FONCTION LOGARITHME I FONCTION RECIPROQUE 1° La ...

FONCTION LOGARITHMEI FONCTION RECIPROQUE1° La fonction carréeLa fonction carrée est dérivable et strictement monotone sur [ 0 ; 2 ]D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire pour tout y de [0, 4] l'équation x 2 = y, où l'inconnueest x, a une solution unique dans [0, 2]. cette solution est yOn peut donc associer à tout nombre y de [0, 4] le nombre réel unique x = y de [0, 2] tel que x 2 = y⎧ [0, 2] [0, 4] ⎪⎧ [0 , 4] [0 , 2]On a donc :⎩ ⎪ ⎨⎪ carréex y = x 2 ⎨ racine⎩⎪ xx⎧ y = x 2 ⇔ x = ySi x ∈ [0, 2] et si y ∈ [0, 4] on a ⎨⎩ y = x ⇔ x = y 2On dit que la fonction racine carrée définie sur [0,4] est la fonction réciproque de la fonction carrée définie sur2[0,2]. Remarques : Pour tout x de [ 0 , 4 ], ( x ) = x et pour tout x de [ 0 ; 2 ], x 2 = xReprésentation graphiqueLe plan est muni du repère orthonormal (O; ⎯→ i , ⎯→ j ). x ∈ [0, 2] et y ∈ [0, 4]Puisque y = x si, et seulement si, x = y 2 , au point M(x, y) de la courbe représentative de la fonction racinecarrée peut être associé le point M 1 (y, x) de la courbe représentative de la fonction carrée .M et M 1 sont symétriques par rapport à la droite ∆ d'équation y = x.Les courbes représentatives des fonctions racine carrée et carrée se déduisent l'une de l'autre par symétrieorthogonale d'axe la droite d'équation y = x.Au point d'abscisse 0, la courbe représentative de la fonction carré admet l'axe des abscisses pour tangente.Par symétrie, la courbe représentative de la fonction racine carrée admet, au point d'abscisse 0, l'axe desordonnées pour tangente.2° exemple 2x 0 1Soit f la fonction définie sur [0 ; 1 ] par : f(x) = 2 x + 1 signe de f2 – x f(x)351f dérivable sur [0, 1] et f '(x) =(2 – x) 2 > 02La fonction f est continue et strictement croissante sur [0, 1] c'est donc une bijection de [0, 1] sur ⎢ ⎡ 1⎣ 2 , 3 ⎦ ⎥⎤La fonction réciproque de f peut, dans ce cas particulier, être calculée.y = f(x) ⇔ y = 2 x + 12 y – 1⇔ y (2 – x) = 2 x + 1 ⇔ 2 y – 1 = 2 x + x y ⇔ y =2 – x y + 2 ⇔ x = f–1 (y)3° Cas générala) Définition Soit f une fonction dérivable et strictement croissante sur un intervalle [a, b].D'après le théorème pour tout y de [f(a), f(b)] l'équation f(t) = y, dont l'inconnue est t, a une solution uniquedans [a, b]. On peut définir une nouvelle fonction, appelée fonction réciproque de f et notée f –1 , définie sur[f (a), f(b)] et prenant ses valeurs dans [a, b].• Si f est strictement croissante sur [a, b].La fonction réciproque f –1 de f est définie sur [ f(a) , f(b) ] par :⎧ y = f (x)⎨⎩ x ∈ [ f (a) , f (b) ]si, et seulement si, ⎨ ⎧ x = f –1 (y)⎩ y ∈ [ a , b ]• Si f est strictement décroissante sur [a, b].La fonction réciproque f –1 de f est définie sur [ f(b) , f(a) ] par :⎧ y = f (x)x ∈ [ f (b) , f (a) ] si, et seulement si, x = f –1 (y)⎩ ⎨⎧ y ∈ [ a , b ]⎨⎩b) Représentation graphiqueDans le plan muni d'un repère orthonormal (O; ⎯→ i , ⎯→ j ) les courbes représentatives des fonctions f et f –1 sedéduisent l'une de l'autre par symétrie orthogonale d'axe la droite d'équation y = x

