621 Devoir surveillé n° 4 Mercredi 6 octobre 2010 x f4 (x) = 1 2 x – x ...

621 Devoir surveillé n° 4 Mercredi 6 octobre 2010Exercice 1 : 9 pointsPour chacune des fonctions suivantes calculer la fonction dérivée en précisant son ensemble de définition.f 1 (x) = – 3 x 4 + 2 x 2 + 3 – 1 fx 2 (x) = 3 x + 11f 3 (x) =x – 22 x 2 f+ 14 (x) = 12 x – x 2f 5 (x) =(3 x + 1) 3 f 6 (x) = 3 x2 – 1x 2 + 3 xExercice 2 : 10 pointsSoit h la fonction définie sur R – {– 2}par h : x a x2 + b x + cx + 21° Démontrer que pour tout réel x – 2, h' (x) = a x2 + 4 a x + 2 b – c(x + 2) 22° Déterminer a, b et c pour que la courbe représentative de h : passe par le point de coordonnées (0 ; – 1). admette une tangente horizontale au point d’abscisse 1.f 7 = (x + 1) x f 8 = 2 x + 1x + 1 admette au point d’abscisse 0 une tangente parallèle à la droite d’équation y = – 5 2 x + 42° On admet que la fonction h est : h : x 2 (x2 – 3 x – 1)x + 2a) Etudier les variations de la fonction hb) En déduire un encadrement de h (x) sur [0 ; 4]c) Déterminer une équation de la tangente à C h au point d'abscisse 0Exercice 3 9 pointsSoit l'hyperbole H d'équation y = 1 pour x > 0.x1° Soit M un point d'abscisse a sur H (a > 0)Ecrire en fonction de a l'équation de la tangente en M à la courbe H .2° La tangente en M coupe les axes en A et B.Trouver en fonction de a les coordonnées de A et de B et démontrer que Mest le milieu de [ AB ] quel que soit a.3° Existe-t-il une tangente à H qui passe par le point C (4 ; – 2) ?4° Existe-t-il une tangente à H parallèle à la droite d'équation y = x 4 + 2 ?Exercice 4 : 12 pointsPartie ASoit f la fonction définie sur IR par : f (x) = 2 x 3 + 5 x 2 – 4 x – 3.1° Calculer la dérivée f ' de f.2° Etudier les variations de f sur IR.3° Calculer f (1), f (–3) et f – 1 2 .En déduire le signe de f (x).Partie BOn considère la fonction g définie sur IR par : g (x) = 3 x 4 + 10 x 3 – 12 x 2 – 18 x1° Calculer la dérivée g ' de g.2° Démontrer que g '(x) est du signe de f (x).3° Etudier les variations de g sur IR.

Exercice 1 : 10 pointsPour chacune des fonctions suivantes calculer la fonction dérivée en précisant son ensemble de définition.f 1 (x) = – 3 x 4 + 2 x 2 + 3 – 1 xf 1 est la somme d'un polynôme avec la fonction inverse donc f 1 est dérivable sur IR *Pour tout réel x 0, f 1 (x) = – 12 x 3 + 4 x + 1 x 2f 2 (x) = 3 x + 1x – 2 .f 2 est une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) donc f 2 est dérivable sur son ensemble de définition c'est à dire surIR – { 2 }Pour tout réel x 2, f 2 (x) = u (x)v (x) avec u (x) = 3 x + 1 et u '(x) = 33 (x – 2) – (3 x + 1) × 1 donc f v (x) = x – 2 et v '(x) = 11 (x) =(x – 2) 2 = –1f 3 (x) =2 x 2 + 1f 3 est une fonction rationnelle donc f 3 est dérivable sur son ensemble de définition c'est à dire sur IR – { 2 }Pour tout réel x on a : f 3 (x) =f 3 (x) = –u '(x)(u (x) 2 ) = – 4 x(2 x 2 + 1) 27(x – 2) 21u (x) avec u (x) = 2 x2 + 1, u dérivable sur IR et u '(x) = 4 x donc f 3 est dérivable sur IR et,f 4 (x) = 12 x – x 2f 4 est une fonction rationnelle donc f 4 est dérivable sur son ensemble de définition c'est à dire sur IR – { 0 }Pour tout réel x 0, f 4 (x) = 1 2 × 1 x – 1 2 × x donc f 4'(x) = 1 2 × – 1x 2 – 1 2 × 1 = – 12 x 2 – 1 2 = – 1 – x22 x 2 f 5 (x) =(3 x + 1) 3 :f 5 est un polynôme donc f 5 est dérivable sur IRPour tout réel x, f 5 (x) = (a x + b) 3 avec a x + b = 3 x + 1 donc f 5 '(x) = 3 (a x + b) 2 × a = 3 (3 x + 1) 2 × 3 = 9 (3 x + 1) 2f 6 (x) = 3 x2 – 1x 2 + 3 xf 6 est une fonction