Devoir surveillé n°10 Exercice 1 ( 7 points) : Soit un ...

Devoir surveillé n°10Exercice 1 ( 7 points) :Soit un parallélogramme ABCD1° Placer les points E, F et G tels que AE ⎯⎯→= 3 ⎯⎯→AD, BF ⎯⎯→= 3 ⎯⎯→BC et CG ⎯⎯→= 2 ⎯⎯→CD8 43Le but de l’exercice est de montrer, par deux méthodes différentes, que les droites (BE) et (FG) sont parallèles.2° Méthode 1 : Avec les vecteursa) Exprimer BE ⎯⎯→en fonction de AB ⎯⎯→et AD.⎯⎯→b) Montrer que FG ⎯⎯→= – 2 3⎯⎯→AB + 1 4⎯⎯→ADc) Conclure3° Méthode 2 : Dans le repère (A, AB, ⎯⎯→AD)⎯⎯→a) Pour quelle raison (A, AB, ⎯⎯→AD) ⎯⎯→est-il un repère du plan ?b) Déterminer, sans justifier, les coordonnées de A, B, C et D.c) Calculer les coordonnées de E, F et G.d) Démontrer que les droites (BE) et (FG) sont parallèles.Exercice 2 (9 points)Soit (O; ⎯→ i ; ⎯→ j ) un repère orthonormé du plan.On considère les points A(– 1 ; 4), B(– 4 ; – 2), C(1 ; 0), D(4 ; 6) et E(3 ; 3).1° Faire une figure.2° Calculer les coordonnées des vecteurs AB ⎯⎯→et DC. ⎯⎯→Que peut-on dire du quadrilatère ABCD ?3° Déterminer les coordonnées du point F, symétrique de B par rapport à C.4° On admettra que F(6 ; 2).Calculer les longueurs FD, FE et DE.Quelle est la nature du triangle DEF ? Justifier la réponse.5° Les points A, E et F sont-ils alignés ?6° Déterminer les coordonnées des points H et G vérifiant :⎯⎯→AH = 4 ⎯⎯→AB et AG ⎯⎯→– 2 BG ⎯⎯→+ 3 CG ⎯⎯→= ⎯→ 0.3Exercice 3 (4 points )Dans le plan muni du repère (O ; ⎯→ i , ⎯→ j ), on considère les points : A (6 ; 3) , B (– 3 ; 0) , C (5 ; 4) et D (– 1 ; 1).1° Montrer que les droites (OA) et (BC) sont parallèles.2° Les points B, C et D sont-ils alignés ? Justifier.3° Déterminer y tel que M (25 ; y) soit aligné avec les points A et B.4° Soit E ⎜ ⎛ m , – 1 ⎝ 3⎠ ⎟⎞ où m est un réel.Pour quelle(s) valeur(s) de m, le quadrilatère DOAE est-il un trapèze ?

Nom ___________________________________________________DACBNom ___________________________________________________DACB

