AMERIQUE DU SUD, 1992 Fonctions logarithmes ; IntÃ©grales ; Suite ...

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2° Soit α ≥ 1 un nombre réel fixé.a) Montrer que 0 ≤ I n (α) ≤ (α – 1) y n , (y n a été défini dans B.2° b) )b) En déduire limn → +∞ I n(α). (On utilisera B.4° c) )3° Pour n ≥ 1 et x ≥ 1 on pose : W n (x) = 1 + ln x1 !+(ln x)22 !+ ... +(ln x)nn !a) Exprimer W n (x) en fonction de I n (x) .b) α ≥ 1 étant un nombre réel fixé, déterminer lim W n(α).n → +∞c) En déduire la limite γ de la suite (U n ) n ≥ 1 de terme général :U n = 1 + 11 ! + 12 ! + ... + 1n ! .En s'aidant de la calculatrice, donner une valeur décimale approchée de U 6 à 10 -4 près.Comparer cette valeur à γ .CORRECTION
A tout entier naturel n ≥ 1 on associe la fonction numérique f n définie sur l'intervalle I = [1 ; + ∞ [ par : f n (x) = 1 (ln x) nn ! x 2 On noteC n en la courbe représentative de fn dans un repère orthogonal (O ; ⎯→i , ⎯→j ) du plan. (Choisir comme unités graphiques 1 cm surx'x et 10 crosury'y.) La partie A propose l'étude de f 1 . Dans les parties B et C on précise certains comportements des fonctions f n etde primitives de ces fonctions. Partie A - Etude de f 1 1° Déterminer la limite de f en + ∞ . Etudier les variations de f 1 .f 1 (x) = 1 (ln x) 11 ! x 2 = ln xx 2On sait, d'après les théorème des croissances comparrées, que : limx → +∞ x 2 = 0 donc lim f 1(x) = 0.x → +∞f 1 est le quotient de deux fonctions dérivables sur I, elle est définie sur I elle est donc dérivable sur I1x × x2 – 2 x ln xf 1 '(x) =x 4 = x – 2 x ln xx 4 = 1 – 2 ln xx 1 e 1/2 +∞x 3signe de f 1 ' + 0 –1Sur I, la fonction f 1 '(x) est du signe de 1 – 2 ln x1 – 2 ln x ≥ 0 ⇔ 1 ≥ 2 ln x ⇔ ln x ≤ 1 f 12 e2 ⇔ x ≤ e1/200f 1 (e 1/2 ) = 12 e2° Tracer la tangente à C 1 au point d'abscisse 1 puis tracer la courbe C 1 .yln x12 e0 ,10 1e 1 /2x3° A l'aide d'une intégration par parties, calculer, pour x élément de I :I 1 (x)= ⌡ ⌠ 1 x f 1 (t) dt.⎪⎫⎬⎭⎪u(t) = ln t et u '(t) = 1 tv '(t) = 1 t 2 et v(x) = – 1 Les fonctions u et v sont dérivables et les fonctions u ' et v ' sont continues surtl'intervalle d’intégration on peut donc intégrer par partie.I 1 (x) = ⎮ ⌠ x ln t⌡ t 2 dt = ⎢ ⎡ – 1 x1 ⎣ t ln t ⎦ ⎥⎤ – ⎮ ⌠ x ⎛⎜– 1 ⎞⎟ × 1 ln xdt = –1 ⌡ 1⎝ t⎠t x + 0 + ⌡ ⎮⌠ x 1t 2 dt = – ln xx + 1⎣ ⎢⎡ – 1 xx⎦ ⎥⎤ = – ln x1x – 1 x + 1.(ln n)nPartie B - Comportement des fonctions f n pour n ≥ 1 1° En remarquant quex 2 = ⎛(ln x) ⎞ ⎝ x 2/n , déterminer la limite de f⎠n en + ∞ .ln xOn sait que limx → +∞ x α = 0 . en posant α = n 2ln xon peut dire que limx → +∞ x 2/n = 0 donc lim f n(x) = lim ⎜ ⎛x → +∞ x → +∞ ⎝2° a) Calculer f n '(x) et vérifier que f n '(e n/2 ) = 0 . Donner le tableau de variation de f n .f n est la quotient de deux fonctions dérivables sur I, elle est définie sur i elle est donc dérivable sur I.n (ln x) n–1 × 1 x × x2 – 2 x × (ln x) nf n ' (x) =x 4 = n (ln x)n–1 × x – 2 x × (ln x) nx 4 = (ln x)n–1 (n – 2 ln x)x 3Pour tout réel x de I ln x > et x 3 > 0 donc f n ' (x) est du signe de n – 2 ln xn(ln x) nx 2/n ⎠ ⎟⎞ = 0
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Page 5: Partie C - Etude de primitives de f

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