Elementi di Matematica discreta - Università degli Studi di Torino

Università di Torino 

QUADERNI DIDATTICI 

del 

Dipartimento di Matematica 

DANIELA ROMAGNOLI 

Elementi di Matematica discreta 

Quaderno # 23 – Gennaio 2004

PREFAZIONE 

In questo quaderno didattico è contenuta la traccia delle lezioni del laboratorio di 

matematica discreta per il corso di laurea in Matematica di Torino (anno accademico 

2003-2004). Le lezioni si propongono sia di richiamare i prerequisiti necessari che di 

introdurre strumenti nuovi per la presentazione di alcune tematiche del calcolo 

combinatorio e più in generale della matematica discreta . 

Filo conduttore del laboratorio è l'uso del concetto di funzione nel contare gli elementi 

di un insieme, il suo scopo è quello di elaborare il materiale presentato nelle lezioni , 

integrandolo con osservazioni ed esercizi. Per una più vasta trattazione dei temi 

presentati si rimanda alla bibliografia che riporta i testi consigliati ed usati dai 

frequentanti il laboratorio per la stesura di tesine attinenti gli argomenti presentati . 

INDICE 

. 

Capitolo1 – IL PRINCIPIO DI INDUZIONE MATEMATICA E IL METODO 

DELLE SCELTE ……………… …………………………………p.1 

Capitolo 2 – CORRISPONDENZE E FUNZIONI 

2.1 Corrispondenze tra insiemi …. ………………………………….…p.5 

2.2 Funzioni tra insiemi finiti ………………………………………….p.7 

Capitolo 3 – SUCCESSIONI E RELAZIONI RICORSIVE 

3.1 Definizioni ed esempi……………….…….…………………………p.19 

3.2 Successioni aritmetiche e geometriche…....…………………………p.23 

3.3 La successione di Fibonacci……………………………………….p.26 

3.4 Relazioni ricorsive lineari………………………………………….p.31 

Capitolo 4 – FUNZIONI ARITMETICHE E FUNZIONI INTERE 

4.1 Funzioni aritmetiche moltiplicative……………….. .……………...p.39 

4.2 La funzione di Eulero e la funzione di Moebius . …………………..p.40 

4.3 Funzioni intere……………………………………………………..p.50

D.Romagnoli – Elementi di matematica discreta 

CAPITOLO 1 

Il principio di induzione matematica e il metodo delle scelte 

Alla base del contare vi sono l’insieme N dei numeri naturali, a tutti ben noto fin 

dalle scuole elementari, e le sue proprietà. 

L’insieme N dei numeri naturali viene formalmente determinato dai cinque assiomi 

seguenti, dovuti al matematico Giuseppe Peano ( 1858-1931): 

i) 0 è un numero naturale 

ii) ad ogni numero naturale n corrisponde un altro numero naturale, unico, detto 

successore di n 

iii) due numeri naturali distinti hanno due successori distinti 

iv) 0 non è il successore di nessun numero naturale 

v) qualunque sottoinsieme A di N avente le due proprietà 

a) 0∈A 

b) per tutti gli n ∈N, n∈A ⇒ il successore di n ∈A 

deve essere l’insieme N. 

L’assioma v) viene detto principio di induzione matematica . 

Invece di n∈A si può dire "n ha la proprietà P". Con questa terminologia il principio 

di induzione matematica diventa l’assioma seguente: 

v’) qualsiasi proprietà dei numeri naturali valida per 0 e valida per il successore di n 

ogniqualvolta valga per n vale per tutti i numeri naturali . 

Dagli assiomi di Peano si può dedurre formalmente tutta l’aritmetica; il primo passo 

consiste nell' introdurre l’operazione di somma di numeri naturali, in base alla quale, 

indicato con 1 il successore di 0, si trova subito che il successore di n è n+1, 

l’operazione di moltiplicazione e nel dimostrarne le proprietà . Non ci inoltriamo in 

queste definizioni, accenniamo solo al fatto che, a partire dagli assiomi di Peano è 

possibile dotare N di un ordinamento totale, il consueto ordinamento secondo 

grandezza, definito come la relazione ≤ seguente : 

dati m, n ∈ N , 

Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica 

m ≤ n ⇔ ∃ x ∈ N tale che m+x = n . 

1

2 Capitolo 1 Il principio di induzione matematica e il metodo delle scelte 

Si può provare che tale relazione è una relazione di ordine totale verificante la 

seguente proprietà : 

v") dato comunque un sottoinsieme non vuoto A di N, A possiede un primo 

elemento, cioè un elemento m tale che 

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m ≤ a , ∀a ∈ A . 

Diciamo allora che la relazione data è un buon ordinamento e che l’insieme N è bene 

ordinato . 

La proprietà v" può venire assunta come quinto assioma al posto del principio di 

induzione matematica . In tal caso è semplice dimostrare la validità del principio di 

induzione : assumiamo quindi che N sia un insieme bene ordinato e dimostriamo il 

Principio di induzione matematica ( 1 a forma ) 

Sia ( P(n) ) una successione di proposizioni tali che 

i) P(0) (P(n 0 )) è vera ( base dell’induzione ) 

ii) La verità di P(k) implica la verità di P(k + 1 ) , k ≥ 0 (n 0 ) (ipotesi induttiva) 

Allora P(n) è vera, ∀n ≥ 0 (n 0 ) . 

Dimostrazione . Sia S = {x > 0 (n0) | P(x) è falsa }. Supponiamo, per assurdo, che S 

non sia vuoto. Per l’assioma del buon ordinamento di N, S ha un primo elemento, 

che indichiamo con m. Consideriamo ora la proposizione P(m) : poiché m∈S, P(m) è 

falsa; inoltre, poiché m è il primo elemento di S, m – 1 ∉ S (e m – 1 ≥ 0 (n0)), quindi 

la proposizione P(m-1) è vera e la ii) ci dice allora che P(m) è vera . Abbiamo una 

contraddizione, dunque S è vuoto . 

In modo del tutto analogo si dimostra il 

Principio di induzione matematica ( 2 a forma ) . 

Sia ( P(n) ) una successione di proposizioni tali che 

i) P(0) (P(n 0 )) è vera ( base dell’induzione ) 

ii) La verità di P(k), ∀ 0 (n 0 ) ≤ k < m, implica la verità di P(m) (ipotesi 

induttiva) 

Allora P(n) è vera, ∀n ≥0 (n 0 ) . 

Il principio di induzione matematica si rivela molto utile per dimostrare proposizioni 

il cui enunciato dipenda da n ∈ N . Vediamone negli esempi l’uso corretto .


Esempi 1.1 

1) Si provi la validità della formula di Gauss : 1 + 2 + …+ n = 


n ( n + 1) 

. 

2 

Soluzione : in questo caso P(n) è l’affermazione : la somma dei primi n naturali è 

n ( n + 1) 

. 

2 

1 2 

Base dell’induzione : 1 = 

2 

. 

, quindi P(1) è vera 

Ipotesi induttiva : P(k) è vera , cioè 1 + 2 +…+ k = 

Proviamo la verità di P(k + 1) : 

1 + 2 +…+ k + (k + 1) = 

k ( k + 1) 

2 

k ( k + 1) 

+ (k + 1) = 

2 

( k + 1)( 

k + 2) 

2 

Il principio di induzione matematica (1° forma) ci permette di concludere che P(n) è 

vera ∀n≥1. 

Dalla formula di Gauss segue subito la formula che ci dà la somma dei primi n 

termini di una successione aritmetica di termine iniziale a e di ragione d 

n( 2a 

+ ( n −1) 

d) 

a + (a + d) + (a + 2d) + …+ (a + (n-1)d) = 

, 

2 

che naturalmente può essere dimostrata indipendentemente per induzione su n . 

Lasciamo per esercizio la verifica della formula che dà la somma dei primi n termini 

di una successione geometrica di termine iniziale a e ragione q ≠1 : 

a + aq + aq 2 + … + aq n-1 = 

a − aq 

1− 

q 

2) Come esempio di applicazione del principio di induzione matematica nella 2 a 

forma , dimostriamo la nota proposizione P(n) : ogni numero naturale n > 1 può 

essere fattorizzato in un prodotto di numeri primi . 

Base dell’induzione . P(2) è vera : infatti 2 è un numero primo ed è lui la sua 

fattorizzazione. 

Ipotesi induttiva : vale P(k), ∀ 2 ≤ k < m 

Proviamo P(m) . Abbiamo due casi : 

n 

. 

3

4 Capitolo 1 Il principio di induzione matematica e il metodo delle scelte 

i) m è primo ed è lui la sua fattorizzazione 

ii) m non è primo, allora m = m1m2 , con 2 ≤ m1,m2

D.Romagnoli – Elementi di Matematica discreta 

CAPITOLO 2 

Corrispondenze e funzioni 

2.1 Corrispondenze tra insiemi 


2.1 Corrispondenze tra insiemi 

2.2 Funzioni tra insiemi finiti 

Definizione 2.1.1 Si definisce corrispondenza dell’insieme I nell’insieme I’ un 

sottoinsieme F del prodotto cartesiano I x I’. 

F esprime un "legame" tra gli elementi di I e gli elementi di I’ : precisamente dice 

che l’elemento x di I è legato all’elemento x’ di I’ se e solo se la coppia ordinata 

(x,x’) appartiene a F. Diciamo allora che x’ è una immagine di x nella 

corrispondenza F e che x è una controimmagine di x’nella corrispondenza F . 

I è detto dominio della corrispondenza. 

I’ è detto codominio della corrispondenza. 

Esempio 2.1.1 Dati I ={a,b,c} e I’ = {1,2,3} è una corrispondenza di I in I’ l’insieme 

F = {(a,2),(c,3), (c,2)}. 

Definizione 2.1.2 Una corrispondenza è detta : 

funzionale se ogni x di I ha al più una immagine 

ovunque definita se ogni x di I ha almeno una immagine 

iniettiva se ogni elemento di I’ ha al più una controimmagine ( o equivalentemente 

se elementi distinti hanno immagini distinte ) 

suriettiva se ogni elemento di I’ ha almeno una controimmagine . 

La corrispondenza dell’esempio 2.1.1 non ha nessuna di queste proprietà . 

Le corrispondenze più importanti sono quelle ovunque definite e funzionali : esse 

sono dette funzioni e sono i sottoinsiemi F di I x I’ in cui ogni elemento x di I è 

primo elemento di una e una sola coppia . 

5

6 

Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni 

Il concetto di funzione è basilare in matematica ; ne diamo un’altra definizione 

equivalente alla precedente . 

Definizione 2.1.3 Dato un insieme I (detto dominio) e un insieme I’ (detto 

codominio ) , una funzione f di I in I’ è una legge che associa ad ogni elemento di I 

uno ed un solo elemento di I’ . Scriveremo 

f : I→ I’ 

e per indicare che x viene mandato in x’scriveremo x → x’ oppure 

f(x) = x’. 

x’ è detto l’ immagine di x ; x è detta una controimmagine di x’ . 

La legge f sopra definita, come sottoinsieme di I x I’, è l’insieme 

F = {(x,x’) ⎪x’ = f(x)}. 

F viene in tal caso detto grafo (o grafico) di f . Nel caso di funzioni reali di variabile 

reale l’insieme F è l’insieme dei punti appartenenti al grafico della funzione nel 

piano cartesiano . 

Osservazione 2.1.1 In qualche caso una funzione può essere identificata con la 

sequenza delle immagini degli elementi del dominio : è il caso , per esempio, delle 

successioni ( o progressioni ), su cui torneremo nel seguito . 

Richiamiamo ancora la composizione di funzioni : 

Definizione 2.1.4 Date due funzioni f : I → I’ e g : I’ →I" si dice funzione 

composizione (o funzione composta) di f e di g la funzione g ° f di I in I” così definita 

(g ° f )(x) = g(f(x)) . 

In termini di grafo , indicati con F e G i grafi di f e g rispettivamente e con H il grafo 

della loro composizione , abbiamo 

H = { ( x,x”) ∈I x I” ⏐∃ x’∈ I’ , (x,x’)∈ F e (x’,x”)∈G } . 

E’ immediato verificare che la composizione di due funzioni è una operazione 

associativa e che la composizione di due funzioni iniettive è iniettiva , di due 

suriettive è suriettiva . Da ciò segue che la composizione di due biiezioni è ancora 

una biiezione . 

Data una biiezione f , la sua funzione inversa secondo la 

Definizione 2.1.5 Se f : I → I’ è una biiezione , si definisce inversa di f la funzione 

f - 1 : I’ → I che associa ad ogni x’ di I’ l’unico x tale che f(x) = x’ 

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è ancora una biiezione . 

Sono esempi di biiezioni le permutazioni di n oggetti che tratteremo in seguito . 

2.2 Funzioni tra insiemi finiti 

Ogni insieme finito con n elementi A = {a1, … ,an } è in corrispondenza biunivoca 

con l’insieme In = { 1 ,2 , … , n }( suo insieme di indici ) , quindi è sufficiente 

ragionare con tali insiemi . 

Enunciamo alcune proprietà di tipo combinatorico . 

Proposizione 2.2.1 Le corrispondenze tra In e Im sono 2 nm . 

Dimostrazione . Le corrispondenze sono tante quante i sottoinsiemi del prodotto In x 

Im , che sono 2 nm . 

Proposizione 2.2.2 Le funzioni di In in Im sono m n . 

1° dimostrazione . Con l’induzione su n . 

Se n=1, si hanno m = m 1 funzioni di I1 in Im , poiché una singola funzione è 

assegnata dando l’immagine di 1 . 

Supponiamo vera la proprietà per n e proviamola per n + 1 . 

