ELEMENTI DI GEOMETRIA SOLIDA Postulati: 1 ... - Ivan Cervesato

PROF. IVAN CERVESATO – L.S. EINSTEIN
ELEMENTI DI GEOMETRIA SOLIDA
Postulati:
1) per 3 punti dello spazio, non allineati, passa uno e un solo piano;
2) una retta passante per due punti di un piano giace interamente in quel piano;
3) una retta r (retta origine) giacente su un piano lo divide in due regioni dette semipiani;
4) un piano (piano origine) divide lo spazio in due regioni dette semispazi.
Posizione di una retta rispetto a un piano: la retta può giacere sul piano, avere in comune con questo
un solo punto, o essere parallela al piano.
Posizione di due rette nello spazio: se due rette hanno due punti in comune, esse coincidono; se
hanno un solo punto in comune, esse sono incidenti e determinano un piano; se non hanno punti in
comune, esse o sono complanari, e quindi parallele, o non sono complanari (rette sghembe).
Posizione di due piani nello spazio: due piani possono essere paralleli (nessun punto in comune) o
incidenti (una retta in comune, che è l’intersezione tra i due piani). Quindi per una retta nello spazio
passano infiniti piani (fascio di piani) che hanno la retta come sostegno o asse.
Teorema 1: se una retta r è perpendicolare a due rette s, t che passano entrambe per uno stesso suo
punto P, allora r è perpendicolare a qualunque altra retta condotta per P e complanare a s, t.
Una retta si dice perpendicolare (o ortogonale o normale) a un piano quando lo incontra in H ed è
perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per H (che è detto piede della perpendicolare). Una
retta che interseca un piano senza essergli perpendicolare è detta obliqua rispetto al piano.
Teorema 2: per un punto dato si può condurre uno e un solo piano perpendicolare a una retta data.
Fig. 1.
Fig. 2.
Teorema 3 (“teorema delle tre
perpendicolari”): se dal piede di una
perpendicolare a un piano si conduce
la perpendicolare a una retta data del
piano, questa risulta perpendicolare
al piano individuato dalle prime due
rette.
Hp: dato il piano π, sia a⊥π; sia r∈π
e da Q si tracci c⊥r.
Th: r⊥α, dove α è il piano
individuato da a e da c.
Dim: poiché c⊥r, per il teorema 1 è sufficiente dimostrare che r è perpendicolare ad un’altra retta
appartenente ad α. Presi su r due punti A e B tali che AH = HB, si congiungano A e B con Q e P,
essendo P un punto di a. Ovviamente QHA = QHB, quindi QA = QB. Allora PQA = PQB (triangoli
rettangoli con i cateti congruenti) da cui PA = PB, quindi APB è isoscele: essendo PH mediana, PH
è anche altezza, ossia PH ⊥ AB, che è la tesi.

La figura costituita da due semipiani aventi la stessa origine e da una delle due parti di spazio da
essi limitata si chiama angolo diedro o semplicemente diedro. I semipiani si dicono le facce del
diedro e ne costituiscono il contorno; la retta si dice spigolo del diedro.
Dei due diedri formati da due semipiani distinti quello che non contiene al suo interno i
prolungamenti delle sue facce si dice convesso, mentre l’altro si dice concavo.
Due diedri sono congruenti se esiste un movimento rigido mediante il quale si può sovrapporre un
diedro all’altro, in modo tale che vengano a coincidere spigoli e facce.
Si dice sezione normale di un diedro l’angolo ottenuto intersecando il diedro stesso con un piano
perpendicolare allo spigolo.
Teorema 4: due diedri sono congruenti se e solo se hanno sezioni normali congruenti.
Il confronto tra diedri si può quindi ricondurre al confronto tra le rispettive sezioni normali, e la
misura di un diedro si identifica con la misura di una sua sezione normale (espressa in gradi o in
radianti).
Due piani che si intersecano si dicono ortogonali (o perpendicolari o normali) se formano quattro
diedri congruenti; in caso contrario i due piani si dicono obliqui.
Angoloide: in un piano α è dato un poligono convesso K di n lati (n≥3) e sia O ∉ α; la figura
costituita da tutte le semirette uscenti da O e passanti per i punti di α interni a K, o passanti per il
contorno di K, si dice angoloide; le n semirette di origine O passanti per i vertici di K sono dette
spigoli, gli n angoli formati da due spigoli consecutivi sono detti facce; l’insieme delle facce
costituisce la superficie piramidale (fig. 2).
Superficie poliedrica: figura formata da più poligoni convessi situati in piani diversi e disposti in
modo che ciascun lato sia comune a due di essi e che il piano di ogni poligono lasci tutti gli altri da
una medesima parte. I poligoni, i loro vertici e i loro lati sono rispettivamente le facce, i vertici e gli
spigoli della superficie poliedrica.
Poliedro: figura formata da una superficie poliedrica e da tutti i suoi punti interni. Diagonale del
poliedro: segmento che congiunge due vertici non appartenenti alla stessa faccia.
Prisma: poliedro in cui due facce (basi) sono poligoni
congruenti con i lati corrispondenti paralleli e le altre facce
(facce laterali) sono parallelogrammi aventi una coppia di
lati paralleli coincidenti con i lati omologhi delle basi (fig.
3). La distanza tra le basi è detta altezza.
Se gli spigoli laterali non sono perpendicolari ai piani delle
basi, il prisma si dice obliquo, altrimenti si dice retto: in un
prisma retto le facce laterali sono rettangoli. Un prisma si
dice regolare se è retto e le basi sono poligoni regolari
(prisma triangolare, quadrangolare, pentagonale, ecc.)
Fig. 3.
Parallelepipedo: prisma avente per basi due
parallelogrammi (quindi è delimitato da 6
parallelogrammi). Parallelepipedo retto: i suoi spigoli
sono perpendicolari ai piani di base; parallelepipedo
rettangolo: è retto ed ha per basi dei rettangoli (fig. 4).
Cubo: prisma delimitato da 6 quadrati.
Fig. 4.
Teorema 5: le diagonali di un parallelepipedo si
incontrano in un punto (centro del p.) che le divide per
metà. Se il parallelepipedo è rettangolo, le diagonali
sono congruenti.
2