rationnelle donc }Pour tout réel x IR – { – 3 ; 0 } on a :f 6 (x) = u (x)v (x) avec u (x) = 3 x2 – 1, u dérivable sur IR et u '(x) = 6 xv (x) = x 2 + 3 x, v dérivable sur IR et v '(x) = 2 x + 3 donc f 6 est dérivable sur son ensemble dedéfinition c'est à dire sur IR – { – 3 ; 0 } et f 6 '(x) = 6 x (x2 + 3 x) – (3 x 2 – 1) (2 x + 3)(x 2 + 3 x) 2 = 6 x3 + 18 x 2 – 6 x 3 – 9 x 2 + 2 x + 3(x 2 + 3 x) 2 =9 x 2 + 2 x + 3(x 2 + 3 x) 2f 7 = (x + 1) x = u (x) v (x) avec u définie et dérivable sur IR et v définie sur [ 0 ; + [, dérivable sur ] 0 ; + [ donc f 7 estdérivable sur ] 0 ; + [ et, pour tout réel x > 0 on a : u (x) = x + 1 et u '(x) = 111v (x) = x et v '(x) = donc f 7 '(x) = 1 × x + (x + 1) ×2 x2 x = x × 2 x+ x + 12 x x = 2 x + x + 1 = 3 x + 12 x 2 xf 8 = 2 x + 1x + 1= u (x)v (x)u est définie sur [ 0 ; + [ et dérivable sur ] 0 ; + [v est définie et dérivable sur IRv (x) = 0 si, et seulement si, x = – 1 et – 1 ] 0 ; + [ donc f 8 est définie sur [ 0 ; + [ et f 8 dérivable sur ] 0 ; + [Pour tout réel x, > 0 on a :1 u (x) = 2 x + 1 et u '(x) = 2 ×2 x = 1 1x + 1× (x + 1) – (2 x + 1) × 1x x – 2 x + xxx donc f 8 '(x) =(x + 1)2 =(x + 1) 2v (x) = x + 1 et v '(x) = 1

1=(x + 1) 2 × 1 – x – x = 1 – x – xx x (x + 1) 2Exercice 2 : 12 points Soit h la fonction définie sur R – {– 2}par h : x a x2 + b x + cx + 21° Démontrer que pour tout réel x – 2, h' (x) = a x2 + 4 a x + 2 b – c(x + 2) 2h est une fonction rationnelle donc h est dérivable sur son ensemble de définition et pour tout réel x, – 2, h (x) = u (x)v (x) avec : u (x) = a x 2 + b x + c et u '(x) = 2 a x + bdonc h' (x) = (2 a x + b) (x + 2) – (a x2 + b x + c) × 1 v (x) = x + 2 et v '(x) = 1(x + 2) 2 =2 a x 2 + 4 a x + b x + 2 b – a x 2 – b x – c(x + 2) 2 = a x2 + 4 a x + 2 b – c(x + 2) 22° Déterminer a, b et c pour que la courbe représentative de h : passe par le point de coordonnées (0 ; – 1).A (0 , 1) C h h (0) = – 1 c 2 = – 1 c = – 2 admette une tangente horizontale au point d’abscisse 1.Une tangente horizontale à pour coefficient directeur 0 donc C h admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1 si, etseulement si, h' (1) = 0 : h' (1) = 0 a + 4 a + 2 b – c = 0 a + 4 a + 2 b – c = 09 admette au point d’abscisse 0 une tangente parallèle à la droite d’équation y = – 5 2 x + 4La tangente à C h au point d'abscisse 0 a pour coefficient directeur h' (0) et la droite d'équation y = – 5 x + 4 a pour coefficient2directeur – 5 2 . Les deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont le même coefficient directeur c'est à dire h' (0) = – 5 2h' (0) = – 5 2 2 b – c4= – 5 2 2 b – c = – 10a, b et c sont donc solutions du système c = – 2a + 4 a + 2 b – c = 0 c = – 25 a + 2 b = – 2 c = – 2a = 2 2 b – c = – 10 b = – 6 b = – 6La fonction cherchée est donc la fonction définie sur IR – {– 2 } par h (x) = 2 x2 – 6 x – 2x – 22° On admet que la fonction h est : h : x 2 (x2 – 3 x – 1) a) Etudier les variations de la fonction hx + 2h est dérivable sur IR – {– 2 } et pour tout réel x, h' (x) = a x2 + 4 a x + 2 b – c(x + 2) 2 = 2 x2 + 8 x – 10(x + 2) 2 = 2 (x2 + 4 x – 5) 2 (x – 1) (x + 5)(x + 2) 2 =(x + 2) 2Le signe de h' (x) est donné par le tableau suivantLes variations de h sont données par le tableau suivant.b) En déduire un encadrement de h (x) sur [0 ; 4]h (0) = – 1, h (1) = – 2 et h (4) = 1 donc, d'après les variations de h, – 2 h (x) 1c) Déterminer une équation de la tangente à C h au point d'abscisse 0Une équation de la tangente au point d'abscisse a est ; y = f (a) + f '(a) (x – a).h (0) = – 1 et h' (0) = – 5 2 donc une équation de T 0 est : y = – 1 – 5 2 xx – – 5 – 2 1 + 2 (x – 1) (x + 5) + 0 – – 0 +(x + 2) 2 + + 0 + +h' (x) + 0 – – 0 +x – – 5 – 2 1 + signe de h' (x) + 0 – – 0 +Variations de h– 26– 2x – 2 0 1 4Variations de h – 1– 21

