Branch & Bound

PENELITIAN OPERASIONAL I(TIN 4109)

Lecture 11INTEGER PROGRAMMING

Lecture 11• Outline:– Integer Programming: Branch & Bound• References:– Frederick Hillier and Gerald J. Lieberman. Introductionto Operations Research. 7th ed. The McGraw-HillCompanies, Inc, 2001.– Hamdy A. Taha. Operations Research: An Introduction.8th Edition. Prentice-Hall, Inc, 2007.– Winston, Wayne L. Operations Research: Applicationsand Algorithms. 3rd edition. Wadsworth Inc.1994.

INTEGER PROGRAMMINGBRANCH & BOUND METHOD

Metode Branch and Bound• Metode yang paling sering digunakan untukmenyelesaikan ILP adalah Branch and Bound.• Langkah utama dalam metode Branch andBound.o Batasi (Bound)• Batas Atas (Upper Bound)• Batas Bawah (Lower Bound)o Pencabangan Cabang (Branching)o Penghentian Cabang (Fathoming)

• Pembatasan (Bound)Branch and BoundLangkah Utama– Batas Atas (Upper Bound)– Batas Bawah (Lower Bound)• Pencabangan Cabang (Branching)• Penghentian Cabang (Fathoming)

Branching• Pencabangan dilakukan jika masih terdapat variabelkeputusan yang harus bernilai integer namunmemiliki solusi yang tidak integer.• Pencabangan dilakukan dengan cara menambahkanpembatas pada masalah asli. Penambahan pembatasini ditujukan untuk membuat variabel keputusanyang belum bernilai integer supaya bernilai integer.

Penetapan Batas (Bounding)• Pada algoritma branch and bound terdapat duabatas yaitu batas atas (upper bound) dan batasbawah (lower bound).• Pada masalah maksimisasi:– batas atas merupakan solusi ILP relaksasi dari submasalah tersebut sedangkan batas bawahnya adalahnilai dari sub masalah tersebut ataupun solusi dari submasalah lain yang semua variabel keputusan yangharus bernilai integer sudah bernilai integer. solusiterbaik yang sejauh ini diperoleh

Penetapan Batas (Bounding)• Pada masalah minimisasi:– batas bawah merupakan solusi ILP relaksasi darisub masalah tersebut sedangkan batas atasnyaadalah nilai dari sub masalah tersebut ataupunsolusi dari sub masalah lain yang semua variabelkeputusan yang harus bernilai integer sudahbernilai integer. solusi terkecil (terbaik) yangsejauh ini diperoleh

Penghentian pencabangan(Fathoming)Pencabangan atau pencarian solusi pada suatusub masalah dihentikan jika:o Infeasible atau tidak mempunyai daerah layak.o Semua variabel keputusan yang harus bernilai integer sudahbernilai integero Pada masalah maksimisasi, penghentian pencabangan pada suatusub masalah dilakukan jika batas atas dari sub masalah tersebuttidak lebih besar atau sama dengan batas bawah.o Sedangkan pada masalah minimisasi penghentian pencabanganpada suatu sub masalah dilakukan jika batas bawah tidak lebih lebihkecil atau sama dengan batas atas.

Kondisi Optimal• Jika tidak ada lagi sub masalah yang perlu dicabangkan lagimaka solusi optimal sudah diperoleh.• Pada masalah maksimisasi solusi optimal merupakan solusisubmasalah yang saat ini menjadi batas bawah (lower bound)• Pada masalah minimisasi solusi optimal merupakan solusisubmasalah yang saat ini menjadi batas atas (upper bound)

• Contoh:Branch and Bound

Branch and Bound• Pilih salah satu solusi(acak) yang tidak integer• Eliminasi daerah yangtidak akan memberikanhasil integer• Hasil eliminasimenggantikan LP awal• Menyelesaikan masing2LP dengan batasan barutetap fungsi tujuan samax 1 = branching variable

• Hasil branching:Branch and Bound

• Fanthom LP3Branch and Bound

Lecture 12 – Preparation• Materi:– Binary Integer Programming– IP dengan Software