FONCTION LOGARITHME I FONCTION RECIPROQUE 1° La ...

Au voisinage de 1On utilise la dérivabilité de la fonction ln en 1.ln x• limx → 1 x – 1 = 1 = lim ln(1 + x)+x → 0 xLa fonction ln est dérivable en 1 et ln '(1) = 1 1 = 1.ln x – ln 1On a donc limx → 1 x – 1ln x= 1 et limx – 1 h → 0ln (1 + h) – ln 1= 1 = limh → 0 hln (1 + h)ln(1 + x)xd'où : lim= 1 c'est à dire lim = 1x → 1hxx → 00 13° Tableau de variation et représentation graphiquex 0 +∞signe de f ' ++ ∞f– ∞Remarques• La "croissance" de la fonction exp est "rapide" donc la "croissance" de la fonction ln est "lente".Par exemple: ln(10 8 ) ≈ 18,42 .• Soit C la courbe représentative de la fonction ln dans un repère (O ; ⎯→ i , ⎯→ j )La tangente au point d'abscisse 1 est la droite d'équation y = x – 1 .La tangente au point d'abscisse e est la droite d'équation : " y = x " : elle passe par O.eLa courbe représentative de la fonction ln est en dessous de ces deux tangentes• Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapportà la droite d'équation " y = x ".IV DERIVEES1° ThéorèmeSi u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvertalors la fonction f définie sur I par f(x) = ln (u(x)) est dérivable sur I et pour tout x de I, f '(x) = u '(x)u (x)DémonstrationSi l'on a pour tout x de I, u(x) > 0 , alors, en utilisant la formule donnant la dérivée d'une fonction composée, onobtient : pour tout x de I, f '(x) = ln '(u(x)) × u'(x) = u '(x)u(x)2° RemarqueSoit u une fonction telle que pour tout x de I, u(x) < 0 et f la fonction définie sur I par : f(x) = ln(– u(x)).En utilisant la formule donnant la dérivée d'une fonction composée, on obtient pour tout x de I,f '(x) = – u '(x)– u(x) = u '(x)u(x)Ainsi, si u est une fonction dérivable et qui ne s'annule pas sur un intervalle I ouvert, alors la fonctionf: x ln (|u(x)|) est dérivable sur I et pour tout x de I, f '(x) = u '(x)⏐⎯⎯→ u(x)On dit que la fonction ln | u | est une primitive de la fonction u ' sur les intervalles où u ne s'annule pas.u3° exempleLa fonction f définie sur IR par x ln (x 2 2 x+ 1) a pour dérivée la fonction f ' définie e sur IR par : f '(x) =⏐⎯⎯→ x 2 + 1La fonction f définie sur ⎥ ⎤ – π ⎦ 2 , π 2 ⎣ ⎢⎡ par : f(x) = – ln (cos x) est dérivable sur ⎦ ⎥⎤ – π 2 , π 2 ⎣ ⎢⎡ et f '(x) = sin xcos x = tan xy41