o_19k4mfqjp16he1pptuoe1st17bma.pdf

BAB 2
AKSIOMATIKA
Giovanni Girolamo Saccheri (5
September 1667-25 Oktober
1733)berkebangsaan itali, pendeta
kristen dan ahli Matematika.
Saccheri masuk Kristen sejak
tahun 1685 dan menjadi pendeta
1694. Dia mengajar filsafat di
Turin dari tahun 1694- tahun
1697, dan filsafat ilmu tentang
ketuhanan, ilmu matematika di
Pavia dari tahun 1697 sampai dia
meninggal.
Dia telah mengemukakan The Matematicion
Tommaso Ceva dan menerbitkan beberapa hasil kerjanya
termasuk Quaesito Geomatrica (1693), logica demontrativa
(1697), dan neo-statica (1708). Tidak jelas teori yang
dikemukakan. Saccheri mempunyai dampak dalam
penerjemahan kerjanya atau dalam membangun kebebasan
idenya.
“The Hipotasis Of The Acute Angle Is Absolute
False” adalah buku pertamanya, sekarang dia menghasilkan
teori hiperbolik geometri, buku pertamanya merupakan garis
yang langsung kontradiksi dengan postulat euclide yang
kedua. Saccheri membuang koreksinya setiap saat sekarang
ini prinsipnya merupakan masukan dalam eliptik
geometri.saccheri merupakan orang yang berpengaruh dalam
matematika. Dia banyak menemukan teori-teori yang sangat
bermanfaat dalam memecahkan masalah metematika, salah
satunya ditemukannya teori segi empat yang masih
digunakan sampai sekarang.
Obyek Matematika
38
/Aksiomatika

Menurut Soedjadi (2000), objek dasar
matematika yang menjadi bahan kajian dasar adalah
(1) fakta, (2) konsep, (3) relasi-operasi dan (4) prinsip.
Fakta adalah suatu konvensi yang merupakan suatu
cara khas untuk menyajikan ide-ide matematika dalam
bentuk kata atau simbol. Dengan demikian fakta dalam
matematika adalah segala sesuatu yang telah
disepakati, dia dapat berupa simbol atau lambang dan
dapat pula berupa kata-kata. Bila ada seseorang yang
mengucapkan kata “tiga”, maka yang akan terbayang
di benak kita adalah simbol “3”. Sebaliknya bila kita
melihat simbol “3”, maka padanan yang kita buat
adalah kata “tiga”. Kata “tiga” dan simbol “3”
merupakan fakta dalam matematika. Contoh fakta yang
lain adalah “”, kita sepakat menggunakan notasi “”
untuk menyatakan suatu penjumlahan.
Konsep adalah ide abstrak tentang klasifikasi
objek atau kejadian. Seseorang yang memahami suatu
konsep akan dapat menyatakan apakah sesuatu
termasuk dalam konsep yang dipahaminya atau tidak.
Dengan memahami suatu konsep, seseorang juga akan
dapat memberikan contoh dan bukan contoh dari
konsep yang dimaksud. Jadi, konsep dalam
matematika merupakan suatu ide abstrak yang
digunakan untuk melakukan klasifikasi atau
penggolongan atau pengelompokan terhadap objek.
Dengan adanya suatu konsep, dapat diterangkan
apakah sesuatu termasuk atau merupakan contoh atau
bukan contoh dari ide tersebut. Pada umumnya konsep
dalam matematika disusun dari konsep-konsep
terdahulu atau fakta. Contoh konsep : segiempat,
bilangan, fungsi, vektor, kubus.
Aksiomatika / 39

Relasi merupakan suatu aturan untuk
mengawankan anggota suatu himpunan dengan
anggota himpunan lain, yang dapat sama dengan
himpuan semula. Operasi adalah aturan untuk
mendapatkan elemen tunggal dari satu atau lebih
elemen yang diketahui. Elemen yang diketahui disebut
elemen yang dioperasikan.
Jika suatu operasi memerlukan 2 buah elemen
untuk pemberlakuannya, operasi tersebut dinamakan
operasi biner. Suatu operasi yang hanya memerlukan
satu elemen untuk memberlakukannya disebut operasi
uner, missal . Untuk mengoperasikannya hanya
memerlukan sebuah bilangan, misal 9 = 3. Dalam hal
ini bilangan yang dioperasikan adalah 9 dan hasil
operasinya adalah 3.
Prinsip adalah objek matematika yang paling
kompleks. Kekompleksan tersebut dikarenakan adanya
sekelompok konsep yang dikombinasikan dengan
suatu relasi. Jadi prinsip merupakan hubungan antara 2
atau lebih objek matematika.
Contoh : jumlah dua bilangan gasal adalah bilangan genap
Meskipun di atas telah dikatakan bahwa
matematika disusun berdasarkan pola berpikir
deduktif, tetapi matematika terbentuk atau
berkembang dari pola piker induktif atau deduktif.
Artinya, sifat-sifat dalam matematika ada yang
diketemukan berdasar olah pikir manusia. Apakah
perkembangan itu berguna atau tidak dalam
kehidupan sehari-hari, hal tersebut bukanlah hal yang
merisaukan para matematisi. Karena itulah matematika
sering mendapat julukan sebagai suatu ilmu yang
kering, sukar dipelajari, dan tidak berguna dalam
kehidupan sehari-hari.
40
/Aksiomatika

