(A ; 3) et (B ; 2).

1 A,B et C sont trois points non alignés. Le point I est le barycentre des points pondérés (A ; 3) et (B; 2). Le point J est le barycentre des points pondérés (B ; 2) et (C ; – 4). Le point K est le barycentredes points pondérés (A ; 3) et (C ; 4). Construire les points I, J, K.AI = 2 AB, BJ =5– 4– 4 + 2BC = 2 BC et AK = 4 7ACDémontrer que C est le barycentre des deux points pondérés (B ; 2) et (J ; 2).2 CB + 2 CJ = 2 CB +2– 4 + 2CB = 2 CB – 2 CB = 0En déduire que K est le barycentre des trois points pondérés (A;3) , (B;2) et (J;2) ;3 KA + 2 KB + 2 KJ = 3 KA + 4 KC = 0puis que les points I, J et K sont alignés.K est le barycentre des trois points pondérés (A ; 3) , (B ; 2) et (J ; 2) donc, par associativité, K est le barycentre despoints pondérés ((I ; 3 + 2) et (J ; 2) donc K (IJ).Préciser la position relative de ces trois points. IK = 2 7IJRetour2 Soit un triangle ABC et k un réel non nul, on définit les points D et E par les égalités : AD = k AB et CE = k CA : Faire unefigure si k = 1 puis si k = – 1. Montrer que D est le barycentre de (A ; 1 – k) , (B ; k)3(1 – k) AD + k BD = AD – k AD + k BD = k AB + k ( BD + DA) = 0Monter de la même manière, que E est le barycentre de ( C ; 1 – k) , (A ; k).(1 – k) CE + k AE = CE – k CE + k AE = CE + k ( AE + EC) = k CA + k AC = 0Soit B’ et C’ les milieux respectifs de [AC] et [AB].Déduire de ce qui précède que pour tout point M du plan, on a MD + ME = 2 ( MB’ + k B’C’)MD = (1 – k) MA + k MB et ME = (1 – k) MC + k MAMD + ME = (1 – k) MA + k MB + (1 – k) MC + k MA = MA – k MA + k MB + MC – k MC= MA + MC – k ( MA + MB) = 2 MB' – 2 k MC’Montrer que [DE], [AC] et [AB] ont leurs milieux alignés. On pourra appeler I le milieu de [DE].MD + ME = 2 MI donc 2 MI = 2 MB' – 2 k MC’ donc MI = MB’ – k MC’Donc I est le barycentre de (B, 1) et (C, – k), donc I (BC).Retour3 Etant donné un triangle (ABC), construire les points I, J et K définis par I est le barycentre de (A, 2) et (C, 1) ;J est le barycentrede (A, 1) et (B, 2) ; K est le barycentre de (C,1) et (B,-4). 1° Montrer que B est le barycentre de (K, 3) et (C, 1)3 BK + BC = 3 BK + BK + KC = – 3 KB + KC = 02° Quel est le barycentre de (A, 2), (K, 3) et (C, 1) ?Par associativité le barycentre de (A, 2), (K, 3) et (C, 1) est aussi le barycentre de (A, 2) et (B, 3 + 1)3° Déduire du 2° que I, J et K sont alignés et que J est le milieu de [IK].Par associativité le barycentre de (A, 2), (K, 3) et (C, 1) est aussi le barycentre de (I, 2 + 1), (K, 3)Donc I est le milieu de [IK]4° L étant le milieu de [CI] et M le milieu de [KC], montrer que (IJML) est un parallélogramme dont le centre G est l’isobarycentredes points A B et C.Soit G le milieu de [IM], G est le barycentre de (I, – 6) et (M, – 6) donc, par associativité,G est le barycentre de (A, – 4), (C, – 2), (K, – 3) et (C, – 3)donc c’est le barycentre de (A, – 4), (C, – 5), (C, 1) et (B, – 4)donc c’est le barycentre de (A, – 4), (B, – 4) et (C, – 4). C’est donc le centre de gravité du triangle ABCSoit G’ le milieu de [JL], G’ est le barycentre de (J, 6) et (L, 6) donc, par associativité,G’ est le barycentre de (A, 2), (B, 4), (C, 3) et (I, 3)donc c’est le barycentre de (A, 2), (B, 4), (C, 3), (A, 2) et (C, 1)donc c’est le barycentre de (A, 4), (B, 4) et (C, 4). C’est donc le centre de gravité du triangle ABCLe quadrilatère IJML a ses diagonales qui se coupent en G, centre de gravité de ABC c’est donc un parallélogrammede centre GRetour