AMERIQUE DU SUD, 1992 Fonctions logarithmes ; Intégrales ; Suite ...

AMERIQUE DU SUD, 1992 Fonctions logarithmes ; Intégrales ; SuiteA tout entier naturel n ≥ 1 on associe la fonction numérique f n définie sur l'intervalle I = [1 ; + ∞ [ par :f n (x) = 1 (ln x) nn ! x 2On note C n en la courbe représentative de fn dans un repère orthogonal (O ; ⎯→ i , ⎯→ j ) du plan. (Choisir comme unitésgraphiques 1 cm sur x'x et 10 crosury'y.)La partie A propose l'étude de f 1 . Dans les parties B et C on précise certains comportements des fonctions f n et deprimitives de ces fonctions.Partie A - Etude de f 11° Déterminer la limite de f en + ∞ . Etudier les variations de f 1 .2° Tracer la tangente à C 1 au point d'abscisse 1 puis tracer la courbe C 1 .3° A l'aide d'une intégration par parties, calculer, pour x élément de I :I 1 (x)= ⌡ ⌠x 1f 1 (t) dt.Partie B - Comportement des fonctions f n pour n ≥ 1(ln n)n1° En remarquant quex 2 = ⎜ ⎛ (ln x) n⎝ x 2/n ⎠ ⎟⎞ , déterminer la limite de f n en + ∞ .2° a) Calculer f n '(x) et vérifier que f n '(e n/2 ) = 0 .Donner le tableau de variation de f n .b) Vérifier que la valeur maximale de f n sur I est : y n = 1n ! ⎝ ⎜⎛ n2 e⎠ ⎟⎞3° a) Soit x ∈ I . Etudier, suivant les valeurs de x, le signe de f 2 ( x) – f 1 (x).b) Déterminer la tangente à C 2 au point d'abscisse 1.Préciser les positions relatives de C 1 et C 2 .Tracer C 2 dans (O ; ⎯→ i , ⎯→ j ) .4° On se propose d'étudier la suite (y n)n ≥ 1 .Soit n un entier strictement positif.a) Calculer, pour x > 1 , f n+1(x)f n (x)b) Montrer que y n+1 = 1 2 f n ⎝ ⎛ n+ e 2 1⎠ ⎞ et que y n+1 ≤ 1 2 y nc) En déduire que y n ≤ 1 1e 2 n .Quelle est la limite de la suite (y n)n ≥ 1 ?Partie C - Etude de primitives de f n sur IA tout entier n ≥ 1 et à tout nombre réel x de I, on associe l'intégrale : I n (x) = ⌡ ⌠ 1x f n (t) dt.1° a) Soit k ≥ 1 un entier.Grâce à une intégration par parties démontrer la relation : I k+1 (x) = I k (x) –b) En déduire que pour tout entier n ≥ 1I n (x) = 1 – 1 x – ln x (ln x)2–x 2 ! x – … – (ln x) n–1 (ln x)n–(n – 1) ! x n ! xn1 (ln x) k+1(k + 1) ! x

2° Soit α ≥ 1 un nombre réel fixé.a) Montrer que 0 ≤ I n (α) ≤ (α – 1) y n , (y n a été défini dans B.2° b) )b) En déduire limn → +∞ I n(α). (On utilisera B.4° c) )3° Pour n ≥ 1 et x ≥ 1 on pose : W n (x) = 1 + ln x1 !+(ln x)22 !+ ... +(ln x)nn !a) Exprimer W n (x) en fonction de I n (x) .b) α ≥ 1 étant un nombre réel fixé, déterminer lim W n(α).n → +∞c) En déduire la limite γ de la suite (U n ) n ≥ 1 de terme général :U n = 1 + 11 ! + 12 ! + ... + 1n ! .En s'aidant de la calculatrice, donner une valeur décimale approchée de U 6 à 10 -4 près.Comparer cette valeur à γ .CORRECTION