A. Pola Pikir Induktif Dan Deduktif
Geometri berasal dari kata Latin “Geometria”, Geo
yang berarti tanah dan metria berarti pengukuran.
Menurut sejarahnya, geometri tumbuh pada zaman
jauh sebelum Masehi karena keperluan pengukuran
tanah setiap kali sesudah sungai Nil di Mesir banjir.
Sebagai cabang Matematika, geometri
mempelajari titik, garis, bidang dan benda-benda ruang
serta sifat-sifatnya, ukuran-ukurannya dan
hubungannya satu sama lain. Jadi geometri dapat
dipandang sebagai suatu studi tentang ruang fisik.
Kita telah mempelajari garis, segitiga, segiempat,
balok, bola, kerucut dan sebagainya. Bangun-bangun
atau benda-benda perlu didefinisikan dan untuk
mendefinisikan sesuatu diperlukan pengertianpengertian
sebelumnya. Jadi tidak mungkin semuanya
didefinisikan. Untuk menghindari lingkaran dari
definisi perlu ada pengertian-pengertian pangkal atau
unsur-unsur yang tidak didefinisikan.
Contoh dari lingkaran definisi misalnya :
1. Titik adalah perpotongan dua garis
Garis adalah penghubung dua titik
2. Sudut siku-siku adalah sudut yang tidak lancip
Sudut lancip adalah sudut yang tidak siku-siku
Hal semacam ini tidak benar
Suatu definisi harus dapat dinyatakan dalam
bentuk kalimat yang memuat “bila dan hanya bila”
atau “reversible” (dapat dibalik).
Misalnya :
Suatu segitiga samasisi adalah suatu segitiga yang
ketiga sisinya sama.
Ini harus berarti :
Aksiomatika / 41

Jika suatu segitiga samasisi maka ketiga sisinya
sama.
Jika suatu segitiga sisinya sama maka segitiga itu
samasisi.
Sehingga dapat dikatakan :
Suatu segitiga disebut samasisi bila dan hanya bila
ketiga sisinya sama.
Mengingat perlu adanya unsur-unsur yang tidak
didefinisikan, maka tentu juga tidak semua relasi dapat
didefinisikan. Jadi harus pula ada relasi yang tidak
didefinisikan. Unsur-unsur dan relasi-relasi yang tidak
didefinisikan ini disebut pengertian pangkal atau
“primitive concept”.
Dalam kehidupan ini, kita selalu menghadapi
permasalahan yang perlu diselesaikan. Untuk
menyelesaikan permasalahan tersebut kita perlu
berpikir kritis. Dalam berpikir kritis itu, kita bisa
menggunakan pola pikir induktif atau deduktif. Berikut
ini akan dibahas pola piker deduktif dan induktif
tersebut.
Seseorang menggunakan penalaran induktif jika
orang tersebut berpikir dari hal-hal yang bersifat
khusus ke hal-hal yang bersifat umum. Seseorang
mengadakan pola pikir deduktif jika orang tersebut
berpikir dari hal-hal yang bersifat umum ke hal-hal
yang bersifat khusus. Pada pola pikir deduktif, harus
diperhatikan bahwa kebenaran suatu pernyataan
haruslah didasarkan pada kebenaran pernyataanpernyataan
lain.
Secara umum dapatlah dikatakan bahwa pola
pikir induktif berperan penting dalam bidang nonmatematika,
namun berperan kecil dalam matematika.
Pola pikir deduktif berperan kecil dalam bidang non-
42
/Aksiomatika