Exercice 1 ( 7 points) :Soit un parallélogramme ABCD 1° Placer les points E, F et G tels que AE ⎯⎯→= 3 ⎯⎯→AD, ⎯⎯→BF = 3 ⎯⎯→BC et CG ⎯⎯→= 2 843⎯⎯→CD Le but de l’exercice est de montrer, par deux méthodes différentes, que les droites (BE) et (FG) sont parallèles. 2°Méthode 1 : Avec les vecteurs a) Exprimer BE ⎯⎯→en fonction de AB ⎯⎯→et AD.⎯⎯→⎯⎯→BE = BA ⎯⎯→+ AE ⎯⎯→= – AB ⎯⎯→+ 3 8⎯⎯→ADb) Montrer que FG ⎯⎯→= – 2 ⎯⎯→AB + 1 ⎯⎯→AD3 4⎯⎯→FG = FB ⎯⎯→+ BC ⎯⎯→+ CG ⎯⎯→= – 3 4c) Conclure2 BE ⎯⎯→= – 2 AB ⎯⎯→+ 3 43° Méthode 2 : Dans le repère (A, ⎯⎯→⎯⎯→BC + BC ⎯⎯→+ 2 3⎯⎯→CD = 1 4⎯⎯→AD et 3 FG ⎯⎯→= – 2 AB ⎯⎯→+ 3 4AB , ⎯⎯→⎯⎯→AD⎯⎯→BC + 2 3⎯⎯→CD = – 2 3⎯⎯→AB + 1 4AD) a) Pour quelle raison (A, AB ⎯⎯→, AD) ⎯⎯→est-il un repère du plan ?⎯⎯→AB et AD ⎯⎯→ne sont pas colinéaires.b) Déterminer, sans justifier, les coordonnées de A, B, C et D.A (0,0), B(1 , 0), C(1 , 1) et D(0 , 1)c) Calculer les coordonnées de E, F et G .⎯⎯→AE = 3 ⎯⎯→AD = 0 AB ⎯⎯→+ 3 ⎯⎯→AD donc E88⎜ ⎛ 0 , 3 ⎝ 8⎠ ⎟⎞⎯⎯→AF = AB ⎯⎯→+ BF ⎯⎯→= AB ⎯⎯→+ 3 ⎯⎯→BC = AB ⎯⎯→+ 3 ⎯⎯→AD ( ABCD parallélogramme donc BC ⎯⎯→= AD) ⎯⎯→donc F44⎜ ⎛ 1 , 3 ⎝ 4⎠ ⎟⎞Variante. Si F(x , y) on a : BF ⎯⎯→⎜ ⎛ x – 1⎝ y – 0 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→et BC ⎜ ⎛ 0⎝ 1 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→car BC = AD⎯⎯→⎯⎯→BF = 3 ⎯⎯→⎪⎧ x – 1 = 0⎪⎧ x = 1BC ⇔ ⎨4 y = 3 ⇔ ⎨y = 3 F ⎜ ⎛ 1 , 3⎩⎪ 4 ⎩⎪ 4 ⎝ 4⎠ ⎟⎞⎯⎯→AG = AC ⎯⎯→+ CG ⎯⎯→= AC ⎯⎯→+ 2 ⎯⎯→CD = AB ⎯⎯→+ AD ⎯⎯→– 2 ⎯⎯→AB = 1 33 3( ABCD parallélogramme donc AB ⎯⎯→+ AD ⎯⎯→= AC ⎯⎯→et CD ⎯⎯→= – ⎯⎯→Variante. Si G(x , y) on a : CG ⎯⎯→⎜ ⎛ x – 1⎝ y – 1 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→et CD ⎜ ⎛ – 1⎝ 0 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→CG = 2 ⎯⎯→⎪⎧ 2 x – 1 = – ⎪⎧ 1 x =CD ⇔ ⎨ 3 ⇔ ⎨ 3 G3⎜ ⎛ 1⎩⎪ y – 1 = 0 ⎩⎪ y = 1 ⎝ 3 , 1 ⎠ ⎟⎞d) Démontrer que les droites (BE) et (FG) sont parallèles.⎯⎯→BE ⎜ ⎛ 0 – 1⎝ 3/8 – 0 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→et FG ⎜ ⎛ 1/3 – 1⎝ 1 – 3/4 ⎠ ⎟⎞ sont-ils colinéaires ?⎯⎯→BE ⎜ ⎛ – 1⎝ 3/8 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→et FG ⎜ ⎛ – 2/3⎝ 1/4 ⎠ ⎟⎞ . On a : – 1 × 1 4 – ⎝ ⎜⎛ – 2 3⎠ ⎟⎞⎯⎯→AB + ⎯⎯→⎯⎯→ADAD donc G ⎜ ⎛ 1⎝ 3 , 1 ⎠ ⎟⎞AB)car CD ⎯⎯→= – AB⎯⎯→38 = – 1 4 + 1 ⎯⎯→= 0 donc BE et FG ⎯⎯→sont colinéaires donc (BE) // (FG)4