A tout entier naturel n ≥ 1 on associe la fonction numérique f n définie sur l'intervalle I = [1 ; + ∞ [ par : f n (x) = 1 (ln x) nn ! x 2 On noteC n en la courbe représentative de fn dans un repère orthogonal (O ; ⎯→i , ⎯→j ) du plan. (Choisir comme unités graphiques 1 cm surx'x et 10 crosury'y.) La partie A propose l'étude de f 1 . Dans les parties B et C on précise certains comportements des fonctions f n etde primitives de ces fonctions. Partie A - Etude de f 1 1° Déterminer la limite de f en + ∞ . Etudier les variations de f 1 .f 1 (x) = 1 (ln x) 11 ! x 2 = ln xx 2On sait, d'après les théorème des croissances comparrées, que : limx → +∞ x 2 = 0 donc lim f 1(x) = 0.x → +∞f 1 est le quotient de deux fonctions dérivables sur I, elle est définie sur I elle est donc dérivable sur I1x × x2 – 2 x ln xf 1 '(x) =x 4 = x – 2 x ln xx 4 = 1 – 2 ln xx 1 e 1/2 +∞x 3signe de f 1 ' + 0 –1Sur I, la fonction f 1 '(x) est du signe de 1 – 2 ln x1 – 2 ln x ≥ 0 ⇔ 1 ≥ 2 ln x ⇔ ln x ≤ 1 f 12 e2 ⇔ x ≤ e1/200f 1 (e 1/2 ) = 12 e2° Tracer la tangente à C 1 au point d'abscisse 1 puis tracer la courbe C 1 .yln x12 e0 ,10 1e 1 /2x3° A l'aide d'une intégration par parties, calculer, pour x élément de I :I 1 (x)= ⌡ ⌠ 1 x f 1 (t) dt.⎪⎫⎬⎭⎪u(t) = ln t et u '(t) = 1 tv '(t) = 1 t 2 et v(x) = – 1 Les fonctions u et v sont dérivables et les fonctions u ' et v ' sont continues surtl'intervalle d’intégration on peut donc intégrer par partie.I 1 (x) = ⎮ ⌠ x ln t⌡ t 2 dt = ⎢ ⎡ – 1 x1 ⎣ t ln t ⎦ ⎥⎤ – ⎮ ⌠ x ⎛⎜– 1 ⎞⎟ × 1 ln xdt = –1 ⌡ 1⎝ t⎠t x + 0 + ⌡ ⎮⌠ x 1t 2 dt = – ln xx + 1⎣ ⎢⎡ – 1 xx⎦ ⎥⎤ = – ln x1x – 1 x + 1.(ln n)nPartie B - Comportement des fonctions f n pour n ≥ 1 1° En remarquant quex 2 = ⎛(ln x) ⎞ ⎝ x 2/n , déterminer la limite de f⎠n en + ∞ .ln xOn sait que limx → +∞ x α = 0 . en posant α = n 2ln xon peut dire que limx → +∞ x 2/n = 0 donc lim f n(x) = lim ⎜ ⎛x → +∞ x → +∞ ⎝2° a) Calculer f n '(x) et vérifier que f n '(e n/2 ) = 0 . Donner le tableau de variation de f n .f n est la quotient de deux fonctions dérivables sur I, elle est définie sur i elle est donc dérivable sur I.n (ln x) n–1 × 1 x × x2 – 2 x × (ln x) nf n ' (x) =x 4 = n (ln x)n–1 × x – 2 x × (ln x) nx 4 = (ln x)n–1 (n – 2 ln x)x 3Pour tout réel x de I ln x > et x 3 > 0 donc f n ' (x) est du signe de n – 2 ln xn(ln x) nx 2/n ⎠ ⎟⎞ = 0