matematika, namun berperan besar dalam matematika.
Dalam pola pikir deduktif, kebenaran setiap
pernyataan harus didasarkan pernyataan sebelumnya.
Matematika disusun berdasarkan pola berpikir
deduktif, tetapi matematika terbentuk atau
berkembang dari pola pikir induktif atau deduktif.
Artinya, sifat-sifat dalam matematika ada yang
diketemukan berdasarkan kenyataan di lapangan, ada
pula yang diketemukan berdasar pola pikir manusia.
Untuk memahami bahwa kajian matematika itu
adalah abstrak dapat diingat pelajaran yang pernah
dikaji selama ini. Misalnya, "bilangan" adalah abstrak,
sedang yang kita tulis adalah lambangnya atau
simbolnya. Lambang-Iambang itulah yang termasuk
dalam "fakta". Sedangkan bilangannya sendiri adalah
suatu konsep abstrak, “Garis lurus" misalnya, adalah
abstrak. Sebenamya tidak pernah dijumpai garis lurus
seperti yang dibicarakan dalam matematika. Yang
digambar dengan penggaris, misalnya, adalah
gambaran garis lurus. Demikian juga bangun-bangun
geometri. (Karena abstrak itulah maka diperlukan
peragaan-peragaan untuk mempermudah
mempelajarinya).
Berbagai macam bilangan, istilah serta
pengertiannya merupakan kesepakatan-kesepakatan
yang penting dalam matematika. Lambang bilangan
yang dipakai sekarang ini, misalnya, adalah juga suatu
kesepakatan. Setelah kesepakatan-kesepakatan
semacam itu maka dalam pembahasan-pembahasan
selanjutnya secara konsisten digunakan.
Sebagaimana beberapa ilmu yang lain maka
sifat-sifat atau prinsip-prinsip dalam matematika
dibentuk atau ditemukan melalui pola pikir deduktif
Aksiomatika / 43

ataupun induktif. Dengan kata lajn sifat-sifat atau
prinsip-prinsip dalam matematika ada yang ditemukan
melalui pengalaman lapangan, ada pula yang tanpa
pengalaman lapangan ataupun malah secara intuitif.
Berikut ini akan disajikan garis besar “Struktur
Deduktif Aksiomatik matematika (tidak tunggal):
AKSIOMA
(Pernyataan Pangkal)
KONSEP PRIMITIF
(Pengertian Pangkal/
Undefined Term)
TEOREMA 1
TEOREMA 2
KONSEP 1
(Definisi 1)
TEOREMA 3
KONSEP 2
(Definisi 2)
DST
DST
B. Pengertian Pangkal Dan Pernyataan Pangkal
Dalam suatu struktur matematika disepakati
terdapat “pernyataan pangkal" atau biasa disebut
”aksioma" dan “pengertian atau unsur pangkal" atau
sering disebut “unsur primitif atau undefined term".
Aksioma diperlukan dalam suatu struktur matematika
agar dapat dihindarkan “berputar-putar dalam
pembuktian" atau “circulus in probando". Sedangkan
unsur primitif dalam suatu struktur matematika perlu
untuk menghindarkan “berputar-putar dalam
pendefinisian" atau “circulus in definiendo". Hal
44
/Aksiomatika

tersebut sekaligus menunjukkan bahwa kebenaran
suatu pernyataan dalam matematika sangat tergantung
pada kebenaran pernyataan-pernyataan dan unsurunsur
terdahulu yang telah diterima sebagai
benar/disepakati. Ini jelas menunjukkan bahwa dalam
matematika dianut kebenaran koherensi atau
kebenaran konsistensi. Contoh yang mudah diingat
dan dipahami dapat diambil dari Geometri Euclides,
misalnya:
(1) titik, garis dan bidang dipandang sebagai unsur
primitif;
(2) melalui dua buah titik ada tepat sebuah garis
lurus yang dapat dibuat, sebagai salah satu
aksioma.
Dari unsur-unsur primitif dan aksioma tertentu dapat
diturunkan suatu pernyataan lain yang sering disebut
sebagai “teorema”. Demikian juga dapat dibuat definisi
tentang suatu konsep lain.
C. Membedakan Beberapa Aksioma
Untuk suatu struktur matematika biasanya
didahului dengan beberapa unsur primitif dan
beberapa pernyataan atau aksioma. Beberapa aksioma
tersebut sering juga disebut sistem aksioma. Agar
suatu kumpulan aksioma dapat merupakan sebuah
sistem, diperlukan syarat-syarat yang penting. Syaratsyarat
itu adalah:
(1) Konsisten (taat asas)
(2) Independen (bebas)
(3) Komplit atau lengkap
(4) Ekonomis
Aksiomatika / 45

