrice vide [ ] avec un warning s’il n’y a pas de solution. Attention,pour trouver une solution de Ax = y, il faudra donc taper linsolve(A,-y).Exercice 1 : Utiliser la commande linsolve pour trouver une solution de l’équationAx = y avec⎛⎞ ⎛ ⎞−2 2 2 −1−2A = ⎜ 1 3 −1 −2⎟⎝ 2 1 −2 2 ⎠ y = ⎜ 1⎟⎝ 2 ⎠0 −1 0 10Calculer le produit de A par le vecteur u=[0 ;0 ;-1 ;0]. Que peut-on en déduire ?Que se passe-t-il si on remplace le 2ème coefficient de y par 0 ?Faire help linsolve pour plus d’informations.Pour résoudre un système carré (autant de lignes que de colonnes), on peut aussiutiliser l’inverse de la matrice, s’il existe. En effet, dans ce cas, on aet il y a alors unicité de la solution.Ax = y ⇔ A −1 Ax = A −1 y ⇔ x = A −1 yAttention, si la matrice n’est pas inversible, alors il peut arriver n’importe quoi (pasde solution, infinité de solutions,. . .)1 Merci à Philippe Roux qui est l’auteur de ce TP

Exercice 2 : Soit E un espace vectoriel. Dans chacun des cas suivants, on veut décomposerle vecteur y en combinaison linéaire de vecteurs de F. Pour celà :– écrire le système d’équations linéaires sur les coefficients d’une combinaison linéairede vecteurs de F– résoudre ce système en utilisant linsolve puis l’inversion de matrice1. E = R 3 avec F = {a, b, c} où⎛a = ⎝−111⎞⎛⎠ b = ⎝2. E = C 3 avec F = {a, b, c} où⎛a = ⎝1−1i⎞⎛⎠ b = ⎝3. E = R 4 avec F = {a, b, c, d} oùa =⎛⎜⎝12−1−2⎞ ⎛⎟⎠ b = ⎜⎝230−11−111−11⎞⎛⎠ c = ⎝⎞⎞ ⎛⎟⎠ c = ⎜⎝⎛⎠ c = ⎝13−1011−1i1−1⎞⎛⎠ et y = ⎝⎞⎞ ⎛⎟⎠ d = ⎜⎝⎛⎠ et y = ⎝12142−3−11 + i1 − ii⎞⎠⎞ ⎛⎟⎠ et y = ⎜⎝⎞⎠714−12⎞⎟⎠Exercice 3 : Soient⎛A = ⎝2 0 2−1 2 11 1 2⎞⎛⎠ x = ⎝220⎞⎛⎠ y = Ax et u = ⎝1. Calculer y puis comparer le résultat de linsolve(A,-y) avec x.2. Montrer que tout vecteur de la forme z = x + λu avec λ ∈ R est solutiondel’équation Az = y.3. Montrer qu’il n’y a pas d’autre solution à cette équation (si z est solution, regarderz − x . . . ).11−1⎞⎠2 Algorithme de GaussLa méthode la plus employée pour résoudre des systèmes linéaires est la méthode deGauss. Elle consiste à transformer le système (E), par une série de manipulations élémentairessur les équations du système (permutations, addition d’équations, multilication parun réel), en un système triangulaire qui est alors facile à résoudre :⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = y 1⎪⎨ a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = y 2(E). . ⎪⎩a p1 x 1 + a p2 x 2 + · · · + a pn x n = y pGauss−−−−−→⎧⎪⎨⎪⎩ã 11 x 1 + ã 12 x 2 + · · · + ã 1n x n = ỹ 1ã 22 x 2 + · · · + ã 2n x n = ỹ 2. .. . .ã pn x n = ỹ pMatriciellement, il faudra appliquer les opérations élémentaires à la fois sur la matriceA et sur y.2

Voici un exemple très simple de mise en oeuvre de la méthode de Gauss :⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩système d’équationsA =x + y + z = 1 L 1⎛x − y + 2z = 2 L 2⎝−x + 2y + z = −4 L 3A =x + y + z = 1 L 1⎛− 2y + z = 1 L 2 − L 1⎝3y + 2z = −3 L 3 + L 1A =x + y + z = 1 L 1⎛− 2y + z = 1 L 2 − L 1⎝7z = −3 2˜L 3 + 3˜L 2version matricielle1 1 11 −1 2−1 2 11 1 10 −2 10 3 21 1 10 −2 10 0 7⎞⎛⎠ y = ⎝⎞⎛⎠ y = ⎝⎞⎛⎠ y = ⎝12−411−311−3⎞⎠⎞⎠⎞⎠Cette méthode se décompose en trois actions principales :– la recherche d’un pivot (la partie la plus difficile quand la première variable a pourcoefficient 0 dans la première équation non traitée)– l’élimination d’une variable dans les lignes suivantes (à partir du pivot choisi précédemmment)– permutation des équations le cas échéantEn utilisant l’écriture matricielle du système (E), on peut écrire une fonction qui appliquela méthode de Gauss au couple (A, y). Vous trouverez cette fonction (qui sera à compléterdans l’exercice qui suit) sur le serveur sous le nom Gauss.sce. Lisez l’algorithmeet faites apparaître les différentes parties mentionnées ci-dessus, puis faites l’exercice cidessous.Exercice 4 :1. Écrire la fonction Scilab permutation(A, y, i, l) qui permute les lignes i et l dusystème.2. Écrire la fonction Scilab elimination(A, y, i, j) qui élimine la variable x j des lignesi + 1 à p.3. Tester la fonction obtenue en comparant le résultat donné par linsolve(A,-y)avant et après l’appel à la fonction Gauss(A,y) avec un jeu de “données tests”aléatoires :-->A=int(5*rand(4,4)-2),x=rand(5*rand(4,1)-2),y=A*x//jeu de test-->[B,z]=Gauss(A,y)-->linsolve(A,-y)//r\’esolution avant la m\’ethode de Gauss-->linsolve(B,-z)//r\’esolution apr\‘es la m\’ethode de Gauss3

Exercice 5 :1. Écrire une fonction scilab qui résoud un système linéaire à l’aide de l’algorithmede Gauss.2. Écrire une fonction scilab qui résoud un système linéaire à l’aide de l’algorithmede Gauss-Jordan.3. Écrire une fonction scilab qui calcule le déterminant d’une matrice carrée à l’aidede l’algorithme de Gauss.4. Écrire une fonction scilab qui calcule le rang d’une matrice à l’aide de l’algorithmede Gauss.5. Écrire une fonction scilab qui calcule l’inverse d’une matrice carrée à l’aide del’algorithme de Gauss-Jordan.4