Una funzione f di In+1 in Im si ottiene dando una funzione g di In in Im ed una 

immagine ad n + 1 . 

Poichè le g, per l’ipotesi induttiva, sono m n ne segue che vi sono m n funzioni che 

mandano n + 1 in 1 , m n funzioni che mandano n + 1 in 2 , … , m n funzioni che 

mandano n + 1 in m cioè m . m n = m n+1 funzioni di In+1 in Im . 

2° dimostrazione . Con il metodo delle scelte . 

Dare una funzione di In in Im significa dare f(1) ,f(2),…,f(n) . Per f(1) ho m scelte , 

tante quanti sono gli elementi del codominio , per f(2) ho ancora m scelte ,…, così 

per f(n) . In totale avrò m m ...m = m n scelte . 

Osservazione 2.2.1 Diamo la traccia di un'altra dimostrazione della proposizione 

1.2 


⏐I⏐= n ⇒⏐P(I)⏐=2 n 

che usa quanto sopra dimostrato . 

Per ogni sottoinsieme A di I , sia ϕA : I→{0,1} la funzione così definita : 

ϕA(x) = 0 , se x∉A 

ϕA(x) = 1 , se x∈A . 

7

8 

ϕA è detta la funzione caratteristica di A . 


Sia f : P(I) →{ funzioni di I in {0,1}} la funzione così definita : f(A) = ϕA . 

Si prova che f è una biiezione e da questo segue che l’ordine di P(I) è pari all’ordine 

dell’insieme delle funzioni di un insieme con n elementi in un insieme con 2 

elementi , che abbiamo provato essere 2 n . 

Osservazione 2.2.2 Una funzione di un insieme con n elementi in un insieme di m 

elementi può essere vista come una n-pla ordinata di elementi scelti tra m , con 

possibilità di ripetizioni . Per questo motivo tali funzioni sono anche dette 

disposizioni con ripetizione : per quanto provato sopra il numero delle disposizioni 

con ripetizione di m elementi a n a n è m n . 

Esempio 2.2.1 Le funzioni di I3 in I2 sono identificabili con le 8 terne 

(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2) , (2,1,1) , (2,1,2) , (2,2,1) , (2,2,2) . La prima è la 

funzione costante di valore 1 , la seconda è la funzione che manda 1 in 1, 2 in 1,3 in 

2 , … , l’ultima è la funzione costante di valore 2 . 

Esempio 2.2.2 Vogliamo calcolare il numero delle colonne tra loro diverse che si 

possono giocare al totocalcio . Come è noto , il gioco consiste nell’assegnare uno dei 

tre simboli 1 , x , 2 ad ognuna delle 13 partite . Ogni colonna può essere identificata 

con una sequenza ordinata di elementi scelti tra 1,x,2 e quindi con una funzione di un 

insieme con 13 elementi (le tredici partite) in un insieme con 3 elementi (i tre 

simboli citati) . Le colonne possibili sono quindi 3 13 = 1594323 .Giocando tutte 

queste colonne si ha la certezza del tredici (purtroppo con una spesa superiore alla 

vincita !!) . 

Proposizione 2.2.3 Sia f una funzione di In in Im . 

i) Se f è iniettiva , n ≤ m 

ii) Se f è suriettiva , n ≥ m 

iii) Se n = m , f è biiettiva se e soltanto se f è iniettiva o suriettiva . 

Tralasciamo la dimostrazione della proprietà 2.2.3 , intuitiva ma non banale . 

Osserviamo che la proposizione contrapposta di i) (ad essa logicamente equivalente): 

se n > m ,allora f non è iniettiva è detta principio dei cassetti (o principio delle 

gabbie dei piccioni ) e può venire così riformulata (chiamando oggetti gli elementi di 

In e cassetti le loro immagini ) : 

se in m cassetti (gabbie) ho n > m oggetti (piccioni) , qualche cassetto (gabbia) 

contiene almeno 2 oggetti(piccioni). 

La proprietà iii) ci dice anche che non possono esistere biiezioni tra insiemi finiti di 

ordini diversi , quindi , in particolare, tra un insieme finito e un suo sottoinsieme 

proprio . 



Al contrario , un insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con 

un suo sottoinsieme proprio : per esempio la funzione f : Z → 2Z , f(x) = 2x è 

una corrispondenza biunivoca tra l’insieme Z dei numeri interi relativi e il suo 

sottoinsieme proprio 2Z (insieme dei numeri relativi pari). 

Osservazione 2.2.3 Il principio dei cassetti può essere esteso , diventando il 

Principio generale dei cassetti ( o delle gabbie dei piccioni ) : 

Se ho nk + 1 oggetti da riporre in n cassetti , qualche cassetto contiene almeno k + 1 

oggetti. 

Per k = 1 , si ritrova il principio enunciato prima ( se ho n + 1 oggetti in n cassetti , 

qualche cassetto ne contiene almeno 2 ) . 

La dimostrazione per assurdo di questa proposizione è la seguente : se ogni cassetto 

contenesse al più k oggetti , avremmo al più nk oggetti , contro l’ipotesi . 

Esempio 2.2.3 Dobbiamo riporre 25 mele in 3 ceste : 25 = 3 . 8 + 1 . Usando il 

principio generale dei piccioni con n = 3 e k = 8 , avremo che qualche cesta contiene 

almeno 8 + 1 = 9 mele 

Proposizione 2.2.4 Siano A e B due insiemi finiti dello stesso ordine n . Le biiezioni 

tra di essi sono n! . 

1° dimostrazione . Con l’induzione . 

Sia n = 1 ( base dell’induzione ) . Se A e B hanno un elemento ciascuno l’unica 

biiezione è quella che li fa corrispondere ( e 1 = 1! ) 

Ipotesi induttiva : supponiamo di sapere che tra due insiemi di ordine n-1 vi sono (n- 

1)! biiezioni . Sia ora A di ordine n : una biiezione di A in B (anch’esso di ordine n ) 

si ottiene dando una biiezione su n-1 elementi e dando l’immagine dell’elemento 

rimasto : si hanno così (n-1)! biiezioni con la stessa immagine per il primo elemento 

di A , (n-1)! con la stessa immagine per il secondo elemento di A ,…, (n-1)! con la 

stessa immagine per l’n-simo elemento di A . 

In totale le biiezioni cercate sono n . (n-1)! = n ! . 

2°dimostrazione . Con il metodo delle scelte . 

Per individuare una biiezione , noti il dominio e il codominio , basta assegnare le n 

immagini degli n elementi del dominio . Ora , per l’immagine del primo elemento di 

A abbiamo n scelte (qualunque elemento di B) , per l’immagine del secondo 

elemento di A abbiamo n-1 scelte ( per l’iniettività ) , … , per l’immagine dell’nsimo 

elemento di A la scelta è unica . Si possono dunque effettuare n! scelte : ad 

ognuna corrisponde una diversa biiezione di A in B . 

Nel caso in cui i due insiemi A e B coincidano , le biiezioni di A in se stesso 

vengono dette permutazioni di A . Abbiamo così il 


9

10 

Corollario 2.2.1 Le permutazioni di un insieme di ordine n sono n! 


Per comodità di scrittura poniamo , nel seguito , A = In ( identifichiamo in pratica gli 

elementi dell’insieme con i loro indici ) e facciamo alcune considerazioni . 

Ricordiamo che è notazione standard indicare con 

⎛ 1 

⎜ 

⎝f 

( 1) 

2 

f ( 2) 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

n ⎞ 

⎟ 

f ( n) 

⎠ 

la biiezione f che manda 1 in f(1) , 2 in f(2), … , n in f(n) . 

Così , per esempio , per n = 4 , la scrittura 

⎛1 

⎜ 

⎝4 

rappresenta la biiezione che manda 1 in 4 , 2 in 1 , 3 in 2 e 4 in 3 . 

2 

1 

Con questa notazione diventa semplice comporre due permutazioni e trovare 

l’inversa di una permutazione . Vediamolo su un esempio . 

Esempio 2.2.4 Sia n = 4 e siano f la permutazione precedente e g la seguente : 

⎛1 

⎜ 

⎝2 

2 

1 

g ° f è la permutazione che otteniamo applicando i due fattori successivamente (prima 

f poi g): possiamo pensare di scrivere su tre righe , omettendo poi il passaggio 

intermedio : 

⎛1 

⎜ 

⎜4 

⎜ 

⎝3 

da cui troviamo la composizione cercata : 

⎛1 

⎜ 

⎝3 

2 

1 

2 

2 

2 

L’inversa di una permutazione si ottiene scambiando le due righe e riordinando poi le 

colonne in modo che la prima riga diventi la riga 1 2 3 4 . 

3 

2 

1 

3 

1 

3 

2 

3 

4 

4⎞ 

⎟ 

3⎠ 

4⎞ 

⎟ 

3⎠ 

4⎞ 

⎟ 

3⎟ 

4⎟ 

⎠ 

4⎞ 

⎟ 

4⎠ 



Scambiando le righe di f , abbiamo : 

. 


⎛4 

⎜ 

⎝1 

e, riordinando le colonne , abbiamo f -1 : 

⎛1 

⎜ 

⎝2 

2 

3 

1 

2 

Ricordando che la composizione di funzioni è un operazione associativa e non 

commutativa , si ha la 

Proposizione 2.2.5. L’insieme di tutte le permutazioni di un insieme di ordine n , 

rispetto all’operazione di composizione , è un gruppo non abeliano . 

Tale gruppo , che ha un’ importanza fondamentale all’interno della teoria dei gruppi , 

si indica solitamente con il simbolo Sn e si chiama gruppo simmetrico(totale) : 

abbiamo provato che esso ha ordine n! . 

Se scriviamo le n! permutazioni dei numeri da 1 a n , vediamo che nella seconda riga 

delle tabelline abbiamo scritto gli n numeri in tutti gli ordini possibili esattamente 

una volta : abbiamo ordinato (allineato ) in tutti i modi possibili i nostri elementi . 

Possiamo dedurre che n oggetti distinti possono essere ordinati in n! modi possibili . 

Si dice quindi, per estensione, permutazione di n oggetti distinti un qualunque loro 

ordinamento o allineamento . Questi ordinamenti si ottengono uno dall’altro 

permutando gli n oggetti e la teoria svolta ci dice che ne otteniamo in totale n! 

(corrispondenti alle seconde righe delle tabelline precedenti ) . Si scrive anche 

3 

4 

2 

3 

Pn = n! 

per indicare il numero totale delle permutazioni di n oggetti distinti . 

Esempio 2.2.5 Scriviamo tutte le 3! = 6 permutazioni di 3 palline di colore B 

(bianco), R (rosso), V (verde) . 

Abbiamo due allineamenti che mettono la pallina B al primo posto , altrettanti per R 

e V (stiamo usando il procedimento induttivo usato nella dimostrazione della 

proposizione 2.2.4) 

3⎞ 

⎟ 

4⎠ 

4⎞ 

⎟ 

1⎠ 

B R V B V R R V B R B V V B R V R B . 

Esercizio 2.2.1 Quanti sono gli anagrammi della parola madre ? E della parola 

mamma ? 

Osserviamo che si definisce alfabeto un insieme finito di simboli e, dato un certo 

11

12 


alfabeto (qui si tratta dell’alfabeto latino di 26 lettere), si definisce parola un 

qualunque allineamento dei suoi simboli . Il numero di simboli è detto lunghezza 

della parola. Se n è l’ordine dell’alfabeto, le parole di lunghezza m sono in totale n m . 

Non è richiesto quindi che la parola che si ottiene anagrammando madre abbia un 

significato nella lingua italiana , né che ne segua le regole grammaticali . 

Dobbiamo quindi contare in quanti modi si possono allineare le cinque lettere 

m,a,d,r,e . I modi sono tanti quante le permutazioni di 5 oggetti , cioè 5! = 120 . 

Osserviamo che , in generale , gli anagrammi di una parola con n lettere distinte sono 

n! 

Nella parola mamma vi sono invece delle lettere ripetute , due a e tre m : gli 

5! 

anagrammi saranno . Motiviamo così questo fatto : passiamo da mamma ( che 

2! 

3! 

ha due lettere ripetute ) a mamme ( che ha una sola lettera ripetuta ) e da mamme a 

madre (che ha tutte lettere distinte) . Gli anagrammi di mamme sono la sesta parte di 

quelli di madre : da ogni anagramma di mamme ne ottengo 6 = 3! di madre 

sostituendo nelle posizioni delle tre m i 3! anagrammi della parola mdr . A loro volta 

gli anagrammi di mamme sono il doppio (2 = 2!) di quelli di mamma ( ogni 

anagramma di mamma ci dà due anagrammi di mamme sostituendo al posto delle 

due a i due anagrammi di ae ) . 

Osservazione 2.2.4 Si chiama permutazione con ripetizione di n oggetti a1, a2 ,…, an 

di cui a1 preso r1 volte , a2 preso r2 volte , … , an preso rn volte ogni (r1 + r2 +…+ rn ) – 

upla in cui a1 compare r1 volte , a2 compare r2 volte , …, an compare rn volte . 

Il numero totale di questi allineamenti è 

( r1 

+ r 2 + ... rn)! 

r1! 

r 2!... 

rn! 

Osserviamo che tale numero ci dà il numero delle funzioni suriettive di un insieme 

di ordine r1 + r2 +…+ rn nell’ insieme di ordine n {a1, a2 ,…, an } aventi la proprietà 

che r1 elementi hanno immagine a1, r2 elementi hanno immagine a2 , … , rn elementi 

hanno immagine an . Da qui si ottiene che l'ordine dell'insieme J delle suriezioni di Im 

(m = r1 + r2 +…+rn) in In è dato da 

( r1 

+ r 2 + ... rn)! 