Dari ketiga syarat tersebut yang utama adalah nomor
(1), (2) dan (3), sebab nomor (4) seringkali dapat juga
dipandang sebagai akibat syarat nomor (2).
Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi
syarat "konsisten" bila pernyataan-pernyataan dalam
kumpulan aksioma itu tidak kontradiktif. Nonkontradiktif
itu bukan hanya dalam makna
pernyataannya saja, tetapi juga dalam hal istilah serta
simbol yang digunakan.
Contoh 2.1
Perhatikan contoh berikut ini.
Aksioma 1: 2 * 6 = 4
Aksioma 2: 4 * 1 = 1
Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan
menghasilkan sesuatu yang sama
Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 5
Keempat aksioma tersebut tidak konsisten, sebab
berdasarkan aksioma 1, 2, dan 3 didapat: (2 * 6) * (4 * 1)
= 4 * 1 = 1 yang bertentangan dengan aksioma 4.
Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi
syarat “independen” bila masing-masing pernyataan
dalam kumpulan aksioma itu tidak saling bergantung,
artinya pemyataan atau aksioma yang satu harus tidak
diturunkan atau diperoleh dari aksioma-aksioma yang
lain.
Contoh 2.2
Aksioma 1: Jumlah dua bilangan genap adalah
bilangan genap.
Aksioma 2: Jumlah dua bilangan gasal adalah bilangan
genap.
Aksioma 3: 1 + 7 = 8
46
/Aksiomatika

Suatu Sistem aksioma tersebut tidak “independen”,
sebab aksioma 3 dapat diturunkan dari aksioma 2.
Suatu sistem aksioma dikatakan "lengkap" bila
setiap pernyataan yang diturunkan dari sistem itu
dapat dibuktikan kebenaran atau kesalahannya. (Tentu
dalam lingkup logika dikotomis). Bila aksioma dalam
suatu sistem aksiomatik tidak lengkap, maka tidak
dapat diperoleh) teorema-teorema. Misal salah satu
aksioma dalam geometri Euclides dihilangkan, maka
tidak akan diperoleh teorema-teorema dalam sistem
tersebut.
Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi
syarat “ekonomis" bila simbol-simbol atau istilahistilah
yang digunakan tidak berlebihan (tidak
redundan). selain itu juga pemyataan dalam kumpulan
aksioma itu tidak ada yang memiliki makna sama.
Contoh 2.3
Aksioma 1: 2 * 6 = 4
Aksioma 2: 4 * 1 = 1
Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan
menghasilkan sesuatu yang sama.
Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 1
Keempat aksioma tersebut bersifat redundan atau tidak
ekonomis sebab
(2 * 6) * (4 * 1) = 4 * 1 = 1
Diskusi Perlukah aksioma 4?
Dalam setiap ilmu terdapat suatu cara
klasifikasi, yang masing-masing cara klasifikasi itu
tentu saja memiliki dasar tertentu. Klasifikasi yang
diadakan tidak dimaksudkan untuk mempersulit
mereka yang mempelajarinya ilmu malah sebaliknya
akan dapat mempermudah mereka yang mempelajari
Aksiomatika / 47

ilmu tersebut. Dalam matematika dikenal beberapa
klasifikasi aksioma. Berikut ini diperkenalkan dua cara
klasifikasi, yakni:
a. Aksioma yang "self evident truth" dan yang
"non-self evident truth"
b. Aksioma "material", "formal” dan
"diformalkan".
Suatu aksioma dikatakan "self evident truth"
bila dalam pernyataannya memang telah langsung
tergambar kebenarannya. Ini tampak jelas pada
aksioma dari Geometri Euclides, misalnya dalam
planimetri: "Melalui dua buah titik berlainan hanya dapat
dibuat tepat satu garis”.
Suatu aksioma dikatakan "non-self evident
truth" akan terlihat sebagaj pernyataan yang
mengaitkan fakta dan konsep (dapat lebih dari satu)
dengan menggunakan suatu relasi tertentu, sehingga
lebih terlihat sebagai suatu kesepakatan saja. Ingat
sistem aksioma Ruang Metrik, Grup, Topologi, Poset, dan
masih banyak yang lain. Justru karena cara
pengangkatan aksioma semacam itulah yang
memberikan kemungkinan lebih besar atas
perkembangan matematika.
Suatu aksioma dikatakan aksima "material", bila
unsur-unsur serta relasi yang terdapat dalam aksioma
itu masih dikaitkan langsung dengan realitas atau
dikaitkan dengan materi tertentu atau dianggap ada
yang sudah diketahui. (Perhatikan aksioma Euclides; yang
temyata juga diketahui bahwa tidak lengkap).
Suatu aksioma dikatakan aksioma "formal" bila
unsur-unsumya dikosongkan dari arti, namun masih
dimungkinkan adanya unsur atau relasi yang
dinyatakan dengan bahasa biasa antara lain terlihat
48
/Aksiomatika

