Séance n 3 Eléments finis en dimension 1 et 2 Corrigé - Inria

TD MA201Cours Eléments Finison obtient :D’autre part :a(u, u) ≥|a(u, v)| ≤ b max ‖u‖ H 1‖v‖ H 1.∫ 10b | du∫ 1dx |2 dx ≥ b minComme on est dans H 1 0(]0, 1[), l’inégalité de Poincaré donne :0| dudx |2 dx.Il existe C > 0, tel que ‖u‖ L 2 ≤ C‖ dudx ‖ L 2.Par suitea(u, u) ≥ b min1 + C ‖u‖2 H 1.Le théorème de Lax-Milgram peut donc s’appliquer, on a existence et unicité de lasolution.4.2 - Les fonctions des bases P 1 sont⎧⎪⎨ 1 − x − x isi x ∈ K i ,hφ i (x) =1 + x − x isi x ∈ K i−1 ,⎪⎩ h0 sinon.En remplaçant H 1 0(]0, 1[) par V h dans la formulation variationnelle, on résoud :a(u, φ i ) = l(φ i ), pour i = 1, ..., N et u =N∑u j φ j .j=1(u j ) j=1,...,N est alors solution du système linéaireN∑A ij u j = F i ,j=1oùetOn note ¯b i j = ∫ x jx ib(x)dx.On remarque queA ij = a(φ j , φ i ) =F i = l(φ i ) =φ ′ i(x) =∫ 10∫ xi+1x i−1b(x)φ ′ j(x)φ ′ i(x)dxf(x)φ i (x)dx.{ 1/h si x ∈ ]xi−1 , x i [−1/h si x ∈ ]x i , x i+1 [8