n – 2 ln x ≥ 0 ⇔ n 2 ≥ x ⇔ x ≤ en/2b) Vérifier que la valeur maximale de f n sur I est : y n = 1n ! ⎝ ⎛ n⎠ ⎞n2 en⎛n⎞f n (e 1/2 ) = 1 (ln (e n/2 )) nn ! (e n/2 ) 2 = 1 ⎜⎝2⎟⎠n ! e n = 1 nn ! ⎝ ⎜⎛ n2 e⎠ ⎟⎞x 1 e n/2 +∞signe de f n ' + 0 –f n (e n/2 )f n0 03° a) Soit x ∈ I . Etudier, suivant les valeurs de x, le signe de f 2 ( x) – f 1 (x).f 2 (x) – f 1 (x) = 1 (ln x)2×2 ! x 2 – ln xx 2 = ln xx 2 ⎜ ⎛ ln x⎝ 2 – 1 ⎠ ⎟⎞f 2 (x) – f 1 (x) ≥ 0 ⇔ ln x – 1 ≥ 0 ⇔ ln x ≥ 2 ⇔ x ≥ e22b) Déterminer la tangente à C 2 au point d'abscisse 1. Préciser les positions relatives de C 1 et C 2 .Tracer C 2 dans (O ; ⎯→i , ⎯→j ) .f 2 (1) =(ln 1)21 2 × 1 2 = 0 et f 1 '(1) = (ln 1)2–1 (2 – 2 ln 1)x 3 = 0 L'équation de la tangente est donc y = 0.4° On se propose d'étudier la suite (y n)n ≥ 1 . Soit n un entier strictement positif. a) Calculer, pour x > 1 , f n+1(x)f n (x)f n+1 (x)f n (x) = 1 (ln x)n+1 x 2×(n + 1) ! x 2 × (n !) ×(ln x) n = ln xn + 1b) Montrer que y n+1 = 1 2 f n ⎝ ⎛ n+ ⎠ ⎞ e 2 1et que y n+1 ≤ 1 2 y n1y n+1 =(n + 1) ! ⎝ ⎜⎛ n + 12 e ⎠ ⎟⎞n+1= 1n ! × 12 e ⎝ ⎜⎛ n + 12 e ⎠ ⎟⎞f ⎛ n+ n⎝e 2 1⎠ ⎞ = 1n ! × ⎝⎛ ln ⎝ ⎛ n+ e 2 1⎠ ⎞ ⎠ ⎞ n n + 1⎛ n+ ⎝e 2 1 ⎞2 = 1n ! × ⎝⎜⎛ 2 ⎠ ⎟⎞e n+1 = 2 y n+1⎠n+e 2 1≥ e 2n donc f n ⎝ ⎛ n+ e 2 1⎠ ⎞ ≤ f n ⎝ ⎛ e 2n ⎠ ⎞car la fonction f n est décroissante sur [ e n/2 , + ∞ [donc y n+1 ≤ 1 2 f n⎝ ⎛ n+ e 2 1⎠ ⎞ ≤ 1 2 y n car f n ⎝ ⎛ e 2n ⎠ ⎞= y nc) En déduire que y n ≤ 1 1e 2 n . Quelle est la limite de la suite (y n)n ≥ 1 ?Par récurrence . y n ≤ 1 1e 2 nInitialisation : y 1 = 12 e ≤ 1 e × 1 2 1 . donc la propriété est est vraie pour n = 1.Hérédité : Soit un entier k ≥ 1 tel que y k ≤ 1 enn12 ky k+1 ≤ 1 2 y k ≤ 1 2 × 1 e × 1 2 k . On a donc bien y k+1 ≤ 1 eConclusion :12 k+112 n est vraie pour n = 1 et elle est héréditaire d'après l'axiome de récurrence on peut donc direLa propriété y n ≤ 1 equ'elle est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 11limn → +∞ ex 1 e 2 + ∞f 2 (x) – f 1 (x) – 0 +12 n = 0 donc d'après les théorèmes de comparaison de limites on peut dire que : limn → +∞ y n = 0

Partie C - Etude de primitives de f n sur I A tout entier n ≥ 1 et à tout nombre réel x de I, on associe l'intégrale : I n (x) = ⌡⌠ 1x f n (t) dt.11° a) Soit k ≥ 1 un entier. Grâce à une intégration par parties démontrer la relation : I k+1 (x) = I k (x) –(k + 1) !