dengan masih bermaknanya kata “atau", "dan" dan
sebagainya dalam logika. Suatu aksioma dikatakan
aksioma "diformalkan" bila semua unsur termasuk
tanda logika dikosongkan dari makna, sedemikian
hingga semua unsur diperlakukan sebagai simbol
belaka.
D. Konsep Bukan Pangkal
Di bagian terdahulu telah dikemukakan adanya
pengertian pangkal atau unsur primitif. Secara kurang
tepat sering juga “konsep tak didefinisikan". Dalam
suatu struktur tertentu banyak dijumpai konsepkonsep
yang didefinisikan berdasarkan konsep-konsep
terdahulu. Konsep-konsep semacam ini dalam tulisan
ini disebut konsep bukan pangkal. Selain itu dalam
tulisan ini pengertian konsep yang dipakai adalah “ide
abstrak yang dapat digunakan untuk melakukan
penggolongan atau klasifikasi".
Suatu konsep dapat dibentuk melalui suatu
abstraksi. Sebagai contoh sederhana dalam kehidupan
sehari-hari kita dapat mengatakan bahwa sepeda,
kereta api, mobil, becak adalah kendaraan. Tetapi
rumah, pohon, batu bukan kendaraan. Ini berarti
“kendaraan" adalah suatu konsep. Konsep kendaraan
itu dapat saja dipandang sebagai suatu abstraksi dari
beberapa kendaraan khusus tertentu.
Di bagian terdahulu telah disebutkan selintas
tentang pembentukan sutu konsep. Demikian juga
pengertian konsep yang digunakan dalam tulisan ini.
Dalam matematika dikenal banyak konsep. Misal :
“segitiga", “segiempat" dan sebagainya, dikenal juga
konsep “ruang metrik", “grup", dan masih banyak lagi.
Aksiomatika / 49

Jika disebut “segitiga", maka ide itu dapat
digunakan untuk melakukan pengelompokan atau
klasifikasi. sedemikian hingga suatu bangun datar
dapat termasuk segitiga atau tidak. Demikian juga
konsep-konsep yang lain. Bagaimanakah pembentukan
suatu konsep itu?
Pembentukan suatu konsep bisa melalui : (1)
abstraksi, misalnya : pembentukan bilangan melalui
dua kali abstraksi, (2) Idelisasi, misalnya : “kerataan"
suatu bidang dan "kelurusan" suatu garis, (3) abstraksi
dan idealisasi, misalnya : “kubus", “kerucut", dan (4)
penambahan syarat pada konsep terdahulu, misalnya:
“belahketupat" dari “jajargenjang"
Definisi merupakan bagian penting dari
geometri. Definisi suatu konsep menurut Soedjadi
(2000) ialah “ungkapan yang dapat digunakan untuk
membatasi suatu konsep”. Segiempat seperti
jajargenjang, persegipanjang, persegi, belahketupat,
layang-layang dan trapesium merupakan contoh
konsep, sedangkan “ jajargenjang ialah segiempat yang
mempunyai dua pasang sisi berhadapan sejajar”
merupakan contoh definisi. Ungkapan pada definisi
tersebut membatasi konsep. Soedjadi (2000)
membedakan definisi menjadi 3 yaitu definisi analitik,
definisi ginetik dan definisi dengan rumus. Pada
geometri tidak di jumpai definisi dengan rumus.
Dikatakan definisi analitik bila definisi tersebut
menyebutkan genus proksimum (keluarga dekat) dan
deferensia spesifika (pembeda khusus). Definisi
jajargenjang di atas merupakan definisi analitik dengan
genus proksimum “segiempat” dan deferensia spesifika
“mempunyai dua sepasang sisi berhadapan sejajar”.
Definisi genetik ialah definisi yang menunjukkan atau
50
/Aksiomatika

mengungkapkan cara terjadinya atau terbentuknya
konsep yang didefinisikan. Contoh definisi genetik
“layang-layang ialah bangun segiempat yang terjadi
jika dua segitiga samakaki dengan alas kongruen
diimpitkan alasnya”. Selanjutnya Soedjadi (2000)
mengemukakan bahwa ada empat unsur definisi yaitu:
latar belakang, genus, istilah yang didefinisikan, dan
atribut. Contoh definisi jajargenjang di atas, latar
belakangnya ialah segiempat, genus ialah segiempat,
istilah yang didefinisikan ialah jajargenjang, dan atribut
ialah sepasang sisi berhadapan sejajar.
Definisi yang digunakan pada segiempat
mempunyai dampak terhadap hubungan
antarsegiempat. Jika trapesium didefinisikan sebagai “
segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar” atau
“segiempat yang sepasang sisinya sejajar”, maka kedua
definisi yang berbeda itu akan akan berdampak
terhadap hubungan antarsegiempat. Jika definisi yang
pertama digunakan maka himpunan jajargenjang dan
himpunan trapesium saling asing, tetapi jika definisi
yang kedua digunakan maka himpunan jajargenjang
merupakan himpunan bagian dari himpunan
trapesium.
Jajargenjang dapat didefinisikan sebagai berikut:
(1) jajargenjang ialah segiempat yang dua pasang sisi
yang berhadapan sejajar; (2) jajargenjang ialah
segiempat yang dua pasang sisi yang berhadapan sama
panjang; dan (3) jajargenjang ialah segiempat yang
sepasang sisi yang berhadapan sejajar dan sama
panjang. Ketiga definisi jajargenjang di atas adalah
sama, dan menurut Soedjadi (2000) ketiga definisi itu
mempunyai ekstensi (jangkauan) yang sama, dan dua
atau lebih definisi yang memiliki ekstensi sama disebut
Aksiomatika / 51

