Download

Identitas ParsevalUntuk deret Fourier :Identitas Parseval :Periode Tf ( t)1TT∫0(=12f ( t))∞ ∑n=1( a cos nωt + b nωt)a0 +nnsin2dt=14a20+12∞∑( + )2 2anbnn=1Periode T = 2L1LL∫−L(f( t))2dt=12a20+∞∑( + )2 2anbnn=1Deret Fourier Komplek1TT∫0(f( t))2dt=∞∑n=−∞cnc*n=∞∑n=−∞cn2Matematika Teknik II( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)3

Daya rata-rata P avDayarataperiode T−==rata1T14∫020P( f ( t))+avdidefinisikandengan teorema ParsevalPPavavaTdari sinyal periodik12∞2∑(2 2a + )nbnn=1dtf(t) denganMatematika Teknik II( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)4

Contoh :Penyelesaian :v(t)DayaCarilah Daya rata-rata pada tahanan 1Ω olehsinyal tegangan dengan periode 2π diberikan oleh :periodikKoefisienrataderet−1 1v( t)= cost− sin 2t+ cos3t3 2denganrataFourierPavperiode=:a12π12π∫0T= 1,=a32π=2( v(t)) dtDengan teori Parseval didapatkan :12,b2= −13P av=12⎛⎜1⎝2⎛ + ⎜ −⎝13⎞⎟⎠2+⎛⎜⎝12⎞⎟⎠2⎞⎟⎠=0,68WMatematika Teknik II( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)5

Fungsi Ortogonal.• Dua fungsi g m (x) dan g n (x) dikatakan ortogonaldalam interval a ≤ t ≤ b jikab( g , g ) = ∫ g ( x)g ( x)dx = 0 m ≠ nmnamnAkar kuadrat (g m ,g m ) yang tak negatif disebut norma(ukuran) dari g m (x) dan secara umum dinyatakandengan :g m2g = ( g , g ) = g ( x)dxmmmb∫amMatematika Teknik II( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)6

Fungsi Ortogonal.• Penulisan secara singkat (g m ,g n ) = δ mn yang disebutdelta Kronecker* yang didefinisikan dengan :δ mn⎧0untuk m ≠ n= ⎨( m,n=1,⎩1untuk m = n2,L)Jadi dari suatu himpunan ortogonal dapat diperoleh suatuhimpunan ortonormal dengan membagi setiap fungsidengan normanya.( *Leopold Kronecker ahli matematika Jerman )Matematika Teknik II( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)8

Contoh :Tunjukan fungsi g m (x) = sin mx, m = 1, 2, … membentuksuatu himpunan ortogonal pada selang -π ≤ x ≤ π .Penyelesaian :Untuk m ≠ n diperoleh :π, 11∫2∫2∫n( g g ) = sin mxsinnxdx = cos( m − n)x dx − cos( m + n)xdx = 0m−ππ−ππ−πNormanya :gmb2= ( gm,gm)= ∫ gm(x)dx = ∫sinJadi himpunan ortonormalnya :a−πMatematika Teknik II( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)π2mx dx⎧sinx⎨ ,⎩ π=πsin 2xπ,( msin 3xπ9= 1, 2, L)⎫, L⎬⎭