∑ r1! 

r 2!... 

rn! 

dove la somma è fatta su tutte le n-ple di interi non negativi (r1 , r2 ,…,rn) con r1 + r2 

+…+rn = m . 

Il numero 

( r1 

+ 

r 2 + ... rn)! 

r1! 

r 2!... 

rn! 



viene anche indicato con il simbolo 

⎛ 

⎜ 

⎝r 

e viene detto coefficiente multinomiale . 


1 

r 

2 

m 

. 

. 

. 

⎞ 

⎟ 

rn 

⎠ 

Osserviamo che, per n = 2 , si trovano i coefficienti binomiali : 

Quindi 

⎛ 

⎜ 

⎝r 

1 

m 

⎞ 

⎟ = 

r ⎟ 

2 ⎠ 

⎟ 

⎛m 

⎞ 

⎜ = 

⎝ r ⎟ 

1 ⎠ 

⎟ 

⎛m 

⎞ 

⎜ 

⎝r2 

⎠ 

⎜J ⎜ = ∑ ⎟ ⎛ m ⎞ 

⎜ 

. 

⎝r1 

r2 

. . . rn 

⎠ 

I coefficienti multinomiali sono legati ai numeri di Stirling di secondo tipo, indicati 

generalmente con il simbolo S(n,k) e definiti ricorsivamente nel modo seguente : 

S(n,1) =1 , S(n,n) = 1 

S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k) (2≤ k ≤ n-1) . 

Si prova infatti che , con le notazioni precedenti, 

⎜J ⎜ = ∑ ⎟ ⎛ m ⎞ 

⎜ 

= n!S(m,n) . 

⎝r1 

r2 

. . . rn 

⎠ 

I numeri di Stirling si possono rappresentare mediante una tabella infinita detta 

triangolo di Stirling avente come riga n-esima 

S(n,1) S(n,2) … S(n-1,n) S(n,n) . 

Tutti i numeri che appartengono alla prima o all'n-esima colonna valgono 1, mentre 

l'elemento dell'n-esima riga e della k-esima colonna , 2≤ k ≤ n-1, è dato dalla formula 

S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k). 

Indichiamo le prime 7 righe del triangolo di Stirling 

13

14 

1 

1 1 

1 3 1 

1 7 6 1 

1 15 25 10 1 

1 31 90 65 15 1 

1 63 301 350 140 21 1 . 


Osservazione 2.2.5 A partire dai numeri di Stirling si definiscono altri numeri 

famosi : i numeri di Bell. 

Definizione 2.2.1 Si definisce n-esimo numero di Bell il numero 

n 

B(n) = ∑ 

k= 

1 

S ( n, 

k) 

L'n-esimo numero di Bell è quindi la somma di tutti gli elementi della riga n-esima 

del triangolo di Stirling. 

Ecco i primi 7 numeri di Bell (basta sommare i numeri delle 7 righe del triangolo 

riportato sopra) 

B(1) = 1 

B(2) = 2 

B(3) = 5 

B(4) = 15 

B(5) = 52 

B(6) = 203 

B(7) = 877 . 

Osservazione 2.2.6 Il numero di Stirling S(n,k) è , per definizione, il numero delle 

partizioni di un insieme di ordine n in k blocchi . Partendo dalla definizione , non è 

difficile provarne la formula ricorsiva e il legame con il numero di suriezioni da un 

insieme di ordine n in un insieme di ordine k (cfr [3]) . Quindi l'n-esimo numero di 

Bell B(n) dà il numero di tutte le possibili partizioni di un insieme di ordine n . 

Daremo la formula ricorsiva di questi numeri nel paragrafo 4.4 del quarto capitolo . 

Proposizione 2.2.6 Sia A un insieme di ordine k e B un insieme di ordine n . Vi 

sono 

Dn,k = n(n-1)…(n-k+1) = 

n! 

( n − 

k)! 



funzioni iniettive di A in B . 

1° dimostrazione . Per induzione su k . 

Base dell’induzione . Sia k = 1. Se l’insieme A ha un solo elemento , si hanno 

evidentemente n funzioni iniettive di A in B e Dn,1 = n . 

Ipotesi induttiva . Supponiamo di sapere che se A ha k elementi vi sono Dn,k funzioni 

iniettive di A in B . 

Sia ora A di ordine k+1 . Abbiamo aggiunto ad A un elemento : per ognuna delle 

funzioni iniettive già considerate ne otteniamo n-k di A in B perché k elementi di B 

sono già immagini di elementi di A (per l’iniettività elementi distinti devono avere 

immagini distinte) , quindi abbiamo la relazione 

Dn,k+1 = Dn,k . (n-k) = n . (n-1) . … . (n-k+1)(n-k) = 

2° dimostrazione. Con il metodo delle scelte. 


( n 

n! 

− k −1)! 

Sia A = {a1, … , ak }. Contiamo in quanti modi si può costruire una funzione iniettiva 

f : A → B . 

Per f(a1) si hanno n scelte (f(a1) può essere uno qualunque degli elementi di B), per 

f(a2) si hanno n-1 scelte (f(a2) deve essere diversa da f(a1) per l’iniettività) , … , per 

f(ak) si hanno n-k+1 scelte . Si hanno quindi n(n-1) … (n-k+1) = n!/(n-k)! modi di 

costruire una funzione iniettiva di A in B e , quindi ci sono Dn,k funzioni iniettive di 

A in B . 

Osservazione 2.2.7 Se A = B ( e quindi n = k) ogni funzione iniettiva di A in A è 

una biiezione e Dn,n = n!/0! = n! = Pn diventa il numero delle permutazioni di n 

oggetti distinti . 

Osservazione 2.2.8 Il numero Dn,k può essere visto come il numero di modi in cui si 

possono allineare (ordinare,disporre) k oggetti presi in un insieme di n : possiamo 

pensare al dominio A come a un insieme di k caselle e far corrispondere a ciascuna 

di esse l’oggetto che la occupa , oggetto preso dall’insieme B . Così , per esempio, se 

B è l’insieme formato da tre palline di colore verde (V), rosso (R), nero (N) le 

disposizioni di queste tre palline a due a due sono D3,2 = 3!/1!=6 , e precisamente, 

sono gli allineamenti 

VR,RV,VN,NV,RN,NR 

che corrispondono alle sei funzioni iniettive di A = {a1, a2 } in B = {V, R, N } 

seguenti : 

15

16 

f(a1) = V, f(a2) = R 

f(a1) = R, f(a2) = V 

f(a1) = V, f(a2) = N 

f(a1) = N, f(a2) = V 

f(a1) = R, f(a2) = N 

f(a1) = N, f(a2) = R . 


Definizione 2.2.2 Si dice disposizione ( di n oggetti a k a k ) una funzione iniettiva 

di un insieme di ordine k in un insieme di ordine n . 

Abbiamo provato che il numero totale delle disposizioni di n oggetti a k a k è 

Dn,k = 

( n 

n! 

− k)! 

Terminiamo ricordando un altro argomento importante del calcolo combinatorio , 

quello relativo alle combinazioni di n oggetti a k a k , e il suo legame con le 

disposizioni . 

Definizione 2.2.3 Sia A un insieme di ordine n . Si dice combinazione di n oggetti a 

k a k ( o di classe k ) ogni sottoinsieme di ordine k di A . 

Il numero delle combinazioni di n oggetti a k a k si indica con la notazione Cn,k . Dato 

un insieme di ordine n , esso possiede Cn,k sottoinsiemi con k elementi . 

Osservazione 2.2.9 Il numero Cn,k si ottiene dal numero Dn,k delle disposizioni 

semplici di n oggetti a k a k e dal numero Pk delle permutazioni di k elementi 

mediante le seguenti considerazioni : il numero delle disposizioni semplici di n 

oggetti a k a k ci dà il numero di tutte le k-ple (ordinate) di tali oggetti , mentre Pk ci 

dà il numero degli ordinamenti degli oggetti di ciascuna di esse . Un sottoinsieme di 

ordine k si ottiene quindi da k ! k-ple di oggetti , per cui vale la relazione : 

C n , k = 

D n, 

k 

= 

P 

k 

( n 

n! 

− k)! 

k! 

⎛n 

⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎝k 

⎠ 

Esempio 2.2.6 Se B è l’insieme formato da tre palline di colore verde (V), rosso (R), 

nero (N) le disposizioni di queste tre palline a due a due sono D3,2 = 3!/1!= 6 ,e, 

precisamente, sono gli allineamenti 

VR,RV,VN,NV,RN,NR 

Le combinazioni di queste tre palline a due a due sono tre : corrispondono ai tre 

sottoinsiemi seguenti ( che scriviamo senza parentesi e virgola ) 




VR,VN,RN . 

Usando la definizione di combinazione e l’uguaglianza 

⎛n 

⎞ 

Cn,k = ⎜ ⎟ 

⎝k 

⎠ 

si dimostrano senza calcoli le proprietà dei coefficienti binomiali . 

⎛n 

⎞ ⎛n 

⎞ 

Così la proprietà ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 1 può essere motivata osservando che ci sono 

⎝ 0⎠ 

⎝n 

⎠ 

solo un sottoinsieme con 0 elementi (l’insieme vuoto ) e uno con n (tutto l’insieme) . 

⎛n 

⎞ ⎛ n ⎞ 

Per dimostrare che ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ basta osservare che quando scegliamo k elementi 

⎝k 

⎠ ⎝n 

− k⎠ 

tra n, isoliamo automaticamente i restanti n-k . La formula di Stifel 

⎛n 

⎞ ⎛n −1⎞ 

⎛n 

−1⎞ 

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 

⎝k 

⎠ ⎝ k ⎠ ⎝k 

−1⎠ 

1 ≤ k ≤ n-1 

⎛n −1⎞ 

si ottiene osservando che , fissato un elemento tra gli n , vi sono ⎜ ⎟ sottoinsiemi 

⎝ k ⎠ 

⎛n 

−1⎞ 

di ordine k che non lo contengono e ⎜ ⎟ che lo contengono ( quest’ultimo 

⎝k 

−1⎠ 

numero si calcola escludendo l’elemento fissato e contando il numero dei 

sottoinsiemi di k-1 elementi che si possono formare con gli n-1 elementi rimasti ) . 

Su tale formula è basato lo schema che permette di calcolare ricorsivamente i 

coefficienti binomiali , il triangolo di Tartaglia : 

1 

1 1 

1 2 1 

1 3 3 1 

1 4 6 4 1 

… ... … … … ... 

⎛n 

⎞ ⎛n 

⎞ ⎛n 

⎞ ⎛n 

⎞ 

1= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ … ⎜ ⎟ … ⎜ ⎟ =1 

⎝ 0⎠ 

⎝ 1⎠ 

⎝k 

⎠ ⎝n 

⎠ 

… ... … … … ... … … … 

17

18 


Sempre per il significato combinatorico dei coefficienti binomiali , nel triangolo di 

Tartaglia la somma dei numeri della riga n-sima ci dà l’ordine dell’insieme delle 

parti di un insieme di ordine n , 2 n (proposizione 1.2) . 

Anche la formula del binomio di Newton 

(a+b) n = ∑ n 

o 

⎛n 

⎞ n-k k 

⎜ ⎟ a b 

⎝k 

⎠ 

può essere ottenuta con considerazioni di tipo combinatorico : svolgendo i conti in 

(a+b) n = (a+b)(a+b)…(a+b) 

si ottiene una somma di n+1 addendi , ognuno dei quali è un prodotto di n copie di a 

o di b in cui se a compare n- k volte , b compare k volte . Il coefficiente di a n-k b k è 

dato dal numero dei fattori in cui ci sono n-k a , e quindi k b (ricordiamo che vale la 

⎛n 

⎞ 

proprietà commutativa del prodotto) : questo numero è⎜ ⎟ , in quanto è il numero di 

⎝k 

⎠ 

modi in cui possiamo scegliere k binomi (a+b) tra gli n totali . 



CAPITOLO 3 

Successioni e relazioni ricorsive 

3.1 Definizioni ed esempi 


3.1 Definizioni ed esempi 

3.2 Successioni aritmetiche e geometriche 

3.3 La successione di Fibonacci 

3.4 Relazioni ricorsive lineari 

Definizione 3.1.1 Si dice successione a valori in un insieme C una funzione a avente 

come dominio l’insieme N (o N - {0}) 

Si scrive : 

o, come è più abituale, 

a(0), a(1), …, a(n), … 

a0, a1, …, an, … 

Negli esempi più usati il codominio C è l'insieme R dei numeri reali . 

Esempi 3.1.1 

1) La successione 

1,2,2 2 ,2 3 ,…,2 n ,… 

è il modo usuale per rappresentare la funzione f : N → R , f(n) = 2 n . f è iniettiva e 

non suriettiva . 

2) La funzione f : N → R , f(n) = 2n individua la successione dei numeri pari 

0,2,4,6,… 

Una successione a0 ,a1,…,an,… può essere individuata anche mediante una relazione 

che lega an ad alcuni suoi predecessori a0 ,a1,…,an-1( detta relazione ricorsiva ) e da 

una o più condizioni iniziali . 

19

20 

Esempi 3.1.2 

Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive 

1) La successione 1) degli esempi 3.1.1 è data ricorsivamente dalla relazione an = 

2an-1 e dalla condizione iniziale a0 = 1 . La successione 2) è invece individuata 

dalla relazione ricorsiva an = an-1+2 e dalla condizione iniziale a0 = 0 . 

2) La relazione ricorsiva Fn = Fn-1 + Fn-2 , n>2, unitamente alle condizioni iniziali F1 = 

F2 = 1 individua la nota successione 1,1,2,3,5,8,13,… di Fibonacci , su cui torneremo. 