definisi yang ekuivalen. Estensi menurut Poespoprojo
(1999, h.91) ialah keseluruhan hal-hal yang atasnya
suatu ide dapat diterapkan, atau lingkungan (suatu
konsep) yang dapat ditunjuk dengan konsep tersebut.
Atribut yang digunakan definisi (1) memiliki dua
pasang sisi yang sejajar, atribut yang digunakan
definisi (2) memiliki dua pasang sisi yang sama
panjang, dan atribut yang digunakan definisi (3)
memiliki sepasang sisi yang sejajar dan sama panjang,
menurut Soedjadi (2000) definisi itu mempunyai intensi
(makna kata) yang berbeda. Pengertian jajargenjang
yang dikonstruk siswa dikatakan akurat jika ekuivalen
dengan definisi jajargenjang di atas.
Persegipanjang dapat didefinisikan sebagai
berikut:: (1) persegipanjang ialah segiempat yang dua
pasang sisi yang berhadapan sejajar dan satu sudut
siku-siku; (2) persegipanjang ialah segiempat yang dua
pasang sisi yang berhadapan sama panjang dan satu
sudutnya siku-siku; dan (3) persegipanjang ialah
segiempat yang sepasang sisi yang berhadapan sejajar
dan sama panjang serta satu sudut siku-siku. Dengan
demikian ketiga definisi di atas adalah definisi yang
mempunyai ektensi sama tetapi dengan intensi yang
berbeda. Belahketupat, persegi, layang-layang dan
trapesium yang digunakan dalam penelitian ini
didefinisikan sebagai berikut. Belahketupat ialah
segiempat yang keempat sisi sama panjang. Persegi
adalah segiempat yang keempat sisi sama panjang dan
satu sudut siku-siku. Layang-layang ialah segiempat
yang dua pasang sisi berdekatan sama panjang dan sisi
tersebut tidak tumpang tindih. Trapesium ialah: (1)
segiempat yang sepasang sisi berhadapan sejajar; atau
52
/Aksiomatika

(2) segiempat yang tepat sepasang sisi berhadapan
sejajar.
Jika definisi analitis yang digunakan, maka
persegipanjang ialah jajargenjang yang satu sudutnya
siku-siku; belahketupat ialah jajargenjang yang
keempat sisi sama atau layang-layang yang keempat
sisi sama; dan persegi ialah persegipanjang yang
keempat sisi sama atau persegi ialah belahketupat yang
satu sudutnya siku-siku. Jika definisi trapesium
digunakan definisi (1) yaitu segiempat yang sepasang
sisi berhadapan sejajar, maka jajargenjang ialah
trapesium yang mempunyai dua pasang sisi sejajar.
Berdasar peta konsep di atas, trapesium
didefinisikan dengan menggunakan genus proksimum
”segiempat” dengan menambah syarat ”mempunyai
sepasang sisi yang sejajar”. Dengan demikian
trapesium ialah segiempat yang mempunyai sepasang
sisi sejajar. Dengan cara sama, jajargenjang ialah
trapesium yang mempunyai dua pasang sisi sejajar dan
persegipanjang ialah jajargenjang yang satu sudutnya
siku-siku. Demikian juga untuk layang-layang,
belahketupat dan persegi.
Diberikan segiempat ABCD, AB s1
, BC s2
,
CD s 3
, dan s4
m
s1
,
s2
AD dengan gradien berturut-turut
m , m
s3
, m
s4
. Jika P pusat lingkaran dalam
segiempat ABCD, maka dP
s1
menyatakan jarak pusat P
ke sisi
1
s . Peta konsep berdasarkan intensi definisi
dikemukakan Soedjadi (2005) disajikan Gambar 2.7.
Aksiomatika / 53