Exercice 2 (9 points) Soit (O; ⎯→i ; ⎯→j ) un repère orthonormé du plan. On considère les points A(– 1 ; 4), B(– 4 ; – 2), C(1 ; 0), D(4 ;6) et E(3 ; 3). 1° Faire une figure.2° Calculer les coordonnées des vecteurs AB ⎯⎯→et DC. ⎯⎯→Que peut-on dire du quadrilatère ABCD ?⎯⎯→AB ⎜ ⎛ – 4 + 1⎝ – 2 – 4 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→donc AB ⎜ ⎛ – 3⎝ – 6 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→et DC ⎜ ⎛ 1 – 4⎝ 0 – 6 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→donc DC ⎜ ⎛ – 3⎝ – 6 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→AB = DC ⎯⎯→donc ABCD parallélogramme3° Déterminer les coordonnées du point F, symétrique de B par rapport à C.C est le milieu de [BF] on a donc BF ⎯⎯→= 2 BC⎯⎯→Si F(x , y) on a : BF ⎯⎯→⎜ ⎛ x + 4⎝ y + 2 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→et BC ⎜ ⎛ 1 + 4⎝ 0 + 2 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→BF = 2 BC ⎯⎯→⇔ ⎨ ⎧ x + 4 = 2 × 5⎩ y + 2 = 2 × 2 ⇔ x = 10 – 4⎩ ⎨⎧ y = 4 – 2 ⇔ x = 6⎩ ⎨⎧ y = 2donc F (6 ; 2)4° On admettra que F(6 ; 2). Calculer les longueurs FD, FE et DE. Quelle est la nature du triangle DEF ? Justifier la réponse.⎯⎯→FD ⎜ ⎛ 4 – 6⎝ 6 – 2 ⎠ ⎟⎞ donc FD = (– 2)2 + 4 2 = 20. FE ⎯⎯→⎜ ⎛ 3 – 6⎝ 3 – 2 ⎠ ⎟⎞ donc FE = (– 3)2 + 1 2 = 10⎯⎯→DE ⎜ ⎛ 3 – 4⎝ 3 – 6 ⎠ ⎟⎞ donc DE = (– 1)2 + (– 3) 2 = 10DE 2 + FE 2 = 10 + 10 = 20 = FD 2 d'après la réciproque du théorème de Pythagore DEF est rectangle en E5° Les points A, E et F sont-ils alignés ?⎯⎯→AE ⎜ ⎛ 3 + 1⎝ 3 – 4 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→et AF ⎜ ⎛ 6 + 1⎝ 2 – 4 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→. 4 × (– 2) – (– 1) × 7 = – 8 + 7 ≠ 0 donc AE et AF ⎯⎯→ne sont pas colinéaires donc lespoints A, E et f ne sont pas alignés.6° Déterminer les coordonnées des points H et G vérifiant :⎯⎯→AH = 4 ⎯⎯→AB et AG ⎯⎯→– 2 BG ⎯⎯→+ 3 CG ⎯⎯→= ⎯→ 0.3Si H (x , y) on a AH ⎯⎯→⎜ ⎛ x + 1⎝ y – 4 ⎠ ⎟⎞AB ⎜ ⎛ – 3⎝ – 6 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→et⎯⎯→donc AH = 4 3⎯⎯→AB ⇔Si G (x , y) on a : AG ⎯⎯→⎜ ⎛ x + 1⎝ y – 4 ⎠ ⎟⎞ , BG ⎯⎯→⎜ ⎛ x + 4⎝ y + 2 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→et CG ⎜ ⎛ x – 1⎝ y – 0 ⎠ ⎟⎞⎧x + 1 – 2 (x + 4) + 3 (x – 1) = 0⎨⎩y – 4 – 2 (y + 2) + 3 y = 0⇔ ⎨ ⎧ x + 1 – 2 x – 8 + 3 x – 3 = 0⎩ y – 4 – 2 y – 4 + 3 y = 0yD⎧ x + 1 = – 3 × 4 3⎨y – 4 = – 6 ×⎩4 ⇔ ⎨ ⎧ x = – 4 – 1⎩ y = 4 – 8⇔ ⎨ ⎧ x = – 5⎩ y = – 43donc⎯⎯→AG – 2 BG ⎯⎯→+ 3 CG ⎯⎯→= ⎯→ 0 ⇔⇔ ⎩⎨ ⎧ 2 x = 102 y = 8 ⇔ ⎩ ⎨⎧ x = 5y = 4AEFoCB

Exercice 3 (4 points ) Dans le plan muni du repère (O ; ⎯→i , ⎯→j ), on considère les points : A (6 ; 3) , B (– 3; 0) , C (5; 4) et D (– 1; 1).1° Montrer que les droites (OA) et (BC) sont parallèles.⎯⎯→OA ⎜ ⎛ 6⎝ 3 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→et BC ⎜ ⎛ 5 + 3⎝ 4 – 0 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→donc BC ⎜ ⎛ 8⎝ 4 ⎠ ⎟⎞ On a : 6 × 4 – 3 × 8 = 24 – 24 = 0 donc OA ⎯⎯→et BC ⎯⎯→sont colinéaires donc(OA) // (BC)2° Les points B, C et D sont-ils alignés ? Justifier.⎯⎯→BC ⎜ ⎛ 8⎝ 4 ⎠ ⎟⎞⎯⎯→et BD ⎜ ⎛ – 1 + 3⎝ 1 – 0 ⎠ ⎟⎞ 8 × 1 – 4 × 2 = 0 donc BC ⎯⎯→et BD ⎯⎯→colinéaires donc B, C et D sont alignés.3° Déterminer y tel que M (25 ; y) soit aligné avec les points A et B.⎯⎯→AM ⎜ ⎛ 25 – 6⎝ y – 3 ⎠ ⎟⎞ et AB ⎯⎯→⎜ ⎛ – 3 – 6⎝ 0 – 3 ⎠ ⎟⎞ colinéaires si et seulement si (25 – 6) × (0 – 3) – (– 3 – 6) × (y – 3) = 0c'est à dire – 57 + 9 y – 27 = 0 c'est à dire y = 849 = 2834° Soit E ⎛m , – 1 ⎞ où m est un réel. Pour quelle(s) valeur(s) de m, le quadrilatère DOAE est-il un trapèze ?⎝ 3⎠DOAE est un trapèze si et seulement si OD ⎯⎯→et AE ⎯⎯→colinéaires⎯⎯→OD ⎜ ⎛ – 1⎝ 1 ⎠ ⎟⎞ et AE ⎯⎯→⎜ ⎛ m– 6⎝ – 1/3 – 3 ⎠ ⎟⎞ colinéaires si et seulement si – 1 × ⎝ ⎜⎛ – 103 ⎠ ⎟⎞ – (m – 6) = 0– 1 × ⎜ ⎛ – 10⎝ 3 ⎠ ⎟⎞10– (m – 6) = 0 ⇔3 – m + 6 = 0 ⇔ m = 283