3) La successione di numeri 1,3,7,15,31,63,… ci dà le immmagini della funzione f(n) 

= 2 n - 1, di dominio N - {0} . La stessa successione è individuata ricorsivamente 

dalla relazione mn = 2mn-1 + 1 e dalla condizione iniziale m1 = 1 ed è la risposta del 

problema della torre di Hanoi : 

il gioco della torre di Hanoi fu inventato dal matematico francese E.Lucas nel 1883 e 

da allora è venduto come giocattolo . Il gioco consiste in un supporto piano dotato di 

tre pioli A,B,C e di n dischi ( 8 nella versione " classica " in figura) di diverso 

diametro infilati in uno di questi pioli e aventi diametro decrescente dal basso verso 

l'alto . Si chiede di trasferire gli n dischi , nello stesso ordine , ad uno qualunque dei 

due pioli liberi secondo le seguenti regole : 

a) i dischi devono essere mossi uno per volta , usando uno dei due pioli liberi come 

"intermediario" 

b) un disco non può mai trovarsi su uno di diametro minore . 

Ci chiediamo qual è il numero minimo mn di mosse necessarie per terminare il gioco 

E' ovvio che nel caso di un unico disco occorra una sola mossa , cioè m1= 1 . 

Per capire il meccanismo ricorsivo , osserviamo che se abbiamo due dischi sul piolo 

A possiamo risolvere il gioco spostando il disco piccolo sul piolo B , il disco grande 

sul piolo C e infine il disco piccolo sul piolo C , cioè m2 = 3 = 2m1 + 1 . 



Se abbiamo n dischi , con mn-1 mosse muoviamo n-1 dischi su un piolo libero , con 

una mossa spostiamo il disco base sull'altro piolo, e con mn-1 mosse riposizioniamo 

su di esso la torre degli n-1 dischi , ottenendo così la relazione ricorsiva 


mn = 2mn-1 + 1 . 

Per ottenere una formula esplicita per mn , procediamo per iterazione : 

mn = 2mn-1 + 1 = 

= 2 ( 2mn-2 + 1) + 1 = 

= 2 2 mn-2 + 2 + 1 = 

= 2 2 ( 2mn-3 + 1) + 2 + 1 = 

= 2 3 mn-3 + 2 2 + 2 + 1 = 

……………………………. 

= 2 n-1 mn-(n-1) + 2 n-2 + … + 2 2 + 2 + 1 = 

= 2 n-1 + 2 n-2 + … + 2 2 + 2 + 1 = 

= 2 n - 1 . 

L'ultima uguaglianza segue dalla formula della somma dei primi n termini di una 

successione geometrica (vedi l' esempio 1.1 del Capitolo 1 ) . 

Al gioco della torre di Hanoi è associata la leggenda seguente : nella città indiana di 

Benares i sacerdoti del tempio di Brahma devono spostare con le regole dette i 64 

dischi d'oro della torre di Brahma . Il mondo terminerà alla fine del lavoro dei 

sacerdoti . Dai conti fatti occorrono m64 = 2 64 - 1 = 18.446.744.073.709.551.615 

mosse e , calcolando una mossa per microsecondo ( 10 -6 secondo) , oltre 5000 secoli 

per spostare la torre! 

4) Ricordiamo che, dato un insieme I di ordine n, abbiamo indicato con B(n) il 

numero di tutte le sue possibili partizioni (cap 2. Osservazione 2.2.6 ). B(n) è detto 

l'n-esimo numero di Bell dell'insieme I . Partendo da questa definizione dei numeri di 

Bell, proviamo la relazione ricorsiva che li lega . 

Proposizione 3.1.1 Siano B(n-i) e B(n) l'(n-i)-esimo e l'n-esimo numero di Bell 

dell'insieme I di ordine n ≥ 1 . Si ha 

n ⎛n 

−1⎞ 

B(n) = ∑⎜ 

⎟ B(n-i) . 

1 ⎝ i −1 

⎠ 

21

22 


Dimostrazione . Sia I di ordine n . Data una sua partizione P , l'elemento a di I 

appartiene ad uno e uno solo dei sottoinsiemi A di P . Ciò significa che ogni 

partizione di I è determinata univocamente dal sottoinsieme A che contiene a e da 

una partizione di I - A . Notiamo che l'ordine i dell'insieme A è compreso tra 1 e n (i 

⎛n 

−1⎞ 

≠ 0 perché A ≠ ∅) . A può essere scelto in ⎜ ⎟ modi (tanti sono infatti i 

⎝ i −1 

⎠ 

sottoinsiemi di I che contengono a ) , mentre le partizioni di I - A , che ha ordine n - i 

sono B(n-i) . Dunque , per ogni i , 1≤ i ≤ n , vi sono esattamente 

⎛n 

−1⎞ 

⎜ ⎟ B(n-i) 

⎝ i −1 

⎠ 

partizioni di I nelle quali a appartiene ad un elemento A di ordine i . Ne segue che le 

partizioni distinte di I sono 

n ⎛n 

−1⎞ 

B(n) = ∑⎜ 

⎟ B(n-i) . 

1 ⎝ i −1 

⎠ 

⎛2 

⎞ ⎛2 

⎞ ⎛2 

⎞ 

Calcoliamo, per esempio, B(3) . B(3) = ⎜ ⎟ B(0) + ⎜ ⎟ B(1) + ⎜ ⎟ B(2) = 1 + 2 + 2 

⎝0 

⎠ ⎝1 

⎠ ⎝2 

⎠ 

= 5 (osserviamo che B(0) vale 1, in quanto l'insieme vuoto ha una partizione, quella 

avente come insieme se stesso). 

Osserviamo che negli esempi 1 e 3 è possibile calcolare il termine n-simo usando 

soltanto il termine precedente , mentre nell'esempio 2 il termine n-simo si calcola a 

partire dai due termini che lo precedono : le relazioni ricorsive del primo tipo sono 

dette del primo ordine, quella dell'esempio 2 è detta del secondo ordine . Per 

calcolare invece B(n) (esempio 4) occorre conoscere gli n numeri di Bell 

B(0),B(1),…,B(n-1) .In tal caso si dice che la relazione non ha ordine finito . 

Osservazione 3.1.1 Si prova che una relazione ricorsiva di ordine r è univocamente 

determinata da r condizioni iniziali per r valori consecutivi , oltre che dalla formula 

di ricorrenza .La sola relazione ricorsiva non è sufficiente a determinare l'unicità 

della soluzione . 

Infatti , per esempio, la relazione di grado due 

ha soluzione 

an = 5an-1 + 6an-2 

an = C12 n + C23 n , ∀ C1, C2 . 



Così sono insufficienti le sole condizioni iniziali : per esempio le condizioni 

sono verificate dalle due successioni 


a0 = a1 = 0 

an = n(n-1) e an = n 2 (n-1) . 

Ancora, sono insufficienti per l'unicità meno condizioni iniziali del grado : per 

esempio le ipotesi 

sono soddisfatte da 

e da 

a0 = 0 

an = 5an-1 + 6an-2 

an = 2 n 

an = 3 n . 

Infine , non sono sufficienti r condizioni iniziali non consecutive : la successione 

ha le soluzioni 

an = 4an-2 

a0 = 0 , a2 = 8 

an = 2 n+1 e an = 2 n + (-2) n . 

3. 2 Successioni aritmetiche e geometriche 

Definizione 3.2.1 . Si dice successione (o progressione) aritmetica di termine iniziale 

a0 e ragione d ( d ∈ R ) la funzione a : N → R così definita : 

Esplicitandone le immagini , si ha : 

a(n) = an = a0 + nd . 

a0 , a0 + d , a0 + 2d ,…, a0 + nd , … 

Esempio 3.2.1 La successione dei numeri pari 0,2,4,6,… è la successione aritmetica 

di termine iniziale 0 e ragione 2 , definita dalla legge a(n) = 2n . Ne abbiamo già 

data la definizione in forma ricorsiva an = an-1 + 2 (n≥1) , a0 = 0 . 

23

24 


La successione aritmetica della definizione 3.2.1 si esprime facilmente in forma 

ricorsiva ponendo an = an-1 + d (n≥1) e assegnando a0 come termine iniziale . 

Può essere utile ricordare la formula che dà la somma dei primi n termini di una tale 

successione (dimostrata negli esempi 1.1 del capitolo 1) : 

∑ −1 n 

0 

a = na0 + 

i 

n( n −1) d 

2 

Definizione 3.2.2 Si dice successione (o progressione) geometrica di termine 

iniziale a0 e ragione q ( q ∈ R ) la funzione a : N → R così definita : 

Esplicitandone le immagini , si ha : 

a(n) = an = a0q n . 

a0 , a0q , a0q 2 ,…, a0q n , … 

Esempio 3.2.2 La successione delle potenze di 2 : 1,2,4,8,16,… è la successione 

geometrica di termine iniziale 1 e ragione 2 , definita dalla legge a(n) = 2 n . Ne 

abbiamo già data la definizione in forma ricorsiva an = 2an-1 (n≥1) , a0 = 1 . 

La successione geometrica della definizione 3.2.2 si esprime facilmente in forma 

ricorsiva ponendo an = an-1q , (n≥1) e assegnando a0 come termine iniziale . 

La formula che dà la somma dei primi n termini di una tale successione (vedi gli 

esempi 1.1 del capitolo 1) è : 

∑ −1 n 

0 

a i = a0 . 

n 

1− 

q 

1− 

q 

Le successioni aritmetiche e geometriche intervengono nello studio di numerosi 

problemi di tipo economico,biologico,medico . 

Esempi 3.2.3 

1) Si vuole trovare una formula che dia il valore dello stipendio di un lavoratore dopo 

n anni, sapendone il valore iniziale s0 e supponendone un aumento annuale pari al 2% 

di s0. 

. 



Procedendo ricorsivamente, abbiamo 

s(0) = s0 

2 

s(1) = s0 + s0 

100 

… 

2 

s(n) = s0 + n s0 . 

100 

Il problema è descritto da una successione aritmetica di termine iniziale s0 e ragione 

2 s0 

100 

2) Si vuole schematizzare in modo ricorsivo il processo di decadimento radioattivo . 

Alcune sostanze decadono nel tempo , trasformandosi in altre sostanze ; si dice 

tempo di dimezzamento il periodo T in cui decade la metà degli atomi . Assumendo 

come unità di misura dei tempi T e indicando con Q il numero degli atomi presenti 

inizialmente si ha : 

Q(0) = Q 

1 

Q(1) = Q 

2 

1 

Q(2) = Q 2 

2 

… 

1 

Q(n) = Q n 

2 

Il processo è descritto da una successione geometrica di termine iniziale Q e ragione 

1 

. 

2 

3.3 La successione di Fibonacci 

La relazione ricorsiva Fn = Fn-1 + Fn-2 , n ≥ 3, unitamente alle condizioni iniziali F1 = 

F2 = 1 individua la nota successione di Fibonacci : 


25

26 

1,1,2,3,5,8,13,… 


Si tratta del primo esempio conosciuto di relazione ricorsiva : i primi dodici termini 

di essa si trovano nel Liber Abbaci (1202) di Leonardo Pisano detto Fibonacci (1170 

- 1250) come risposta al seguente problema : quot paria coniculorum in uno anno ex 

uno pario germinentur . 

Si suppone che una coppia di conigli adulti generi ogni mese una coppia di piccoli 

e che questi si riproducano , generando anch'essi una coppia di conigli, a partire dal 

secondo mese di vita . Partendo da una coppia di coniglietti, quante coppie ci saranno 

nel mese n ? Indichiamo questo numero con F(n) o Fn . Dunque, per le ipotesi fatte 

F(1) = 1 ( inizialmente abbiamo una coppia non adulta) 

F(2) = 1 (dopo un mese abbiamo ancora una sola coppia) 

F(3) = 1 + 1 = F(1) + F(2) (nel 3° mese abbiamo la coppia di partenza, che è 

diventata adulta, e la coppia di coniglietti da essa generata) 

F(4) = 2 + 1 = F(3) + F(2) (si hanno 2 coppie, quella iniziale e la loro progenie 

mensile più la coppia del mese precedente diventata adulta) 

. 

. 

. 

F(n) = F(n-1) + F(n-2) ( nel mese n-simo, n >2 , vi sono tutte le coppie del mese 

precedente, cioè F(n-1), più le coppie dei piccoli, che sono esattamente tante quante 

erano le coppie due mesi prima ,cioè F(n-2)) . 

I numeri di Fibonacci sono i valori della successione descritta : i primi dodici sono 

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… . 

Si pone generalmente F0 = 0, affinchè la relazione ricorsiva Fn = Fn-1 + Fn-2 sia valida 

anche per n = 2 . 

Nel disegno che segue è illustrata la situazione fino al quinto mese : 



I numeri di Fibonacci si ritrovano in molte situazioni e compaiono spesso in natura. 

Per esempio in molte piante il numero di rami in cui il fusto si ramifica segue uno 

schema del tipo seguente 

Così i numeri delle spirali dei semi del girasole, dei petali della margherita, delle 

foglie del cavolfiore, delle scaglie dell'ananas sono spesso numeri di Fibonacci . 


27

28 


La letteratura matematica sulle proprietà dei numeri di Fibonacci è molto vasta . Ci 

limitiamo ad indicarne alcune proprietà e a darne la formula generale, che 

ricaveremo nel prossimo paragrafo . 

Proposizione 3.3.1 Per ogni n ≥ 1 , vale l'identità (di Cassini) 

Fn+1Fn-1 - Fn 2 = (-1) n 

Dimostrazione . Per induzione su n . Per n = 1 , si ha F2F0 - F1 2 = -1 . 

Supponiamo che Fn+1Fn-1 - Fn 2 = (-1) n e proviamo che Fn+2Fn - F 2 

n+ 1 = (-1)n+1 (*). 