PETA KONSEP SEGIEMPAT
(berdasarkan itensi definisinya)
SEGIEMPAT
sdt = 360 o
SEGI-4 TALIBUSUR
A + C = 180 0
sdt = 360 o
TRAPESIUM
ms1 = ms3
sdt = 360 o
JAJARGENJANG
ms1=ms3, ms2=ms4
sdt=360 o
LAYANG-2
s1=s2, s3=s4
sdt = 360 o
SEGI-4 GRS.SING
sdt = 360 o ; dPs1=dPs2
dPs2 =dPs3 , dPs3 = dP s4
PERSEGIPANJANG
sdt = 360 o ms1 = ms3;
ms2 = ms4; A = 90 o
BELAHKETUPAT
sdt = 360 o ; ms1 = ms3
ms2 = ms4; s1 = s2
PERSEGI
sdt = 360 o ; ms1 = ms3
ms2 = ms4; A = 90 o
s1 = s2
Jika intensi definisi diubah, skema di atas akan
berubah, sehingga jajargenjang, persegipanjang,
belahketupat berada di bawah trapesium. Jadi peta
konsep sangat dipengaruhi oleh bunyi definisi
(semantik) yang digunakan atau hubungan yang
diutamakan. Diagram di atas menunjukkan bahwa
posisi segiempat talibusur dan trapesium ialah
setingkat, karena keduanya didefinisikan dari
segiempat dengan menambah satu syarat. Demikian
juga dengan jajargenjang dan layang-layang juga
setingkat, karena keduanya didefinisikan dari
segiempat dengan menambah dua syarat. Segiempat
garis singgung, persegipanjang dan belahketupat juga
setingkat, karena ketiganya didefinisikan dari
segiempat dengan menambah tiga syarat. Persegi
54
/Aksiomatika

erada ditingkat paling bawah karena persegi
didefinisikan dari segiempat dengan menambah empat
syarat. Diagram di atas menunjukkan bahwa makin ke
bawah syarat yang diperlukan makin bertambah.
Sebagai akibat dari pembuatan diagram yang
memperhatikan posisi atau tingkat, akan berakibat jika
segiempat talibusur ditambah satu syarat akan menjadi
trapesium, ditambah tiga syarat menjadi
persegipanjang, dan ditambah empat syarat menjadi
persegi. Demikian juga jika trapesium ditambah satu
syarat menjadi segiempat talibusur atau jajargenjang,
ditambah tiga syarat menjadi segiempat garis
singgung.
E. Pernyataan Bukan Pangkal
Di depan telah dikenalkan aksioma yang juga
dapat disebut sebagai pernyataan pangkal. Pemyataan
yang disepakati, dan oleh karena itu tidak memerlukan
pembuktian. Sekarang akan dibicarakan pernyataan
lain, yang dapat diturunkan dari aksioma ataupun
teorema sebelumnya. Pada umumnya suatu teorema
dapat dinyatakan sebagai suatu implikasi (Jika ........
maka ........).
Di bagian terdahulu telah dikemukakan bahwa
suatu teorema atau suatu sifat tertentu tidak selalu
didapat dengan pemikiran deduktif, tetapi juga
mungkin ditemukan melalui pengalaman lapangan
ataupun data empirik. Namun demikian akhimya
kebenarannya harus dapat dibuktikan dengan pola
pikir deduktif dalam strukturnya.
Jadi, suatu teorema atau suatu sifat tertentu
dapat saja diperoleh melalui langkah-Iangkah induktif,
baru kemudian dibuktikan kebenarannya dengan cara
Aksiomatika / 55

deduktif. Sifat-sifat suatu barisan dapat saja
"ditemukan" secara coba-coba, baru kemudian dapat
dibuktikan kebenarannya dengan menggunakan
induksi matematika. Demikian juga beberapa sifat atau
teorema dalam teori jaringan atau graph
Telah dikemukakan bahwa pada umumnya suatu
teorema berupa suatu implikasi. Namun ada juga yang
berupa biimplikasi. Berbeda dengan definisi,
kalimatnya selalu harus diartikan sebagai suatu
biimplikasi. Dalam pembicaraan teorema, termasuk di
dalamnya “lemma” dan “corrolary”.
Jika suatu teorema dipandang sebagai suatu
implikasi “Jika …….maka…..” , dapatlah ditinjau
unsur-unsurnya. Unsur-unsur suatu teorema adalah:
1) Latar belakang
Latar belakang suatu teorema merupakan
keterangan atau penjelasan yang memungkinkan
teorema tersebut berlaku.
2) Hipotesis/anteseden
Hipotesis biasanya terdapat di belakang kata
“jika”. Hipotesis merupakan pemyataan yang
menjadi landasan untuk dapat membuat
simpulan yang berupa pemyataan lain.
3) Konklusilkonsekuen
Konklusi biasanya terdapat di belakang kata "maka".
Konklusi adalah pemyataan yang merupakan
analisis atau hasil telaah dari hipotesis.
Perhatikan teorema berikut “Sudut-sudut alas
suatu segitiga samakaki sama besarnya”. Pemyataan
tersebut dapat diubah menjadi: “Jika sebuah segitga
samakaki maka sudut-sudut alasnya sama”. Dengan bentuk
pernyataan “Jika……maka.….” ini lebih mudah
menentukan unsur-unsur teorema tersebut, yaitu: 1)
56
/Aksiomatika