Piramide: parte di angoloide delimitato dal piano α (v. fig. 2) e
contenente il punto O (detto vertice della piramide); il poligono K
è la base, gli spigoli dell’angoloide sono gli spigoli laterali della
piramide; la distanza di O da α è l’altezza; i triangoli individuati
da α sono le facce laterali; la loro unione è la superficie laterale
della piramide; l’unione tra superficie laterale e la superficie di K
dà la superficie totale.
Piramide retta: ha per base un poligono circoscrivibile ad una
cerchio, il cui centro coincide con la proiezione di O sulla base.
Fig. 5.
Le facce laterali di una piramide retta hanno altezze congruenti tra loro, detta apotema della
piramide.
Piramide regolare: è una piramide retta in cui la base K è un poligono regolare: le facce laterali di
una piramide regolare sono triangoli isosceli tutti congruenti tra loro (fig. 5).
Teorema 6: se si taglia una piramide con un piano parallelo alla base, allora: 1) la base e la sezione
sono poligoni simili; 2) i lati e i perimetri di questi poligoni sono proporzionali alle distanze del loro
piano dal vertice O e le aree sono proporzionali ai quadrati di queste distanze.
Tronco di piramide: solido ottenuto tagliando una piramide con un piano parallelo alla base (non
passante per O) e non contenente O. Un tronco è retto (risp. regolare) se è retta (risp. regolare) la
piramide sezionata.
Poliedri regolari: un poliedro è detto regolare se le sue facce sono poligoni regolari tutti
congruenti tra loro e i suoi angoloidi sono pure tutti congruenti tra loro. 1
Esistono solo 5 poliedri regolari (fig. 6, nell’ordine): tetraedro regolare (4 facce triangolari);
ottaedro regolare (8 facce triangolari); icosaedro regolare (20 facce triangolari); esaedro regolare
o cubo (6 facce quadrate); dodecaedro regolare (12 facce pentagonali).
Fig. 6.
Teorema 7 (“teorema di Eulero”): indicati con f, v, s rispettivamente il numero di facce, di vertici e
di spigoli di una superficie poliedrica, risulta f + v = s + 2.
Cilindro: solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati, che
costituisce l’altezza del cilindro, mentre gli altri lati sono i raggi del cilindro, e generano due cerchi
detti basi del cilindro.
Si chiama cilindro equilatero il cilindro avente l’altezza congruente al diametro di base.
1
Si osservi che secondo questa definizione il prisma regolare e la piramide regolare non sono in generale poliedri
regolari.
3