Da Fn+1 = Fn + Fn-1 , ricaviamo Fn-1 = Fn+1 - Fn e , sostituendo in Fn+1Fn-1 - Fn 2 = (-1) n , 

troviamo Fn+1( Fn+1 - Fn ) - Fn 2 = (-1) n , cioè F 2 

n+ 1 - Fn+1Fn - Fn 2 = (-1) n = 

= F 2 

n+ - Fn (Fn+1 + Fn) = F 2 

n+ - Fn Fn+2 , che è la (*) cambiata di segno . 

1 

1 

Sempre usando l'induzione si possono dimostrare le seguenti formule : 

i) F1 + F2 + F3 + … + Fn = Fn+2 - 1 

ii) F1 + F3 + F5 + … + F2n-1 = F2n 

iii) F2 + F4 + F6 + … + F2n = F2n+1 - 1 . 

⎛n − k −1⎞ 

⎜ ⎟ (cioè, disponendo i coefficienti binomiali del triangolo di 

⎝ k ⎠ 

Tartaglia nel modo seguente 

iv) Fn = ∑ 

k≥0 

⎛n 

⎞ ⎛n 

⎞ ⎛n 

⎞ ⎛n 

⎞ ⎛n 

⎞ ⎛n 

⎞ 

n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ … 

⎝ 0⎠ 

⎝ 1⎠ 

⎝ 2⎠ 

⎝ 3⎠ 

⎝ 4⎠ 

⎝ 5⎠ 

0 1 

1 1 1 

2 1 2 1 

3 1 3 3 1 

4 1 4 6 4 1 

5 1 5 10 10 5 1 

6 . . . . . . . . . . . . . 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

si ottengono i numeri di Fibonacci sommando "in diagonale" ). 

Proviamo una interessante proprietà combinatorica dei numeri di Fibonacci , che da 

taluni autori viene data come definizione (cfr [ 4 ] ) . 



Proposizione 3.3.2 Sia In = {1,2,3,…,n} ⊂ N . Il numero dei sottoinsiemi di In che 

non contengono due suoi numeri consecutivi è dato da Fn+2 . 

Dimostrazione . Identifichiamo un sottoinsieme A di In con una stringa di lunghezza 

n formata con le due cifre 1 e 0 . La cifra 1 indica l'appartenenza di un elemento di In 

ad A , la cifra 0 la non appartenenza . Per esempio, per n = 4, la stringa 1010 indica il 

sottoinsieme {1,3} dell' insieme I4 = {1,2,3,4} . I sottoinsiemi di In che non 

contengono due suoi numeri consecutivi sono dati dalle stringhe che non hanno mai 

due cifre 1 consecutive . Consideriamo tra questi quelli di ordine k : la stringa che li 

rappresenta contiene k volte la cifra 1 . Per contarli tutti , partiamo da n-k cifre tutte 

uguali a 0 


0 0 0 ... 0 

1442443 

n−k 

e contiamo in quanti modi possiamo inserire k cifre 1 in modo che due di esse non 

siano mai adiacenti . Essendo i posti vuoti disponibili n - k + 1 , le k cifre 1 si 

possono inserire in 

modi . Quindi i sottoinsiemi cercati sono 

Per la proprietà iv) , Fn = ∑ 

k≥0 

numero di Fibonacci . 

⎛ n − k + 1⎞ 

⎜ 

⎝ k ⎠ 

Cn-k+1,k = ⎟ 

∑ ≥0 

k 

n 

⎜ 

⎝ 

⎛ − k + 

k 

1⎞ 

⎟ 

⎠ 

. 

⎛n − k −1⎞ 

⎜ ⎟ , il numero cercato è proprio l'(n+2)-simo 

⎝ k ⎠ 

La formula generale , che ci permette di determinare il termine n-simo di una 

successione in funzione di n , è , nel caso della successione di Fibonacci (vedi 

paragrafo 3.4) , 

Fn = 

1 

⎡⎛ 

1+ 

5 ⎞ 

⎢⎜ 

⎟ 

5 ⎢⎜ 

⎟ 

⎣⎝ 

2 ⎠ 

n 

n 

⎛1 − 5 ⎞ ⎤ 

− ⎜ ⎟ ⎥ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎥ 

⎦ 

1+ 5 

Ricordiamo che il numero è dettorapporto aureo(o sezione aurea) e indicato 

2 

con la lettera Φ . 

29

30 


Il numero Φ è un numero molto famoso e molto usato in architettura (prende il nome 

dalla lettera iniziale dello scultore greco Fidia), pittura, anatomia e botanica . Fu 

introdotto dai pitagorici come rapporto tra la diagonale e il lato di un pentagono 

regolare ( o come rapporto tra il lato del pentagono stellato o pentagramma ,simbolo 

dei pitagorici, e il lato del pentagono regolare con gli stessi vertici ) : 

Il rapporto aureo è definito come il rapporto tra due lunghezze a e b tale che 

a a + b 

= . 

b a 

a 1+ 5 

Risolvendo la proporzione, si hanno le due radici = Φ = 

b 

2 

1− 5 

. 

2 

a 1 

e = - = 

b Φ 

Nella figura che segue riportiamo la costruzione geometrica del rapporto aureo : 

Si costruisca un quadrato il cui lato AB ha lunghezza a e punto medio M . La 

5 a 

circonferenza disegnata,di centro M e raggio , interseca la retta AB nel punto C. 

2 

a 

Il segmento BC ha lunghezza b e = Φ = 

b 

a + b 

. 

Anche le diagonali del pentagono di lato a + b si intersecano in segmenti che danno 

luogo alla sezione aurea e generano un pentagono regolare di lato b e diagonali di 

lunghezza a (ancora il rapporto aureo) e così all'infinito : 

a 



Dalla forma generale dei numeri di Fibonacci , osservando che quando n è grande Fn 

n 

Φ 

si avvicina molto a 

5 

perché 

1 1− 5 

- = 

Φ 2 

1 

< 1 e quindi ( - = 

Φ 

1− 5 ) n 

diventa esponenzialmente piccolo , si ha che il rapporto 

2 

limite (per n → ∞) proprio il numero Φ . 

3.4 Relazioni ricorsive lineari 


F 

F 

n 

n−1 

ha come 

Abbiamo visto nel paragrafo 3.1 che una successione di termine generale an può 

essere individuata anche mediante una relazione ricorsiva che lega an ad alcuni suoi 

predecessori a0 ,a1,…,an-1 e da una o più condizioni iniziali . 

Definizione 3.4.1 Una relazione ricorsiva si dice lineare se esistono funzioni bi(n) ( i = 

0, 1,…, n-1 ) e c(n) tali che 

an = bn-1(n)an-1 + bn-2(n)an-2 + … + b0(n)a0 + c(n) . 

Osservazione 3.4.1 L'aggettivo lineare (di primo grado) si riferisce agli elementi ai 

della successione e non ai loro coefficienti . 

Definizione 3.4.2 Una relazione ricorsiva lineare an = bn-1(n)an-1 + bn-2(n)an-2 + … + 

b0(n)a0 + c(n) si dice omogenea se c(n) = 0 . 

Definizione 3.4.3 Una relazione ricorsiva lineare an = bn-1(n)an-1 + bn-2(n)an-2 + … + 

b0(n)a0 + c(n) si dice a coefficienti costanti se tutti i coefficienti bi(n) ( i = 0, 1,…,n-1) 

sono costanti . 

Esempio 3.4.1 

1) La relazione ricorsiva an = 2an-1 è lineare , del primo ordine, omogenea e a 

coefficienti costanti . 

31

32 


2) La relazione ricorsiva an = an-1 + 2 è lineare , del primo ordine, non omogenea e a 


3) La relazione ricorsiva Fn = Fn-1 + Fn-2 è lineare , del secondo ordine, omogenea e a 


4) La relazione ricorsiva an = a n− 

1 + 2 non è lineare , è del primo ordine , non è 

omogenea ed è a coefficienti costanti . 

5) Un importante esempio di relazione ricorsiva non lineare è quella che definisce i 

numeri di Catalan . Questi numeri, indicati con la notazione C(i) (o Ci), furono 

introdotti dallo stesso Catalan nel 1838, per risolvere il seguente problema (già 

affrontato da Eulero): in quanti modi diversi si può suddividere in triangoli un 

poligono convesso di n +1 lati tracciandone diagonali che non si intersecano? In 

figura abbiamo le 5 triangolazioni diverse di un pentagono convesso.Il quesito 

posto è equivalente al "problema delle parentesi di Catalan" : in quanti modi è 

possibile eseguire un'operazione non associativa su n fattori ai di un insieme A ? 

Osserviamo che in presenza di un'operazione non associativa non possiamo 

scrivere il prodotto a1a2…an , ma dobbiamo inserire le parentesi . In quanti modi 

possiamo farlo ? Per esempio , se moltiplichiamo tre elementi abbiamo le due 

possibilità (e quindi al massimo due risultati ) seguenti : (a1a2)a3 e a1(a2a3) , se ne 

moltiplichiamo quattro i possibili prodotti sono i seguenti cinque : 

(a1a2)(a3a4) , (a1 (a2a3 )a4) , ( (a1a2)a3 )a4 , a1 ((a2a3 )a4) , a1 (a2(a3a4) ) . 

Sempre in figura è rappresentata la corrispondenza tra questi due problemi per n = 

4 . 

(a1a2)(a3a4) ((a1a2)a3)a4 (a1(a2a3))a4 a1((a2a3)a4) a1(a2(a3a4)) 

a3 a2 

a4 a1 

Dunque C3 = 2 , C4 = 5 e ovviamente C1 = C2 = 1 . 

Per calcolare l'n-simo numero di Catalan, cioè il numero di modi in cui è possibile 

scrivere il prodotto non associativo a1a2…an , osserviamo che esso si scrive in 

modo unico nella forma pp', dove p è uno dei possibili prodotti a1a2…ai e q è uno 

dei possibili prodotti ai+1ai+2…an ( pp' = (a1a2…ai )( ai+1ai+2…an) , 1 ≤ i ≤ n-1 ). Per 

ogni i , esistono Ci differenti p e Cn-i differenti p' , quindi Ci Cn-i differenti prodotti 

pp' . Abbiamo dunque trovato la relazione ricorsiva non lineare seguente : 



Cn = ∑ −1 n 


1 

Ci Cn-i , n ≥ 2 . 

Risolvere una relazione (o equazione) ricorsiva significa trovare una formula che 

esprima il termine generale an in funzione di n . 

Non esiste un unico metodo per risolvere le equazioni ricorsive (vedi gli esempi 3.4.4). 

In molti casi si tratta di un problema ancora aperto . Ci limiteremo ad enunciare i 

Teoremi generali relativi alle relazioni ricorsive lineari di grado finito viste negli 

esempi . 

Teorema 3.4.1 La relazione ricorsiva lineare, del primo ordine, omogenea e a 

coefficienti costanti 

an = bn-1an-1 , n>m 

am = k 

ha come soluzione 

an = kb m n− 

, n≥m 

n− 

1 

Esempio 3.4.2 La relazione ricorsiva an = an-1q , a0 = k ha come soluzione a(n) = an = 

kq n , n≥0 ed è la successione geometrica di ragione q e termine iniziale k . 

Teorema 3.4.2 La relazione ricorsiva lineare, del primo ordine, non omogenea e a 

coefficienti costanti 

ha come soluzione 

an = 

b − 

an = bn-1an-1 + c(n) , n>m 

am = k 

n m 

n−1 

n ⎛ 

−i 

⎞ 

⎜k 

+ ∑c( 

i + m) 

b n−1 

⎟ , n≥m 

⎝ 1 

⎠ 

Esempio 3.4.3 La relazione ricorsiva an = an-1 + d, a0 = k ha bn-1 = 1, c(i) = d per ogni i 

Come già sappiamo ha soluzione a(n) = an = k + d +…+ d = k + nd, n≥0 ed è la 

successione aritmetica di ragione d e termine iniziale k . 

Esempi 3.4.4 

1) Nel problema della torre di Hanoi, abbiamo risolto direttamente la relazione 

ricorsiva an = 2an-1 + 1 ( lineare , del primo ordine , non omogenea e a coefficienti 

costanti) , trovando la formula generale 

an = 2 n - 1 . 

33

34 


Tale formula si ritrova ponendo bn-1 = 2 , m = 1, k = 1 , c(i +1) = 1 per ogni i : infatti 

⎞ 

⎜1 

2 ⎟ = 2 

⎝ 1 ⎠ 

n-1 1 1 1 

( 1 + + ... + n 

2 4 2 

an =2 n-1⎛ 

+ ∑ − 

n 

i 

+ ) = 2 n-1 + 2 n-2 + … + 1 = 2 n - 1 . 

2) Vogliamo risolvere la ricorrenza an = an-1 + n , n ≥ 1 , a0 = 1. 

Esplicitando i valori abbiamo : 

a0 = 1 

a1 = a0 + 1 = 1 + 1 

a2 = a1 + 2 = 1 + 1 + 2 

a3 = a2 + 3 = 1 + 1 + 2 + 3 

. 

. 

. 

an = an-1 + n = 1 + 1 + 2 + 3 + … + n . 

n ( n + 1) 

e , ricordando la formula di Gauss , an = 1 + . 

2 

Allo stesso risultato si arriva ponendo, nella formula risolutiva del Teorema 3.4.2, m = 

0 , bn-1 = 1, k = 1, c(i) = i , i = 1, … , n . 

3) Consideriamo la relazione ricorsiva 

Essa dà luogo alla successione 

an = 2an-1 + 2 n , n≥1 

a0 = 1. 