(ln t)k+1 (k + 1) (ln t)ku(t) = et u '(t) = × 1 (ln t)k= × 1 (k + 1) ! (k + 1) ! t k ! t⎪⎫⎬⎭⎪(ln x) k+1xLes fonctions u et v sont dérivables et les fonctions u' etv '(t) = 1 t 2 et v(t) = – 1 tv' sont continues sur l'intervalle d’intégration on peut donc intégrer par partie.I k+1 = ⎢ ⎡ – 1 x(ln t)k+1× ⎣ t (k + 1) ! ⎦ ⎥⎤ – ⎮ ⌠ x ⎛(ln t) k⎜ × 1 ⎞⎟ ×1 ⌡ 1⎝ k ! t⎜ ⎛ – 1 ⎠ ⎝ t⎠ ⎟⎞ dt = – 1 (ln x) k+1x (k + 1) ! + 1 (ln 1) k+11 (k + 1) ! + ⌡ ⎮⌠ x 1k !11 (ln x) k+1On a donc bien I k+1 = I k –(k + 1) ! xb) En déduire que pour tout entier n ≥ 1 I n (x) = 1 – 1 x – ln x (ln x)2–x 2 ! x – … – (ln x) n–1 (ln x)n–(n – 1) ! x n ! xOn démonstration le résultat par récurrenceInitialisation On a démontré que : I 1 (x) = 1 – ln xx – 1 xHérédité : Soit un entier k ≥ 1 tel que I k (x) = 1 – 1 x – ln x(ln t) kx 2 dtdonc la propriété est est vraie pour n = 1.x(ln x)2–2 ! x – … – (ln x) k–1 (ln x)k–(k – 1) ! x k ! x1 (ln x) k+1I k+1 = I k –= 1 – 1 (k + 1) ! x x – ln x (ln x)2–x 2 ! x – … – (ln x) k–1 (ln x)k–(k – 1) ! x k ! x – 1 (ln x) k+1(k + 1) ! xLa propriété est donc vraie au rang k + 1.Conclusion : La propriété est vraie pour n = 1 et elle est héréditaire d'après l'axiome de récurrence on peut doncdire qu'elle est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 12° Soit α ≥ 1 un nombre réel fixé. a) Montrer que 0 ≤ I n (α) ≤ (α – 1) y n , (y n a été défini dans B.2° b) )Pour tout réel t de [ 1 , α ], 0 ≤ f n (t) ≤ y n On peut intégrer les inégalité (ou utiliser l'inégalité de la moyenne)On obtient : 0 × (α – 1) ≤ ⌡ ⌠ 0,αf n (t) dt ≤ (α – 1) y n donc 0 ≤ I n (α) ≤ (1 – α) y nb) En déduire lim I n(α). (On utilisera B.4° c) )n → +∞On a vu au B 4° a) que lim y n = 0 donc lim (α – 1) y n = 0n → +∞ n → +∞D'après le théorème des gendarmes on a donc : lim I n(α) = 0n → +∞3° Pour n ≥ 1 et x ≥ 1 on pose : W n (x) = 1 + ln x1 !I n (x) = 1 – 1 x – ln xx(ln x)2+ + ... +2 !(ln x)2–2 ! x – … – (ln x) n–1 (ln x)n–(n – 1) ! x n ! x = 1 – 1 x ⎝ ⎜⎛donc 1 x W n(x) = 1 – I n (x) donc W n (x) = x (1 – I n (x))(ln x)na) Exprimer Wn !n (x) en fonction de I n (x) .ln x1 !b) α ≥ 1 étant un nombre réel fixé, déterminer lim W n(α).n → +∞On a vu que lim I n(α) = 0 donc lim α (1 – I n(α)) = α = lim W n(α)n → +∞ n → +∞ n → +∞+(ln x)22 !+ ... +(ln x)nn !⎠ ⎟⎞ = 1 – 1 x W n(x)c) En déduire la limite γ de la suite (U n ) n ≥ 1 de terme général : U n = 1 + 11 ! + 12 ! + ... + 1 . En s'aidant de la calculatrice, donner unen !valeur décimale approchée de U 6 à 10 -4 près. Comparer cette valeur à γ .U n = W n (e) donc lim U n = lim W n(e) = e = γn → +∞ n → +∞U 6 ≈ 2,7181 et γ ≈ 2,7183.