latar belakangnya adalah segitiga, 2) hipotesisnya
adalah segitiga samakaki , dan 3) konlusinya adalah
sudut-sudut alasnya sama. Dari contoh di atas jelas
bahwa hipotesis suatu teorema adalah bagian yang
dianggap diketahui. sedangkan konklusi suatu teorema
adalah bagian yang akan dibuktikan kebenarannya.
LATIHAN 2
1. Berikan contoh lingkaran definisi yang tidak
matematik
2. Berikan contoh lingkaran definisi yang matematik
3. Selidiki pernyataan mana yang dapat dinyatakan
dengan “bila dan hanya bila” atau yang “reversible”.
a. Suatu merpati adalah burung
b. Suatu persegi adalah suatu segiempat
c. Suatu jajargenjang adalah suatu segiempat yang
2 sisinya yang berhadapan sama dan sejajar.
d. Amat itu anak yang berambut panjang.
e. Suatu garis lurus terletak pada suatu bidang
datar jika paling sedikit 2 titiknya terletak pada
bidang itu.
4. Apakah yang dimaksud dengan suatu deduksi
dalam geometri itu?
5. Harus mempunyai apa saja suatu sistem deduktif
itu?
6. Diketahui : Geometri 4 titik
Aksioma 1: Terdapat tepat 4 buah titik. dan tidak ada
tiga di antaranya yang segaris.
Aksioma 2: Melalui duah bua titik dapat dibuat tepat
sebuah garis.
a. Susunlah Teorema 1 yang menyatakan banyaknya
garis lurus, dan buktikan.
Aksiomatika / 57

. Jika kemudian disisipkan Definisi 1: Melalui tiga
buah titik dapat dibuat sebuah segitiga, maka
susunlah Teorema 2 yang menyatakan banyaknya
segitiga.
c. Jika kemudian disisipkan Definisi 2: Dua garis
dikatakan sejajar jika tidak mempunyai titik
serikat, maka susunlah Teorema 3 yang
menyatakan banyaknya pasangan garis sejajar.
d. Susunlah Teorema 4 yang menyatakan banyaknya
diagonal.
7. Diketahui: geometri 5 titik.
Diketahui aksioma-aksioma berikut.
Aksioma 1 : Terdapat tepat 5 buah titik, dan tidak ada
tiga di antaranya yang segaris.
Aksioma 2 : Melalui duah bua titik dapat dibuat tepat
sebuah garis.
a. Susunlah Teorema 1 yang menyatakan banyaknya
garis lurus, dan buktikan.
b. Jika kemudian disisipkan Definisi 1: Melalui tiga
buah titik dapat dibuat sebuah segitiga, maka
susunlah Teorema 2 yang menyatakan banyaknya
segitiga.
c. Jika kemudian disisipkan Definisi 2: Dua garis
dikatakan sejajar jika tidak mempunyai titik
serikat, maka susunlah Teorema 3 yang
menyatakan banyaknya pasangan garis sejajar.
d. Susunlah Teorema 4 yang menyatakan banyaknya
diagonal.
8. Diketahui : Geometri 8 titik
Aksioma 1: Terdapat tepat 8 buah titik, dan tidak
ada tiga di antaranya yang segaris.
Aksioma 2: Melalui dua buah titik dapat dibuat
tepat sebuah garis.
58
/Aksiomatika

. Susunlah Teorema 1 yang menyatakan
banyaknya garis lurus, dan buktikan.
c. Jika kemudian disisipkan Teorema 1: Melalui
tiga buah titik dapat dibuat sebuah segitiga,
maka susunlah Teorema 2 yang menyatakan
banyaknya segitiga.
d. Jika kemudian disisipi Teorema 2: Dua garis
dikatakan sejajar jika tidak mempunyai titik
serikat, maka susunlah Teorema 3 yang
menyatakan banyaknya pasangan garis sejajar.
e. Susunlah Teorema 4 yang menyatakan
banyaknya diagonal.
9. Diketahui : Geometri n titik
Aksioma 1: Terdapat tepat n buah titik, dan tidak
ada tiga diantaranya yang segaris.
Aksioma 2: Melalui dua buah titik dapat dibuat
tepat sebuah garis.
a. Susunlah Teorema 1 yang menyatakan
banyaknya garis lurus, dan buktikan.
b. Jika kemudian disisipkan Definisi 1: Melalui
tiga buah titik dapat dibuat sebuah segitiga,
maka susunlah Teorema 2 yang menyatakan
banyaknya segitiga.
c. Jika kemudian disisipi Definisi 2: Dua garis
dikatakan sejajar jika tidak mempunyai titik
serikat, maka susunlah Teorema 3 yang
menyatakan banyaknya pasangan garis sejajar.
d. Susunlah Teorema 4 yang menyatakan
banyaknya diagonal
Aksiomatika / 59