II FONCTION LN DEFINITIONLa fonction x e x est continue, strictement croissante, lim⏐⎯⎯→x → –∞ ex = 0 et limx → +∞ ex = + ∞ D'après le corollaire duthéorème des valeurs intermédiaires on peut dire que la fonction exponentielle est une bijection de IR sur IR+ *On sait qu'alors : pour tout b ∈ ] 0 ; + ∞ [, il existe un unique réel a tel que b = exp(a) ; on note a = ln(b) , ce quise lit logarithme népérien de b. Ainsi, à tout x réel strictement positif, on peut associer un réel noté ln (x).1° DéfinitionLa fonction, définie sur [ 0 ; + ∞ [ , qui à x associe ln(x) est appelée fonction logarithme népérienln : ⎨ ⎧ ] 0 ,+ ∞ [⎯⎯→ IR⎩ x ln (x).⏐⎯⎯→Les fonctions ln et exp sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.a) RemarqueIl résulte de la définition 1 que si b > 0 : a = ln b ⇔ b = e ab) Quelques exemplesln(1) = 0, ln e = 1, ln e = 1 2 .2° ThéorèmePour tout réel b strictement positif, e ln(b) = b .Pour tout réel a, ln (e a ) = a .III PROPRIETES ALGEBRIQUES DE LA FONCTION LN1° ThéorèmePour tous réels a et b strictement positifs(1) ln a b = ln a + ln b. (2) ln 1 a = – ln a (3) ln a = ln a ln b.b(4) pour tout n ∈ Z, ln (a n ) = n ln a . (5) ln a = 1 2 ln aDémonstrationSoit a et b deux réels quelconques strictement positifs.On sait que e a = e b ⇔ a =b(1) Ainsi, démontrer que ln a b = ln a+ ln b est équivalent àdémontrer que exp(ln (a b))= exp(ln a + ln b).exp(ln a + ln b).= exp(ln a) × exp (ln b) = a × b = exp(ln(a ×b))Donc : ln a + ln b = ln(a ×b)(2) ln 1 = ln⎜ ⎛ a × 1 ⎝ a ⎠ ⎟⎞ =ln a +ln 1 a .Ainsi :ln a +ln 1 a = 0 ; donc ln 1 a = – ln a(3) ln a b = In ⎝ ⎜⎛ a × 1 b⎠ ⎟⎞ ln a+ ln 1 =ln a – ln b. (4) Pour n ≥ 0, la démonstration se fait par récurrence .b(5) D'une part, ln (( ) )D'où : ln a = 1 2 ln aa 2 = ln a, et, d'autre part, ln (( ) )a 2 = 2 ln a.Remarque On peut généraliser la propriété (1) à plusieurs nombres. Par exemple pour tous les réels a, b et cstrictement positifs, ln (a × b × c) = ln a + ln b + ln c .2° Résolution d'équation et d'inéquationThéorèmePour tous a et b réels strictement positifs(1) ln a = ln b ⇔ a = b. (2) ln a < lnb ⇔~a < b.Démonstrationln a = ln b ⇔ exp(ln a)) = exp(ln a) ⇔ a = bCe théorème permet de résoudre certaines équations ou inéquations comportant des logarithmes ou danslesquelles l'inconnue figure en exposant.Exemples1° Résoudre dans IR l'équation: ln (2 x – 1) = ln(x – 2) . 2° ln (3 x + 1) < 2

