Séance n 3 Eléments finis en dimension 1 et 2 Corrigé - Inria

TD MA201Cours Eléments FinisS4❤S❤34❤S3S 14❤S1234❤❤S23❤❤❤S1S12S2Les fonctions de base des éléments Q 2 sont :ˆq 1 (x, y) = (1 − x)(1 − 2x)(1 − y)(1 − 2y),ˆq 2 (x, y) = x(2x − 1)(1 − y)(1 − 2y),ˆq 3 (x, y) = x(2x − 1)y(2y − 1),ˆq 4 (x, y) = (1 − x)(1 − 2x)y(2y − 1).ˆq 12 (x, y) = 4(1 − x)x(1 − y)(1 − 2y).ˆq 23 (x, y) = 4x(2x − 1)y(1 − y).ˆq 34 (x, y) = −4x(x − 1)y(2y − 1).ˆq 41 (x, y) = −4(1 − x)(1 − 2x)y(y − 1).ˆq 1234 (x, y) = 16x(1 − x)y(1 − y).3.2 - 3.2.1 on demande aux ˆµ I d’avoir une trace d’ordre ≤ 2 sur le bord supérieur etd’ordre ≤ 1 sur les autres, réalisant ainsi l’unisolvance sur les bords et par là même lacontinuité du raccord avec les éléments adjacents.3.2.2 Il est clair queˆµ 1 = ˆp 1 , et ˆµ 2 = ˆp 2 .Les fonctions de base ˆµ 3 et ˆµ 4 étant de degré 2 sur le bord supérieur et ≤ 1 sur lesautres, on recherche alors τ 3 et τ 4 de degré 1 tels que ˆµ 3 = ˆp 3 τ 3 (x) et ˆµ 4 = ˆp 4 τ 4 (x). Onaura en fait τ 3 (1/2) = τ 4 (1/2) = 0, τ 3 (1) = 1 et τ 4 (0) = 1, par conséquent τ 3 (x) = 2x − 1et τ 4 = −2x + 1. On en déduit queˆµ 3 = xy(2x − 1)ˆµ 4 = (1 − x)y(−2x + 1)Reste à étudier ˆµ 5 , elle sera de la forme αx(1 − x)y et comme ˆµ 5 (1/2, 1) = 1, on endéduit que α = 4 etˆµ 5 = 4x(1 − x)y.6