1, 4, 12, 32, 80,… 

In questo esempio abbiamo bn-1 = 2 , c(i) = 2 i , k = 1 . Sostituendo in 

troviamo come soluzione 

b − 

an = n 

n 1 

n ⎛ −i 

⎞ 

⎜k 

+ ∑c( 

i) 

b n−1 

⎟ , 

⎝ 1 ⎠ 

an = 2 n⎛ 

⎞ 

⎜ + ∑ ⎟ 

⎝ ⎠ 

− 

n 

i i n 

1 2 2 = 2 (1 + n) . 

1 

Questa è la formula generale della successione 1, 4, 12, 32, 80,…, 2 n (1 + n),… 



Consideriamo ora la relazione ricorsiva che genera i numeri di Fibonacci . In base alle 

definizioni precedenti notiamo che si tratta di una relazione ricorsiva lineare, del 

secondo ordine, omogenea e a coefficienti costanti. Per questo tipo di relazioni 

valgono i seguenti teoremi : 

Teorema 3.4.3 Sia an = bn-1an-1+ bn-2an-2 una relazione ricorsiva lineare,del secondo 

ordine, omogenea e a coefficienti costanti . 


an = r n , r ∈R 

ne è una soluzione non identicamente nulla se e solo r è una radice del polinomio 

x 2 - bn-1x - bn-2 

Dimostrazione . Se an = r n è una soluzione non nulla , allora r ≠0, e per ogni n si 

ha r n = bn-1r n-1 + bn-2 r n-2 . Dividendo per r n-2 , si trova r 2 = bn-1r+ bn-2 . 

Viceversa, se r 2 = bn-1r + bn-2 , moltiplicando per r n-2 si ha che r n = bn-1r n-1 + bn-2 r n-2 , 

cioè che r n è una soluzione 

Definizione 3.4.4 Il polinomio x 2 - bn-1x - bn-2 è detto polinomio caratteristico della 

relazione ricorsiva an = bn-1an-1+ bn-2an-2 . 

Per risolvere la relazione an = bn-1an-1+ bn-2an-2 occorre dunque trovare le radici del suo 

polinomio caratteristico . Non abbiamo però menzionato le condizioni iniziali della 

relazione ricorsiva . Può succedere che esse non vengano verificate dalle soluzioni 

indicate nel teorema , come vediamo nell'esempio che segue . 

Esempio 3.4.5 Consideriamo la relazione di ricorrenza 

an = 6an-1 - 8an-2 , n ≥ 3 

a1 = 14 a2 = 52 

Il suo polinomio caratteristico è x 2 - 6x + 8 . Le sue radici sono x = 2 e x = 4 , ma le 

soluzioni an = 2 n e an = 4 n non soddisfano le condizioni iniziali . 

Dobbiamo trovare allora altre soluzioni che soddisfino le condizioni iniziali . Vale il 

Teorema 3.4.4 Sia an = bn-1an-1+ bn-2an-2 una relazione ricorsiva lineare,del secondo 

ordine,omogenea e a coefficienti costanti e ne siano an e a'n due soluzioni . Allora , 

per ogni scelta di numeri C1 e C2 la successione 

ne è una soluzione . 

a"n = C1 an + C2 a'n 

35

36 


Dimostrazione . Basta sostituire l'espressione data nella relazione e verificare che si 

ottiene un'identità . Si ha : 

a"n - bn-1a"n-1- bn-2a"n-2 = (C1 an + C2 a'n) - bn-1(C1 an-1 + C2 a'n-1) - bn-2(C1 an-2 + C2 a'n-2) 

= C1(an - bn-1an-1- bn-2an-2) + C2(a'n - bn-1a'n-1- bn-2a'n-2) = 0 . 

Osservazione 3.4.2 Il teorema precedente si generalizza ad equazioni lineari , 

omogenee, a coefficienti costanti di ordine qualunque . 

Riprendiamo allora l' esempio 3) degli esempi 3.4.4 : an = 2 n e a'n = 4 n sono due 

soluzioni della relazione ricorsiva an = 6an-1 - 8an-2 , n ≥ 3 . Il teorema 3.4.4 ci dice che 

per ogni scelta di C1 e C2 anche 

a"n = C12 n + C2 4 n 

è una soluzione . Abbiamo dunque infinite soluzioni della relazione iniziale e tra 

queste cerchiamo l'unica che soddisfi le condizioni iniziali a"1 = 14 a"2 = 52 . Si 

ottiene il sistema 

C1 + 2C2 = 7 

C1 + 4C2 = 13 

che ha soluzione C1 = 1,C2 = 3 . Dunque l'unica soluzione della relazione di ricorrenza 

an = 6an-1 - 8an-2 , n ≥ 3 

a1 = 14 a2 = 52 

è an = 2 n + 3 . 4 n . 

Esempio 3.4.6 Consideriamo la relazione di ricorrenza 

an = 4an-1 - 4an-2 , n ≥ 3 

a1 = a2 = 1 

Il suo polinomio caratteristico , x 2 - 4x + 4 = (x - 2) 2 , ha la sola radice x = 2 . Il 

teorema 3.4.4 ci dice che a"n = C2 n è una soluzione per ogni scelta di C , ma non 

possiamo scegliere C in modo che sia a1 = 2C = a2 = 4C = 1 . Dobbiamo trovare 

un'altra soluzione , indipendente da 2 n , per poter avere due costanti C1 e C2 . 

Teorema 3.4.5 Sia an = bn-1an-1+ bn-2an-2 una relazione ricorsiva lineare, del secondo 

ordine ,omogenea, a coefficienti costanti e tale che il suo polinomio caratteristico 

abbia una sola radice r , di molteplicità due . Allora 



e 

ne sono due soluzioni . 


an = r n 

a'n = nr n 

Dimostrazione . Il teorema 3.4.3 ci assicura che an = r n è una soluzione . 

Per provare che anche a'n = nr n è una soluzione , si effettua una semplice verifica , 

basata sul fatto che x 2 - bn-1x - bn-2 = 0 ha una radice doppia r se e solo se x 2 - bn-1x - 

bn-2 =(x - r ) 2 , da cui bn-1 = 2r e bn-2 = - r 2 . Abbiamo infatti 

nr n - bn-1(n -1) r n-1 - bn-2(n -2) r n-2 = nr n - 2r(n -1) r n-1 + r 2 (n -2) r n-2 = 

= nr n - 2nr n + 2r n + nr n - 2r n = 0 . 

In base a questo teorema , la successione dell' esempio 3.4.6 ha le infinite soluzioni 

an = C12 n + C2n2 n . 

Per trovare l'unica che soddisfa le condizioni iniziali , risolviamo il sistema 

2C1 + 2C2 = 1 

4C1 + 8C2 = 1 

3 1 

trovando C1 = e C2 = − e quindi la formula generale , valida per n ≥ 1, 

4 4 

3 n 

an = 2 

4 

1 

− n2 

4 

n = (3 - n)2 n-2 . 

Abbiamo così trovato un metodo generale per risolvere tutte le relazioni ricorsive di 

ordine due, lineari, omogenee e a coefficienti costanti , che si riduce a trovare le radici 

del suo polinomio caratteristico, distinguendo il caso in cui vi siano due radici distinte 

(reali o complesse) oppure due radici coincidenti, e ad applicare i teoremi precedenti . 

Applichiamo tale metodo per scrivere in forma generale la relazione ricorsiva di 

Fibonacci : 

F(n) = F(n-1) + F(n-2) 

F(0) = 0 F(1) = 1 . 

37

38 

Il suo polinomio caratteristico è 

1+ 5 1− 5 

le cui radici sono e . 

2 2 

x 2 - x - 1 

Dobbiamo dunque determinare C1 e C2 affinchè 

soddisfi le condizioni iniziali. 

Otteniamo il sistema 

⎛ 1+ 

5 ⎞ 

F(n) = C1⎜ 

⎟ 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

C1 + C2 = 0 

1 1 

avente soluzione C1 = e C2 = - . 

5 

5 

n 

+ C2 

⎛1 − 5 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

C1 ⎟ ⎛ 1+ 

5 ⎞ 

⎜ 

+ C2 

⎝ 2 

⎟ 

⎠ 

⎟ 

⎛1 − 5 ⎞ 

⎜ 

= 1 

⎝ 2 ⎠ 

Dunque la formula generale dei numeri di Fibonacci è la seguente : 

1 

F(n) = 

5 

⎡⎛ 

1+ 

5 ⎞ 

⎢⎜ 

⎟ 

⎢⎜ 

⎟ 

⎣⎝ 

2 ⎠ 

n 

n 

⎛1 − 5 ⎞ ⎤ 

+ ⎜ ⎟ ⎥ 

⎜ ⎟ 

. 

⎝ 2 ⎠ ⎥ 

⎦ 


n 




39


CAPITOLO 4 

Funzioni aritmetiche e funzioni intere 


4.1 Funzioni aritmetiche moltiplicative 

4.2 La funzione di Eulero e la funzione di Moebius 

4.3 Funzioni intere 

4.1 Funzioni aritmetiche moltiplicative 

Definizione 4.1.1 Si dice funzione aritmetica una funzione f : N - {0} → Z . 

Definizione 4.1.2 Si dice che una funzione aritmetica f è moltiplicativa se : 

M.C.D(n,m) = 1 ⇒ f(nm) = f(n)f(m). 

Proposizione 4.1.1 Sia f una funzione aritmetica moltiplicativa e sia n = 

e1 

p p 2 e eh 

…p la decomposizione di n in fattori primi . Si ha 

1 

2 

h 

e1 

f(n) = f( p )f(p 2 e 

1 

2 

eh 

)…f(p h 

Dimostrazione . Immediata dalla definizione , usando il principio di induzione . 

Esempio 4.1.1 La funzione costante di valore 1 (f(n) = 1 , ∀n∈ N - {0} ) e l'identità 

di N (f(n) = n , ∀n∈ N - {0}) sono funzioni aritmetiche moltiplicative . 

Esempio 4.1.2 Sia n∈ N - {0} . Indichiamo con τ ( n) 

, σ (n) , π (n) il numero totale , 

la somma e il prodotto di tutti i divisori d di n ( compresi 1 e n ) . In simboli : 

τ , σ e π sono funzioni aritmetiche . 

) . 

τ ( n) 

= ∑1 = |{d | d/n }| 

d / n 

σ (n) = ∑ 

d / n 

π (n) = 

d / 

n 

d 

Π d . 

39

40 

Capitolo 4 – Funzioni aritmetiche e funzioni intere 

Si ha , per esempio τ ( 1) 

= σ (1) = π (1) = 1 , τ ( 2) 

= 2 , σ (2) = 3 , π (2) = 2 , 

τ ( 3) 

= 2 , σ (3)= 4 , π (3) = 3 , …, τ ( 6) 

= 4, 

σ (6) = 12 , π (6) = 36 ( da qui 

concludiamo che la funzione aritmetica π non è moltiplicativa ) . Proveremo che τ e 

σ sono entrambe moltiplicative . A tal fine proviamo la 

Proposizione 4.1.2 Sia f una funzione aritmetica e sia F così definita : F(n) = 

f ( d) 

. Se f è moltiplicativa , anche F è una funzione moltiplicativa (detta la 

∑ 

d / n 

trasformata di Moebius di f) . 

Dimostrazione . La nostra tesi è che F(nm) = F(n)F(m) , se n ed m sono coprimi . 

Proviamo prima che, poiché M.C.D(n,m) = 1, ogni divisore d di nm si fattorizza in 

modo unico nel prodotto ab , con a divisore di n e b di m e con a e b coprimi . Se, 

e1 

infatti, n = p1p 2 e 

2 …p h e 

l1 

h e m = q1q 2 l 

2 …q k l 

e1 

k si ha nm = p1p 2 e 

2 …p h e l1 

h q1q 2 l 

2 …q k l 

k e d 

a1 

= p1p 2 a 

2 …p h a b1 

h q q 1 

2 b 

2 …q k b 

a1 

k , 0


Poiché un numero p è primo se e solo se è relativamente primo con tutti i numeri che 

lo precedono , abbiamo la 

Proposizione 4.2.1 ϕ(p) = p - 1 ⇔ p è un numero primo 

La funzione di Eulero ha molte proprietà. Le più importanti sono enunciate nella 

proposizione seguente, per la cui dimostrazione rimandiamo a un qualunque testo di 

matematica discreta . 

Proposizione 4.2.2 

i) M.C.D(n,m) = 1 ⇒ ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m) (ϕ è moltiplicativa ) 

ii) se p è un numero primo, allora ϕ(p h ) = p h - p 1 h− = p 1 h− (p - 1 ) 

1 

iii) ϕ (n) = n Π ( 1 - ) . 

p / n p 

d 

iv) se M.C.D (n,m) = d , allora ϕ(nm) = ϕ(n) ϕ(m) 

ϕ( 

d) 

Osservazione 4.2.1 La i) e la ii) della proposizione ci permette il calcolo di ϕ(n) 

e1 

quando sia nota la decomposizione di n . Infatti , se n = p p 2 e e 

e1 

ϕ ( p 1 )ϕ (p 2 e 

2 )… ϕ (p h e 

h ) = p 1 e 


1 1− e 1 

p 2 2 − e 1 

… p h h − 

( p - 1)( p 1 2 

1 

2 …p h 

h , si ha ϕ (n) = 

- 1)… (ph- 1) . 

Così , ϕ (600) = ϕ (2 3 . 3 . 5 2 ) = 2 2 . 3 0 . 5 . 2 . 4 = 160 . Ci sono 160 numeri interi tra 1 

e 600 coprimi con 600 . 