III ETUDE DE LA FONCTION LN1° Dérivabilité et sens de variationThéorèmeLa fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [.La fonction ln est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [.Pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [ , ln'(x) = 1 xDémonstrationSi a et b sont deux nombres strictement positifs on a : a < b ⇔ ln a < ln b.la fonction ln est donc strictement croissanteLa dérivabilité sur ] 0 ; + ∞ [ de la fonction ln fonction réciproque d'une fonction dérivable sur IR est admise.Soit g la fonction définie pour tout x réel strictement positif par : g(x) = exp (ln x)g est dérivable sur IR+ * c'est la composée de la fonction ln, dérivable sur IR+ * , suivie de la fonction exp, dérivablesur IR. Pour tout réel x strictement positif on a : g '(x) = exp ' (ln x) × ln '(x) = exp(ln x) × ln '(x) = x ln '(x)D'autre part pour tout réel x, g(x) = x donc pour tout réel x, g'(x) = 1 .On a pour tout réel x strictement positif, x ln '(x) = 1 donc ln'(x) = 1 x2° Limites usuelles de la fonction lnThéorèmelim ln x = + ∞x → +∞limx → 0 +ln x = – ∞ln(1 + x)xln xlimx → +∞ x = 0lim x ln x = 0x → 0 +ln xlim = 1 limx → 0x → 1 x – 1 = 1Démonstration En + ∞• lim ln x = + ∞x → +∞On se ramène à la définie de la limite d'une fonction en + ∞. Il suffit alors de démontrer que pour tout réel Mpositif et pour tout réel x suffisamment grand, ln x > MSoit M un réel donné, on sait que : ln x > M ⇔ x > exp(M).On a, pour tout réel M, x > exp(M) ⇒ ln x > MOn peut donc dire que : limln x = + ∞x → +∞ln x• limx → +∞ x = 0.On essaie de comparer ln x avec x en utilisant, par exemple, la comparaison de la fonction exp avec xOn a vu que, pour tout réel y, y < e y . Donc, pour tout réel x > 0, ln x < e ln x .C'est-à-dire que, pour tout réel x > 0, x > ln xOn a donc, pour tout réel x, x > 1,0 < ln x ≤ x ⇒ 0 < ln x x≤x x ⇒ 0

Au voisinage de 1On utilise la dérivabilité de la fonction ln en 1.ln x• limx → 1 x – 1 = 1 = lim ln(1 + x)+x → 0 xLa fonction ln est dérivable en 1 et ln '(1) = 1 1 = 1.ln x – ln 1On a donc limx → 1 x – 1ln x= 1 et limx – 1 h → 0ln (1 + h) – ln 1= 1 = limh → 0 hln (1 + h)ln(1 + x)xd'où : lim= 1 c'est à dire lim = 1x → 1hxx → 00 13° Tableau de variation et représentation graphiquex 0 +∞signe de f ' ++ ∞f– ∞Remarques• La "croissance" de la fonction exp est "rapide" donc la "croissance" de la fonction ln est "lente".Par exemple: ln(10 8 ) ≈ 18,42 .• Soit C la courbe représentative de la fonction ln dans un repère (O ; ⎯→ i , ⎯→ j )La tangente au point d'abscisse 1 est la droite d'équation y = x – 1 .La tangente au point d'abscisse e est la droite d'équation : " y = x " : elle passe par O.eLa courbe représentative de la fonction ln est en dessous de ces deux tangentes• Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapportà la droite d'équation " y = x ".IV DERIVEES1° ThéorèmeSi u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvertalors la fonction f définie sur I par f(x) = ln (u(x)) est dérivable sur I et pour tout x de I, f '(x) = u '(x)u (x)DémonstrationSi l'on a pour tout x de I, u(x) > 0 , alors, en utilisant la formule donnant la dérivée d'une fonction composée, onobtient : pour tout x de I, f '(x) = ln '(u(x)) × u'(x) = u '(x)u(x)2° RemarqueSoit u une fonction telle que pour tout x de I, u(x) < 0 et f la fonction définie sur I par : f(x) = ln(– u(x)).En utilisant la formule donnant la dérivée d'une fonction composée, on obtient pour tout x de I,f '(x) = – u '(x)– u(x) = u '(x)u(x)Ainsi, si u est une fonction dérivable et qui ne s'annule pas sur un intervalle I ouvert, alors la fonctionf: x ln (|u(x)|) est dérivable sur I et pour tout x de I, f '(x) = u '(x)⏐⎯⎯→ u(x)On dit que la fonction ln | u | est une primitive de la fonction u ' sur les intervalles où u ne s'annule pas.u3° exempleLa fonction f définie sur IR par x ln (x 2 2 x+ 1) a pour dérivée la fonction f ' définie e sur IR par : f '(x) =⏐⎯⎯→ x 2 + 1La fonction f définie sur ⎥ ⎤ – π ⎦ 2 , π 2 ⎣ ⎢⎡ par : f(x) = – ln (cos x) est dérivable sur ⎦ ⎥⎤ – π 2 , π 2 ⎣ ⎢⎡ et f '(x) = sin xcos x = tan xy41

La fonction x – ln (cos x) est une primitive de la fonction tan sur l'intervalle ⎥ ⎤ – π ⏐⎯⎯→⎦ 2 , π 2 ⎣ ⎢⎡