- Systèmes Linéaires et algorithme de Gauss1 - 1 Résolution de ...

Exercice 2 : Soit E un espace vectoriel. Dans chacun des cas suivants, on veut décomposerle vecteur y en combinaison linéaire de vecteurs de F. Pour celà :– écrire le système d’équations linéaires sur les coefficients d’une combinaison linéairede vecteurs de F– résoudre ce système en utilisant linsolve puis l’inversion de matrice1. E = R 3 avec F = {a, b, c} où⎛a = ⎝−111⎞⎛⎠ b = ⎝2. E = C 3 avec F = {a, b, c} où⎛a = ⎝1−1i⎞⎛⎠ b = ⎝3. E = R 4 avec F = {a, b, c, d} oùa =⎛⎜⎝12−1−2⎞ ⎛⎟⎠ b = ⎜⎝230−11−111−11⎞⎛⎠ c = ⎝⎞⎞ ⎛⎟⎠ c = ⎜⎝⎛⎠ c = ⎝13−1011−1i1−1⎞⎛⎠ et y = ⎝⎞⎞ ⎛⎟⎠ d = ⎜⎝⎛⎠ et y = ⎝12142−3−11 + i1 − ii⎞⎠⎞ ⎛⎟⎠ et y = ⎜⎝⎞⎠714−12⎞⎟⎠Exercice 3 : Soient⎛A = ⎝2 0 2−1 2 11 1 2⎞⎛⎠ x = ⎝220⎞⎛⎠ y = Ax et u = ⎝1. Calculer y puis comparer le résultat de linsolve(A,-y) avec x.2. Montrer que tout vecteur de la forme z = x + λu avec λ ∈ R est solutiondel’équation Az = y.3. Montrer qu’il n’y a pas d’autre solution à cette équation (si z est solution, regarderz − x . . . ).11−1⎞⎠2 Algorithme de GaussLa méthode la plus employée pour résoudre des systèmes linéaires est la méthode deGauss. Elle consiste à transformer le système (E), par une série de manipulations élémentairessur les équations du système (permutations, addition d’équations, multilication parun réel), en un système triangulaire qui est alors facile à résoudre :⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = y 1⎪⎨ a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = y 2(E). . ⎪⎩a p1 x 1 + a p2 x 2 + · · · + a pn x n = y pGauss−−−−−→⎧⎪⎨⎪⎩ã 11 x 1 + ã 12 x 2 + · · · + ã 1n x n = ỹ 1ã 22 x 2 + · · · + ã 2n x n = ỹ 2. .. . .ã pn x n = ỹ pMatriciellement, il faudra appliquer les opérations élémentaires à la fois sur la matriceA et sur y.2