La iii) (che si ottiene da i) e ii) osservando che ϕ(p h ) = p h 1 

(1 - ) ) ci dà 

p 

un'espressione di ϕ(n) che dipende solo dai divisori primi di n e non dalle potenze 

con cui essi compaiono nella fattorizzazione di n . Per esempio , se i divisori primi di 

1 1 1 8 

n sono 2, 3 e 5 ( come per 600) , abbiamo ϕ (n) = n (1 - )(1 - )(1 - ) = n 

2 3 5 30 

( per ogni n = 2 a . 3 b . 5 c ) . 

8 . 8 8 

Così, ϕ (600) = 600 = 8 20 = 160 , ϕ (60) = 60 = 16 , ϕ (30) = 30 = 8 , 

30 

30 

30 

8 

ϕ (150) = 150 = 40 … 

30 

Usando la moltiplicatività di ϕ e la sua trasformata di Moebius , possiamo provare il 

seguente 

41

42 


Teorema 4.2.1 (Gauss) . La somma dei valori ϕ (d) , per tutti i divisori d di n , è 

uguale a n : 

n 

∑ϕ( 

d) 

= n = ∑ϕ( 

) 

d 

d / n 

Dimostrazione . La tesi è ovvia per n =1 . Sia dunque n >1 e sia F(n) = ∑ϕ( 

d) 

la 

trasformata di Moebius di ϕ . F è moltiplicativa ( proposizione 4.1.2 ), quindi , se n = 

e1 

p1p 2 e 

2 …p h e 

e1 

h , F(n) = F( p 1 )F(p 2 e 

2 )…F(p h e 

h ) . Poiché F(p i e 

i ) = ∑ϕ( 

d) 

= ϕ (1) + 

d / n 

e 

d / p i 

i 

e 

ϕ (pi) + ϕ (p 2 

i ) + … + ϕ (p i e 

i ) = = 1 + (pi - 1) + ( p 2 

i - pi ) + … + ( p i 

i - p 1 e 

i i − ei 

) = p i , si 

e1 

ha F(n) = p1p 2 e 

2 …p h e 

h = n . La seconda uguaglianza segue dal fatto che, quando d 

n 

percorre l'insieme dei divisori di n , lo stesso fa . 

d 

Osservazione 4.2.2 Le funzioni τ , σ, 

ϕ ci permettono di enunciare un criterio di 

primalità : condizione necessaria e sufficiente affinchè n sia un numero primo è che : 

ϕ ( n) 

+ σ( 

n) 

= nτ( 

n) 

La condizione necessaria è immediata ( ϕ ( p) 

= p −1, 

σ( 

p) 

= p + 1, 

τ( 

p) 

= 2) 

, per la 

condizione sufficiente si veda [14] ). 

Innumerevoli sono le applicazioni della funzione di Eulero , in particolare in 

aritmetica modulare e in crittografia . Di importanza fondamentale per tali 

applicazioni è il teorema di Eulero, che estende il piccolo teorema di Fermat . 

Prima di enunciare e dimostrare il teorema di Eulero dobbiamo fare qualche 

richiamo sulla relazione di congruenza modulo n , così definita in Z 

a ≡ b (mod n) ⇔ a - b = kn per qualche k ∈ Z. 

La congruenza mod n è una relazione di equivalenza con quoziente l'insieme delle 

classi di resto modulo n ( ogni intero è congruo al suo resto nella divisione per n e i 

resti possibili sono 0, 1, … , n-1) 

Zn = { 0 , 1 , … , n − 1} 

. 

In Zn si definiscono le operazioni di somma e di prodotto seguenti , rispetto alle 

quali si ottiene un anello commutativo con unità e, se n è primo, un campo : 

b 

a + = b 

a + 

b 

a = ab . 

d / n 



Definizione 4.2.2 a ∈ Z è detto invertibile modulo n se esiste b ∈ Z tale che 

ab ≡ 1 (mod n) . 

b è detto inverso di a modulo n . 

Proposizione 4.2.3 Tra i numeri 0, 1, … , n-1 vi sono esattamente ϕ(n) interi 

invertibili modulo n . 

Dimostrazione . Abbiamo posto, per definizione, ϕ(n) = |C(n)| ,con C(n) = {1 ≤ a ≤ 

n / M.C.D(a,n) = 1 } . Quindi la nostra tesi è equivalente a : 

a ∈{0,1,…,n-1} è invertibile modulo n ⇔ MCD(a,n) = 1 

Supponiamo dunque a invertibile mod n : esiste b tale che ab ≡ 1 (mod n) . Questo 

significa che esiste k tale che ab - 1 = kn , cioè 1 = ab - kn , che ci dice che 

MCD(a,n) = 1 . 

Se, viceversa, MCD(a,n) = 1 allora, per l'algoritmo euclideo delle divisioni 

successive, esistono due interi b e c tali che ab + cn = 1 (identità di Bézout) , da cui 

ab = 1 - cn , cioè ab ≡ 1 (mod n) . 

Proposizione 4.2.4 Sia b inverso di a mod n . Allora 


c ≡ b (mod n) ⇔ c è inverso di a mod n 

Dimostrazione . c ≡ b (mod n) ⇒ c = b + hn ⇒ ac = ab + ahn = 1 + kn + ahn ≡ 1 

(mod n) . 

Viceversa, ac ≡ 1 (mod n) ⇒ c ≡ 1c ≡ (ba)c ≡ b(ac) ≡ b1 ≡ b(mod n) . 

Abbiamo provato dunque che gli interi invertibili mod n si ripartiscono in ϕ(n) 

classi di resto aventi come rappresentanti i ϕ (n) interi compresi tra 1 e n e coprimi 

con n . Si dice anche classe invertibile mod n una classe di resto rappresentata da un 

elemento invertibile mod n . 

L'insieme C(n) è detto un sistema completo di rappresentanti degli invertibili mod n . 

Esempio 4.2.1 n = 5 , ϕ(5) = 4 = ⏐C(5) = {1,2,3,4}⏐. Gli elementi di C(5) sono i 

rappresentanti delle classi invertibili di Z5 . 

Notiamo che, se p è un numero primo , Zp ha p-1 classi invertibili . 

Esempio 4.2.2 n = 30 , ϕ (30) = 8 = ⏐C(30) = {1,7,11,13,17,19,23,29}⏐. Le classi 

invertibili di Z30 sono quelle rappresentate dai numeri di C(30) e sono quelle 

rappresentate rispettivamente dai numeri 1,13,11,7,23,19,27,29 . Per trovare l'inversa 

di una classe occorre scrivere l'identità di Bézout relativa al rappresentante e a 30 e 

ridurre mod n . Così , 

1 = 4 . 30 - 17 . 7 

43

44 


e, passando alle classi , poiché 30 = 0 e − 17 = 13 , si ha 1 = 13 . 7 . 

Proposizione 4.2.5 Sia a invertibile mod n . Allora vale la legge di semplificazione 

: 

ab ≡ ac (mod n) ⇒ b ≡ c (mod n) , ∀b, c ∈Z 

. 

Dimostrazione . E' sufficiente moltiplicare per l'inverso di a . 

Teorema 4.2.2 (Eulero) . Se (a,n) = 1 , allora 

ϕ( n) 

a ≡ 1 (mod n) . 

Dimostrazione. Sia C(n) = {b1, b2, … , b ϕ ( n) 

} il sistema completo dei rappresentanti 

degli invertibili modulo n . Osserviamo che l'insieme {ab1, ab2, … ,a bϕ ( n) 

}, ridotto 

modulo n , coincide con C(n) . Infatti ogni abi (mod n) appartiene a C(n) , in quanto 

il prodotto di due elementi invertibili è a sua volta invertibile, e la moltiplicazione 

per a è biiettiva ( bi ≠ bj ⇒ abi (mod n) ≠ abj (mod n) per la proposizione 4.2.5). 

Questo prova l'iniettività della moltiplicazione per a , ma è sufficiente per provare 

che si tratta di una biiezione perché C(n) è finito ). Dunque 

è una permutazione di 

ab1(mod n), ab2(mod n), … ,a bϕ ( n) 

(mod n) 

b1, b2, … , bϕ ( n) 

e quindi si ha la seguente relazione tra i loro prodotti : 

Ne segue che 

b1 b2 … bϕ( n) 

≡ ab1(mod n)ab2(mod n) … a bϕ ( n) 

b ϕ 

b1 b2 … ( n) 

≡ 

( n) 

a ϕ 

b ϕ . 

b1b2 … ( n) 

(mod n) . 

L'elemento b = b1 b2 … bϕ ( n) 

è invertibile e quindi , semplificando si ottiene la tesi . 

Dal teorema di Eulero segue come corollario il 

Teorema 4.2.3 (piccolo teorema di Fermat) . Sia p un numero primo e a un numero 

intero. Allora , se p non divide a , 

a p-1 ≡ 1 (mod p) . 



Dimostrazione . Poiché p non divide a ed è primo , MCD(a,p) = 1 . Inoltre ϕ (p) = 

p-1 . La tesi segue allora direttamente dal teorema di Eulero . 

Corollario 4.2.1 Sia p un numero primo e a un intero qualunque. Allora 


a p ≡ a (mod p) . 

Dimostrazione . Se p non divide a , a è invertibile mod p , e a p ≡ a (mod p) è 

equivalente a a p-1 ≡ 1 (mod p) per la proposizione 4.2.5. 

Se invece p è un divisore di a , a ≡ 0 (mod p) e anche a p ≡ 0 (mod p) . 

Osservazione 4.2.3 Il piccolo teorema di Fermat dà una condizione necessaria ma 

non sufficiente per la primalità : per esempio 4 14 ≡ 1 (mod 15) , poiché 4 14 = 16 7 ≡ 1 7 

(mod 15) , ma 15 non è primo . Si può dimostrare che, fissato un intero a ≥ 2, 

esistono infiniti numeri composti m tali che a m-1 ≡ 1 (mod m) . Questi numeri m sono 

detti pseudoprimi in base a . 

Vi sono anche interi k che non sono primi ma per i quali a k-1 ≡ 1 (mod k) per ogni a 

∈ Z tale che (a,k) = 1 . Questi k sono detti numeri di Carmichael ed è stato 

recentemente dimostrato che sono infiniti . I primi numeri di Carmichael sono 561, 

1105, 1729 . 

Negli esempi che seguono vedremo qualche applicazione della funzione di Eulero e 

dei teoremi di Eulero e di Fermat . 

Esempio 4.2.3 Vogliamo calcolare il resto della divisione per 28 del numero 13 1232 . 

Abbiamo ϕ (28) = ϕ (4) . ϕ (7) = 2 . 6 = 12 e 1232 = 102 . 12 + 8 . Usiamo le 

proprietà delle potenze e il teorema di Eulero . 

13 1232 = (13 12 ) 102 . 13 8 ≡ 1 102 . 13 8 (mod 28) ≡ 13 8 (mod 28) . 

13 8 = (13 2 ) 4 = (169) 4 . Ora , 169 = 6 . 28 +1 ≡ 1 (mod 28) , quindi 

13 1232 ≡ 13 8 (mod 28) ≡ 1 (mod 28) . 

Osserviamo che il teorema di Eulero consente di semplificare il calcolo delle potenze 

modulo n soltanto se la base è un numero primo con n . Vi sono altri metodi che 

valgono anche se la base non è un numero primo con n (vedi [5] ) . 

Esempio 4.2.4 Osserviamo il seguente disegno : 

45

46 


E' una stella a cinque punte ottenuta collegando cinque punti equidistanti tra loro, 

posti su una circonferenza, mediante cinque segmenti che collegano ogni punto con 

uno dei due punti ad esso non adiacente . Se generalizziamo la costruzione e 

immaginiamo di disegnare con le stesse regole una stella a n punte 1, 2, …, n , 

troviamo che il numero di stelle diverse che si ottengono per ogni n è dato dal 

ϕ( 

n) 

− 2 

numero ( vedi [21] ) . 

2 

Esempio 4.2.5 Supponiamo di avere delle perline di n colori diversi e di voler 

formare delle collane circolari di lunghezza m . Sia N(m,n) il loro numero: 

osserviamo che le rotazioni non danno collane diverse, mentre sono considerate 

diverse due collane che sono l'una il riflesso dell'altra. Così, nel caso di collane di 

lunghezza 6 formate con perline di due colori differenti le collane seguenti sono 

diverse : 

Nel disegno che segue elenchiamo tutte le collane differenti di lunghezza 4 costruite 

avendo a disposizione perline di due colori diversi : 



Quindi N(4,2) = 6 . E' stato dimostrato da A.MacMahon, nel 1892, che 

(per la dimostrazione si veda [13] ) . 


1 

N(m,n) = 

m 

1 

Naturalmente, si ritrova N(4,2) = ( 

4 

mentre 

( 1) 

1 . 6 

N(6,2) = ( ϕ ( 1) 

2 + ϕ( 

2) 

6 

ϕ( 

3 

∑ 

d / m 

n 

d ϕ 

m 

( ) 

d 

4 2 

ϕ 2 + ϕ( 2) 

2 + ( 4) 

. 2 3 + ) 

1 

ϕ 2 ) = (16 + 4 + 4 ) = 6, 

4 

. 2 . 1 

2 + ϕ (6) 2 ) = (64 + 8 + 8 + 4) = 14 . 

6 

Definiamo ora un'altra importante funzione moltiplicativa , introdotta dal matematico 

tedesco A.F.Moebius nel 1832 per studiare la distribuzione dei numeri primi . 

Definizione 4.2.3 Si dice funzione di Moebius la funzione aritmetica µ così definita : 

Quindi , per ogni n positivo , µ (n) vale 0 , 1 oppure -1 . 

1 se n = 1 

µ (n) = (-1) r se n è il prodotto di r primi distinti 

0 se p e / n , per un primo p ed e > 1 . 

