FONCTION LOGARITHME I FONCTION RECIPROQUE 1Â° La ...

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II FONCTION LN DEFINITIONLa fonction x e x est continue, strictement croissante, lim⏐⎯⎯→x → –∞ ex = 0 et limx → +∞ ex = + ∞ D'après le corollaire duthéorème des valeurs intermédiaires on peut dire que la fonction exponentielle est une bijection de IR sur IR+ *On sait qu'alors : pour tout b ∈ ] 0 ; + ∞ [, il existe un unique réel a tel que b = exp(a) ; on note a = ln(b) , ce quise lit logarithme népérien de b. Ainsi, à tout x réel strictement positif, on peut associer un réel noté ln (x).1° DéfinitionLa fonction, définie sur [ 0 ; + ∞ [ , qui à x associe ln(x) est appelée fonction logarithme népérienln : ⎨ ⎧ ] 0 ,+ ∞ [⎯⎯→ IR⎩ x ln (x).⏐⎯⎯→Les fonctions ln et exp sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.a) RemarqueIl résulte de la définition 1 que si b > 0 : a = ln b ⇔ b = e ab) Quelques exemplesln(1) = 0, ln e = 1, ln e = 1 2 .2° ThéorèmePour tout réel b strictement positif, e ln(b) = b .Pour tout réel a, ln (e a ) = a .III PROPRIETES ALGEBRIQUES DE LA FONCTION LN1° ThéorèmePour tous réels a et b strictement positifs(1) ln a b = ln a + ln b. (2) ln 1 a = – ln a (3) ln a = ln a ln b.b(4) pour tout n ∈ Z, ln (a n ) = n ln a . (5) ln a = 1 2 ln aDémonstrationSoit a et b deux réels quelconques strictement positifs.On sait que e a = e b ⇔ a =b(1) Ainsi, démontrer que ln a b = ln a+ ln b est équivalent àdémontrer que exp(ln (a b))= exp(ln a + ln b).exp(ln a + ln b).= exp(ln a) × exp (ln b) = a × b = exp(ln(a ×b))Donc : ln a + ln b = ln(a ×b)(2) ln 1 = ln⎜ ⎛ a × 1 ⎝ a ⎠ ⎟⎞ =ln a +ln 1 a .Ainsi :ln a +ln 1 a = 0 ; donc ln 1 a = – ln a(3) ln a b = In ⎝ ⎜⎛ a × 1 b⎠ ⎟⎞ ln a+ ln 1 =ln a – ln b. (4) Pour n ≥ 0, la démonstration se fait par récurrence .b(5) D'une part, ln (( ) )D'où : ln a = 1 2 ln aa 2 = ln a, et, d'autre part, ln (( ) )a 2 = 2 ln a.Remarque On peut généraliser la propriété (1) à plusieurs nombres. Par exemple pour tous les réels a, b et cstrictement positifs, ln (a × b × c) = ln a + ln b + ln c .2° Résolution d'équation et d'inéquationThéorèmePour tous a et b réels strictement positifs(1) ln a = ln b ⇔ a = b. (2) ln a < lnb ⇔~a < b.Démonstrationln a = ln b ⇔ exp(ln a)) = exp(ln a) ⇔ a = bCe théorème permet de résoudre certaines équations ou inéquations comportant des logarithmes ou danslesquelles l'inconnue figure en exposant.Exemples1° Résoudre dans IR l'équation: ln (2 x – 1) = ln(x – 2) . 2° ln (3 x + 1) < 2
III ETUDE DE LA FONCTION LN1° Dérivabilité et sens de variationThéorèmeLa fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [.La fonction ln est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [.Pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [ , ln'(x) = 1 xDémonstrationSi a et b sont deux nombres strictement positifs on a : a La dérivabilité sur ] 0 ; + ∞ [ de la fonction ln fonction réciproque d'une fonction dérivable sur IR est admise.Soit g la fonction définie pour tout x réel strictement positif par : g(x) = exp (ln x)g est dérivable sur IR+ * c'est la composée de la fonction ln, dérivable sur IR+ * , suivie de la fonction exp, dérivablesur IR. Pour tout réel x strictement positif on a : g '(x) = exp ' (ln x) × ln '(x) = exp(ln x) × ln '(x) = x ln '(x)D'autre part pour tout réel x, g(x) = x donc pour tout réel x, g'(x) = 1 .On a pour tout réel x strictement positif, x ln '(x) = 1 donc ln'(x) = 1 x2° Limites usuelles de la fonction lnThéorèmelim ln x = + ∞x → +∞limx → 0 +ln x = – ∞ln(1 + x)xln xlimx → +∞ x = 0lim x ln x = 0x → 0 +ln xlim = 1 limx → 0x → 1 x – 1 = 1Démonstration En + ∞• lim ln x = + ∞x → +∞On se ramène à la définie de la limite d'une fonction en + ∞. Il suffit alors de démontrer que pour tout réel Mpositif et pour tout réel x suffisamment grand, ln x > MSoit M un réel donné, on sait que : ln x > M ⇔ x > exp(M).On a, pour tout réel M, x > exp(M) ⇒ ln x > MOn peut donc dire que : limln x = + ∞x → +∞ln x• limx → +∞ x = 0.On essaie de comparer ln x avec x en utilisant, par exemple, la comparaison de la fonction exp avec xOn a vu que, pour tout réel y, y < e y . Donc, pour tout réel x > 0, ln x < e ln x .C'est-à-dire que, pour tout réel x > 0, x > ln xOn a donc, pour tout réel x, x > 1,0 < ln x ≤ x ⇒ 0 < ln x x≤x x ⇒ 0
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