Exercice 3 7,5 points Soit l'hyperbole H d'équation y = 1 pour x > 0. 1° Soit M un point d'abscisse a sur H (a > 0)xEcrire en fonction de a l'équation de la tangente en M à la courbe H .On note h la fonction définie sur IR * par h (x) = 1 x et h' (x) = – 1 x 2Une équation de la tangente au point d'abscisse a est ; y = f (a) + f '(a) (x – a).y = 1 a – 1 a 2 (x – a) y = 1 a – x a 2 + a a 2 y = 1 a – x a 2 + 1 a . Donc une équation de T a est : y = – x a 2 + 2 a2° La tangente en M coupe les axes en A et B.Trouver en fonction de a les coordonnées de A et de B et démontrer que M est le milieu de [ AB ] quel que soit a.A est à l'intersection de la tangente avec l'axe des abscisses ses coordonnées doivent donc vérifierest solution de l'équation 0 = – x a 2 + 2 a : 0 = – x a 2 + 2 x = 2 a donc A (2 a ; 0)aB est à l'intersection de la tangente avec l'axe des ordonnées ses coordonnées doivent donc vérifiery B = – 0 a 2 + 2 a = 2 a et B 0 ; 2 a Les coordonnée du milieu de [ AB ] sont donc : x I = 2 a + 0 = a = x2M et y I =3° Existe-t-il une tangente à H qui passe par le point C (4 ; – 2) ?0 + 2 a2= 1 a = y M donc M = I y A = 0y A = – x Aa 2 + 2 donc x Aa x B = 0y B = – x B a 2 + 2 doncaC T a – 4 a 2 + 2 a = – 2 – 4 + 2 a = – 2 a2 2 a 2 + 2 a – 4 = 0 2 (a – 1) (a + 2) = 0 a = 1 ou a = – 2Deux tangentes passent donc par C. T 1 et T – 24° Existe-t-il une tangente à H parallèle à la droite d'équation y = – x 4 + 2 ?– 1 a 2 = – 1 4 a = 2 ou a = – 2 Les tangentes T 2 et T – 2 sont parallèles à la droite d'équation y = – x 4 + 2.Exercice 4 : 10 points Partie A Soit f la fonction définie sur IR par : f (x) = 2 x 3 + 5 x 2 – 4 x – 3. 1° Calculer la dérivée f ' de f.f est un polynôme donc f est dérivable sur IR et, pour tout réel x, f '(x) = 2 × 3 x 2 + 5 × 2 x – 4 = 6 x 2 + 10 x – 4.2° Etudier les variations de f sur IR.f '(x) = 2 (3 x 2 + 5 x – 2) et 3 x 2 + 5 x – 2 est un polynôme du second degré donc pour étudier son signe on doit déterminer sesracines : = 5 2 – 4 × 3 × (– 2) = 49 = 7 2Les racines sont donc x 1 = – 5 + 72 × 3 = 1 3 et x 2 = – 5 – 7 = – 2.69f '(x) est donc du signe de a = 6 à l'extérieur des racines.Variations de f3° Calculer f (1), f (–3) et f – 1 2 .– 10027f (1) = 2 × 1 3 + 5 × 1 2 – 4 × 1 – 3 = 2 + 5 – 4 – 3 = 0 ; f (– 3) = 2 × (– 27) + 5 × 9 – 4 × (– 3) – 3 = – 54 + 45 + 12 – 3 = 0f – 1 2 = 2 × – 1 8 + 5 × 1 4 – 4 × – 1 2 – 3 = – 1 4 + 5 4 + 2 – 3 = 4 4 – 1 = 0– 1 x – – 3 – 2 29En déduire le signe de f (x).Variations de f 00En utilisant le tableau de variations de f on obtientf (x) 0 x – 3 ; 1 – 10027 2 [ 1 ; + [ Partie B On considère la fonction g définie sur IR par : g (x) = 3 x 4 + 10 x 3 – 12 x 2 – 18 x 1° Calculer la dérivée g ' de g.g est un polynôme donc g est dérivable sur IR et, pour tout réel x,g '(x) = 3 × 4 x 3 + 10 × 3 x 2 – 12 × 2 x – 18= 12 x 4 + 30 x 3 – 24 x – 182° Démontrer que g '(x) est du signe de f (x).g '(x) = 6 f (x) donc, pour tout réel x, g '(x) est du signe de f (x)3° Etudier les variations de g sur IR.Les variations de g sont données par le tableau de variations13 + x – – 2signe de f '(x) + 0 – 0 +13 1 + Signe de f (x) – 0 + 0 – +x – – 3– 1 2 1 + Signe de g' (x) – 0 + 0 – 0 +Variations de g0