Séance n 3 Eléments finis en dimension 1 et 2 Corrigé - Inria

TD MA201Cours Eléments Finis(W I ) 1≤I≤N est génératrice car :∀ v h ∈ V h , v h (M) = ∑ Iv h (M I ) W I (M)En effet, en posant u h = v h − ∑ I v h(M I ) W I , on a :d’où u h = 0.u h (M J ) = 0 ∀ 1 ≤ J ≤ N.2.5 - soit v h ∈ V 2h montrons que v h ∈ H 1 (Ω). Par définition de V 2h on a v h| Tl ∈ P 2 ∀ l =1, L, ceci implique que v h | Tl ∈ H 1 (T l ). v h est supposé continue sur ¯Ω. Par conséquent v hest dans H 1 (Ω) (cf TD2).2.6 - Par définition, sur chaque triangle T l les fonctions W I et WJK 1 sont des fonctionP 2 prenenant six valeurs données aux sommets du triangle T l et aux mileux des arètes.Or une fonction P 2 est entièrement déterminée par les valeurs qu’elle prend en six pointsdisctincts. Comme par hypothèse sur le maillage les triangles T l sont d’intérieur non videon en déduit que W I et WJK 1 sont définies d’une manière unique. on notera également queW I et WJK 1 sont continues sur ¯Ω car la restriction de W I et WJK 1 sur une arête définit unpolynôme de degré 2 le long de l’arête prenenat trois valeurs données et tout polynômede degré 2 en une variable est entièrement déterminée par les valeurs qu’il prend en troispoints distincts.On considèreτ Il = W I |T l et τJ 1 l K l= WJK|T 1 lavec I l , J l , K l les indices locaux de sommets M I , M J et M K dans le triangle T l . Notre butest de calculer l’expression des τ Il et des τ 1 J l K len coordonnées barycentriques.Or les fonctions de bases sont des polynômes de degré 2 en chacune des variables, doncelles sont de la forme,aλ 2 1 + bλ 2 2 + cλ 2 3 + dλ 1 λ 2 + eλ 1 λ 3 + fλ 2 λ 3 + gλ 1 + hλ 2 + iλ 3 + j.Tenant compte du fait que λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1, on peut éliminer l’une des trois coordonnéesdans l’expression ci-dessus. D’autre part en utilisant la définition des τ Il et τJ 1 l K l, on obtientun système de six équations à six inconnues.D’où les expressions suivantes :τ Il = 2λ 2 I l− λ Il ,τJ 1 l K l= 4λ Jl λ Kl .2.7 - La famille {(W I ) 1≤I≤N , (WJK 1 ) ∀[J,K] arète } est libre car∑I λ I W I + ∑ [J,K] α JK WJK 1 = 0.On a alors :4