Un prisma retto si dice inscritto in (circoscritto a) un cilindro quando
le sue basi sono inscritte nelle (circoscritte alle) basi del cilindro (fig.
7).
Un prisma regolare risulta sempre inscrittibile e circoscrittibile ad un
cilindro.
Cono: solido generato dalla rotazione completa di un triangolo
rettangolo attorno ad un cateto, che costituisce l’altezza del cono.
L’ipotenusa genera la superficie laterale e rappresenta l’apotema del
cono; l’altro cateto è il raggio del cono e genera la superficie di base.
Un cono si dice equilatero se l’apotema è congruente al diametro di
base.
Fig. 7.
Una piramide retta si dice inscritta in (circoscritta a) un cono se il suo vertice è il vertice del cono e
la sua base è inscritta nella (circoscritta alla) base.
Tronco di cono: solido generato dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo T attorno alla
sua altezza; il lato obliquo di T genera la superficie laterale del tronco, ed è detto apotema o lato
del tronco.
Sfera (si vedano le illustrazioni riportate più oltre nel Formulario): solido generato dalla rotazione
completa di un semicerchio attorno al suo diametro; la superficie generata dalla rotazione completa
di una semicirconferenza attorno al diametro è detta superficie sferica.
Zona sferica: parte di superficie sferica compresa tra due piani paralleli che taglino la superficie.
Calotta: ciascuna parte in cui la superficie sferica resta suddivisa da un piano secante.
Segmento sferico a due basi: parte di sfera individuata da due piani secanti paralleli.
Segmento sferico a una base: ciascuna delle parti solide in cui una sfera è divisa da un piano
secante.
Settore sferico: parte di sfera generata dalla rotazione di un settore circolare attorno a un diametro
che giace nel piano del settore ma non lo attraversa.
Fuso sferico: parte di superficie sferica delimitata da due semipiani diametrali.
Spicchio sferico: parte di sfera limitata da un fuso e dai due semicerchi massimi corrispondenti ai
lati del fuso.
Principio di Cavalieri (condizione sufficiente ma non necessaria per l’equivalenza dei solidi): se
due solidi si possono disporre rispetto a un dato piano α in modo che le sezioni fatte nei due solidi
con un piano qualunque parallelo ad α siano equivalenti, allora essi sono equivalenti.
Volume della sfera
Data una sfera di centro O, si consideri il cilindro equilatero ad essa circoscritto ed i due coni aventi
vertice in O e le basi coincidenti con quelle del cilindro. Il solido che si ottiene dal cilindro
togliendo i due coni è detto anticlessidra.
Teorema 8: la sfera è equivalente all’anticlessidra.
Fig. 8a. Fig. 8b.
4

Dim.: consideriamo due sezioni del cilindro equilatero in cui è inscritta una sfera. Sia x=OC la
distanza del piano α che seca la sfera ed il cilindro, parallelamente alle basi di questo. Allora l’area
2 2 2
del cerchio di centro C e raggio CD è A1 = π CD = π ( R − x ) , dove R è il raggio della sfera (uguale
al raggio del cilindro circoscritto). Inoltre risulta R = OF = GF, quindi x = OA = BA (in quanto
2
OGF è simile ad OAB); l’area del cerchio di centro A e raggio AB = x è quindi A 2 = π x ; l’area
2
del cerchio di centro A e raggio AE = R è banalmente A 3 = π R , quindi per ogni x risulta
A1 = A 3 − A 2 . In base al principio di Cavalieri, la sfera risulta quindi equivalente all’anticlessidra, il
cui volume si ottiene semplicemente sottraendo dal volume del cilindro il volume dei due coni:
1 4
V R
3 3
3
3
3
sf = Vcil
− 2Vcono
= 2π
R − 2 π R = π .
FORMULARIO
Legenda:
A L = area laterale; A B = area di base; A T = area totale; P B = perimetro di base; h = altezza;
V = volume.
Parallelepipedo rettangolo
A = 2 a + b c
d = diagonale
Prisma retto
Piramide retta
A
L
T
V = abc
d =
= A
a
( )
2
L
+
+ b
A L = PBh
A T = A L + 2A
V = A h
B
A L = PBa/2
A T = A L + A
V = A h/3
B
2ab
B
a = apotema
2
B
+ c
2
5

Tronco di piramide retto
( P + P )
A L = B b a/2
A T = A L + A B + A b
V = ( A B + A b + A BA
b )h/3
a apotema
A B , PB
area e perimetro della base inferiore
A , area e perimetro della base superiore
b Pb
Cilindro circolare retto
A
A
L
T
= 2πRh
= A
V = πR
Cono circolare retto
a = apotema
Tronco di cono
a = apotema
A
L
A
A
L
T
2
V = πR
= π
L
= A
h
= πRa
2
L
+ 2πR
+ πR
h/3
( R + r)
A T = A L + πR
+ πr
2 2
V = π ( R + r + Rr)h/3
a
2
2
2
2
6

Sfera
A = 4πR
2
4
V = πR
3
Calotta sferica e segmento sferico a una base
A = 2πRh
1
V = πh
3
2
3
( 3R − h)
Fuso sferico e spicchio sferico
2 α°
A = πR
90
1
V = RA
3
Zona sferica e segmento sferico a due basi
A
Settore sferico
L
= 2πRh
1
V = πh
6
3
A =
πR
1
+ πh
2
2
V = πR
3
2 2 ( r + r )
1
( 2h + r)
2
h
2
7