Per esempio . µ (2) = -1 = µ (3) , µ (4) = 0 = µ (8) , µ (6) = µ (2 . 3) = ( -1) 2 = 1 = 

µ (10) … 

Proposizione 4.2.6 M.C.D(n,m) = 1 ⇒ µ (nm) = µ (n) µ (m) (µ è moltiplicativa) . 

Dimostrazione . Se n oppure m valgono 1 , la tesi vale poiché µ (1) = 1 . Se n oppure 

m hanno almeno un fattore al quadrato , anche nm ha un fattore al quadrato, e daµ (n) 

= 0 oppure µ (m) = 0 segue che µ (nm) = 0 . Se n ed m hanno rispettivamente r ed s 

47

48 


fattori primi non ripetuti , nm ne ha r + s non ripetuti (n ed m sono coprimi) , quindi 

µ (nm) = (-1) r+s = (-1) r (-1) s = µ (n) µ (m) . 

Osservazione 4.2.5 Per la proposizione 4.1.2 anche la funzione F(n) = ∑µ ( d) 

è 

moltiplicativa . 

Proposizione 4.2.7 F(1) = 1 e, se n > 1 , F(n) = ∑µ ( d) 

= 0 . 

d / n 

Dimostrazione. Poiché F è moltiplicativa, basta calcolare F(p e ) , p primo ed e∈ N . Si 

ha : 

F(p e ) = µ (1) + µ (p) + µ (p 2 ) + … + µ (p e ) = 1 - 1 = 0 . 

Proposizione 4.2.8 (Formula di inversione di Moebius) . Sia f una funzione aritmetica. 

Posto 

si ha 

F(n) = ∑ 

d / n 

f ( d) 

, per ogni n ≥1 

n n 

f(n) = ∑µ ( d) 

F( ) = ∑µ ( ) F(e) . 

d e 

d / n 

n n 

Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che, ponendo d = ( e = ), se d esaurisce 

e d 

i divisori di n , altrettanto fa e , per cui le due somme coincidono . Ora, data una 

funzione aritmetica f , si ha : 

n 

∑µ ( d) 

F( ) = ∑µ ( d) 

( ∑ f ( e) 

) = ∑( ∑µ ( d) 

f ( e) 

) = (cambiando l'ordine della 

d / n d d / n e /( n / d) 

d / n e /( n / d) 

somma e osservando che se e/(n/d) , allora ed/n e quindi d/(n/e) ) = ∑( ∑µ ( d) 

f ( e) 

) 

= ∑( ∑µ ( d)) 

f ( e) 

. 

e / n d /( n / e) 

Ora , ∑µ 

d /( n / e) 

a f(n) . 

e / n 

d / n 

e / n d /( n / e) 

n 

( d) 

= 0 tranne per = 1 , cioè per n = e , quindi l'ultimo termine si riduce 

e 



Osservazione 4.2.6 In modo analogo si dimostra che se F è una funzione aritmetica e f 

n 

è tale che per ogni n ≥ 1, f(n) = ∑µ ( d) 

F( ) , allora F è la trasformata di Moebius di 

d 

f , cioè F(n) = ∑ 

d / n 


d / n 

f ( d) 

, per ogni n ≥1 . 

Esempio 4.2.6 Come applicazione della funzione di Moebius e della proposizione 

4.2.8 riportiamo la formula che ci fornisce il numero dei polinomi irriducibili di grado 

d a coefficienti nel campo Zp delle classi di resto mod p (p primo) , numero che 

indichiamo con N p 

n (per la dimostrazione si veda [7] ) 

N p 1 

n = 

n 

n 

( ) 

d 

∑µ p 

d / n 

d . 

Per esempio , se p = 3 e n = 2 , i polinomi irriducibili di Z3[x] sono N 3 1 

2 = µ ( 2) 

3 + 

2 

1 2 3 9 2 2 2 

µ ( 1) 

3 = - + = 3 . Infatti , essi sono : x + 1 , 2x + 2 , 2x + x + 1 ( ricordiamo 

2 2 2 

che nel caso di grado 2 l'irriducibilità equivale al non avere radici) . 

Terminiamo il capitolo dimostrando una relazione tra la funzione di Eulero e quella di 

Moebius . 

Proposizione 4.2.9 Per ogni intero positivo n si ha : 

µ ( d) 

n 

( n) 

= n = ∑µ ( ) d . 

d d 

ϕ ∑ 

d / n 

Dimostrazione . Per il Teorema di Gauss , ∑ϕ( 

d) 

= n , e , detta F(n) = ∑ϕ( 

d) 

la 

trasformata di Moebius di ϕ , la formula di inversione di Moebius ci dà : 

d / n 

d / n 

d / n 

d / 

n 

ϕ (n) = ∑µ ( d) 

F( ) = ∑µ ( d) 

d 

n 

n 

= n ∑ d 

µ ( d) 

d 

n 

Sostituendo poi d con otteniamo la seconda uguaglianza . 

d 

d / n 

. 

d / n 

49

50 

4.3 Funzioni intere 


Indichiamo con questo nome le funzioni di dominio l'insieme R e codominio l'insieme 

Z . 

Esempio 4.3.1 . Sia f : R → Z la funzione che associa al numero reale x il minimo 

intero maggiore o uguale a x . Si scrive anche f(x) = ⎡ x ⎤ . Così , per esempio, 

f(2) = ⎡ 2 ⎤ = 2 , f(2,5) = ⎡2,5 ⎤ = 3 , f(e) = ⎡ e ⎤ = 3 , f(-e) = ⎡-e ⎤ = -2 ) . 

Tale funzione è anche chiamata funzione soffitto . Il suo grafico forma un cammino a 

scala sopra la bisettrice y = x ( dalla definizione si ha ⎡ x ⎤ ≥ x , ⎡ x ⎤ = x se e solo se 

x è un intero e ⎡ x ⎤ = n se e solo se n - 1 < x ≤ n (n intero). 

Definizione 4.3.1 Sia x un numero reale e sia ⎣x ⎦ ( oppure [x] ) il massimo intero 

minore o uguale a x . La funzione f : R→ Z , f(x) = ⎣x ⎦ è detta funzione di Gauss , o 

funzione parte intera o funzione pavimento . 

Naturalmente tale funzione è una funzione intera , più nota della funzione soffitto con 

la quale ha molte analogie . Ci limitiamo a descriverne alcune proprietà e applicazioni 

in questioni di divisibilità . Per ulteriori applicazioni rimandiamo a [13] e [14] . 

Il grafico della funzione pavimento è un cammino a scala sotto la bisettrice y = x 

( dalla definizione si ha ⎣x ⎦ ≤ x , ⎣x ⎦ = x se e solo se x è un intero e ⎣x ⎦ = n se e 

solo se n ≤ x < n +1 ( n intero ) ) . Le funzioni pavimento e soffitto coincidono 

applicate a numeri interi , per i numeri non interi differiscono di 1 ( ⎣ e ⎦ = 2 , ⎡ e ⎤ = 

3 , ⎣ -e ⎦ = -3 , ⎡-e ⎤ = -2 , …), e sono legate dalle relazione 

⎣-x ⎦ = - ⎡ x ⎤ e ⎡-x ⎤ = - ⎣x ⎦ . 

Valgono in modo evidente le relazioni x = ⎣x ⎦ + r, 0 ≤ r < 1 e ⎣x ⎦ ≤ x < ⎣x ⎦ + 1 , 

da cui segue la 

Proposizione 4.3.1. ⎣x ⎦ + ⎣y ⎦ ≤ ⎣x +y⎦ ≤ ⎣x ⎦ + ⎣y ⎦ +1 

Dimostrazione . Da x = ⎣x ⎦ + r, 0 ≤ r < 1 e y = ⎣y ⎦ + s, 0 ≤ s < 1 si ha 

x + y = ⎣x ⎦ + ⎣y ⎦ + r + s . 

Poiché 0 ≤ r + s < 2 , ⎣r + s⎦ = 0 oppure ⎣r + s⎦ = 1 , da cui 




⎣x +y⎦ = ⎣x ⎦ + ⎣y ⎦ oppure ⎣x +y⎦ ≤ ⎣x ⎦ + ⎣y ⎦ +1 . 

Altre proprietà di non difficile dimostrazione sono le seguenti : 

Proposizione 4.3.2. Se x è un numero reale e n un intero positivo , allora ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ 

⎣ n ⎦ 

⎢x 

⎥ 

⎢ 

⎣n 

⎥ 

⎦ 

. 

Proposizione 4.3.3. (Identità di Hermite) Se x è un numero reale e n un intero 

positivo , allora 

1 2 n − 1 

⎣x ⎦ + ⎣x + ⎦ + ⎣x + ⎦ + … + ⎣x + ⎦ = ⎣nx ⎦ . 

n n 

n 

Dimostriamo invece i seguenti teoremi : 

Teorema 4.3.1. Siano x un numero reale ed n un intero positivo . Il numero dei 

⎢x 

⎥ 

multipli di n compresi tra gli interi da 1 a x è pari a ⎢ 

⎣n 

⎥ . 

⎦ 

Dimostrazione . Da 

si ha 

⎢x 

⎥ x ⎢x 

⎥ 

⎢ 

⎣n 

⎥ 

≤ ≤ 

⎦ n ⎢ 

⎣n 

⎥ 

+ 1 

⎦ 

⎢x 

⎥ x ⎢x 

⎥ 

⎢ 

⎣n 

⎥ n ≤ n = x ≤ ( 

⎦ n ⎢ 

⎣n 

⎥ + 1)n . 

⎦ 

⎢x 

⎥ 

⎢x 

⎥ 

Perciò tra gli interi da 1 a x i multipli di n sono ⎢ 

⎣n 

⎥ , precisamente n, 2n, …, 

⎦ 

⎢ 

⎣n 

⎥ n . 

⎦ 

Teorema 4.3.2 . La massima potenza di p (p primo) che compare in n! è 

⎢n 

⎥ ⎢ n ⎥ ⎢ n ⎥ 

p(n!) = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + … + 2 ⎢ ⎥ , con p m 

⎣p 

⎦ ⎣p 

⎦ ⎣p 

⎦ 

m ≤ n 

⎢ 

x 

⎥ 

= 

51

52 


Dimostrazione. Se p divide n!, p divide uno dei suoi fattori . Tra gli interi da 1 a n , i 

⎢n 

⎥ 

⎢n 

⎥ 

multipli di p sono ⎢ ⎥ e sono, precisamente, p, 2p, …, p 

⎣p 

⎢ 

⎦ 

p 

⎥⎦ . 

⎣ 

In n! la più alta potenza di p sarà quindi p(n!) = p . 2p . … . ⎢n 

⎥ ⎢n 

⎥ 

⎢ p 

p 

⎥⎦ = ⎢ ! 

⎣ p 

⎥⎦ 

⎣ 

Analogamente , 

Sostituendo , 

⎢⎢ 

n ⎥ ⎥ ⎢⎢ 

n ⎥ ⎥ 

⎢⎢ 

⎥ ⎥ ⎢ 

⎢n 

⎥ 

p( ⎢ ! ) 

p 

⎥⎦ = ⎢⎣ 

p 

⎢ ⎥ ⎥ 

⎦ ⎥ + p ( ⎢⎣ 

p ⎦ ⎥ 

⎢ n ⎥ ⎢ n ⎥ 

!) = 

⎣ ⎢ p ⎥ ⎢ ⎥ 

⎢ ⎥ + p ( 2 ⎢ ⎥ !) . 2 

p ⎣p 

⎦ ⎣p 

⎦ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎢⎣ 

⎥⎦ 

⎢⎣ 

⎥⎦ 

⎢n 

⎥ ⎢ n ⎥ ⎢ n ⎥ 

p(n!) = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + p ( 2 ⎢ ⎥ !) . 2 

⎣p 

⎦ ⎣p 

⎦ ⎣p 

⎦ 

Iterando il procedimento , poiché p m+1 ⎢ n ⎥ 

> n , si ha ⎢ ⎥ = 0 , da cui 

m+1 

⎣p 

⎦ 

⎢n 

⎥ ⎢ n ⎥ ⎢ n ⎥ 

p(n!) = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + … + 2 ⎢ ⎥ . m 

⎣p 

⎦ ⎣p 

⎦ ⎣p 

⎦ 

. p 

⎢ n ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎣ p ⎦ ! 

. 

Esempio 4.3.2 Sia p = 2 e n = 8 = 2 3 . La più alta potenza di 2 che compare in 8! è 

⎢8 

⎥ ⎢ 8 ⎥ ⎢ 8 ⎥ 

2 

2(8!) = ⎢ 

⎣2 

⎥ + 

⎦ 

⎢ 2 

⎣2 

⎥ + 

⎦ 

⎢ 3 

⎣2 

⎥ = 4 + 2 + 1 = 1 + 2 + 2 = 7 . In questo caso è 

⎦ 

immediato da 8! = 1 . 2 . 3 . 2 2. 5 . 2 . 3 . 7 . 2 3 . 

In generale , se n = p r , si ha p(n!) = p r-1 + p r-2 + … + 1 = 

p r 

− 1 

. 

p −1 

Esempio 4.3.3 Vogliamo il numero dei multipli di 7 positivi e compresi tra 300 e 500 . 

⎢500 

⎥ 

⎢299 

⎥ 

Il Teorema 4.3.1 ci dice che ci sono ⎢ 

⎣ 7 ⎥ = 71 multipli di 7 tra 1 e 500 e 

⎦ 

⎢ 

⎣ 7 ⎥ = 

⎦ 

42 multipli di 7 tra 1 e 299 . 

Il numero cercato è dunque 71 - 42 = 29 . 


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Elementi di Matematica discreta - Università degli Studi di Torino

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