ELEMENTI DI MATEMATICA Volume primo - Ivan Cervesato

IVAN CERVESATO
ELEMENTI DI MATEMATICA
Volume primo
PIANO CARTESIANO
RETTA
PARABOLA
CIRCONFERENZA
ELLISSE
IPERBOLE
COMPLEMENTI SULLE CONICHE
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
ESPONENZIALI E LOGARITMI
SISTEMI PARAMETRICI
A.S. ????

Lo scopo delle presenti pagine
PREMESSA
III

INDICE
CAP. 1 – PIANO CARTESIANO pag.
§ 1. Coordinate cartesiane......................................................................1
1.1 Sistema di ascisse sulla retta...........................................................1
1.2 Coordinate cartesiane nel piano.........................................................
1.3 Coordinate cartesiane nello spazio.......................................................
§ 2. Distanza tra due punti......................................................................
§ 3. Coordinate del punto medio di un segmento.................................................
§ 4. Baricentro di un triangolo...................................................................
§ 5. Traslazione degli assi coordinati.............................................................
§ 6. Funzioni....................................................................................
6.1 Funzione suriettiva, iniettiva, biunivoca.................................................
6.2 Funzione inversa........................................................................
6.3 Funzione composta......................................................................
§ 7. Funzioni e luoghi geometrici nel piano cartesiano............................................
7.1 Classificazione delle funzioni.............................................................
7.2 Due “regole auree”: passaggio/appartenenza e intersezione ..............................
7.3 Alcune simmetrie elementari ............................................................
7.4 Funzioni pari e dispari..................................................................
Esercizi relativi al capitolo .......................................................................
CAP. 2 – RETTA
§ 8. Equazione della retta in forma esplicita.....................................................
8.1 Rette parallele agli assi..................................................................
8.2 Breve digressione sul concetto di infinito. ................................................
8.3 Retta passante per l’origine.............................................................
8.4 Retta in posizione generica..............................................................
8.5 Coefficiente angolare della retta.........................................................
8.6 Distanza tra due punti: seconda formula ................................................
§ 9. Equazione della retta in forma implicita.....................................................
§10. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità fra rette.......................................
§11. Posizione reciproca tra due rette ...........................................................
§12. Fasci di rette ...............................................................................
12.1 Fascio improprio.......................................................................
12.2 Fascio proprio..........................................................................
12.3 Fasci generati da due rette.............................................................
§13. Retta per due punti ........................................................................
13.1 Condizione di allineamento per tre punti . ..............................................
§14. Distanza di un punto da una retta ..........................................................
§15. Luoghi geometrici...........................................................................
15.1 Asse di un segmento...................................................................
V

VI
15.2 Bisettrice di un angolo.................................................................
15.3 Luogo dei punti equidistanti da due rette parallele......................................
§16. Equazioni parametriche di un luogo.........................................................
§17. Esercizi svolti sulla retta....................................................................
Esercizi relativi al capitolo .......................................................................
CAP. 3 – PARABOLA
§18. Parabola come luogo geometrico............................................................
§19. Parabola con asse verticale..................................................................
§20. Parabola con asse orizzontale ...............................................................
20.1 Parabola con asse in posizione generica.................................................
§21. Posizione reciproca parabola–retta..........................................................
21.1 Rette tangenti a una parabola..........................................................
§22. Fasci di parabole............................................................................
22.1 Parabole degeneri......................................................................
22.2 Caratteristiche di un fascio.............................................................
22.3 Costruzione di particolari fasci.........................................................
22.4 Fasci di parabole con asse orizzontale ..................................................
§23. Determinazione dell’equazione di una parabola ..............................................
§24. Curve riconducibili alla parabola ............................................................
§25. Risoluzioni grafiche tramite parabola........................................................
25.1 Interpretazione grafica di disequazioni di II grado......................................
25.2 Interpretazione grafica di equazioni e disequazioni irrazionali elementari................
§26. Esercizi svolti sulla parabola................................................................
Esercizi relativi al capitolo .......................................................................
CAP. 4 – CIRCONFERENZA
§27. Circonferenza come luogo geometrico........................................................
§28. Posizione reciproca tra retta e circonferenza.................................................
28.1 Rette tangenti ad una circonferenza: metodo ∆=0....................................
28.2 Rette tangenti ad una circonferenza: 2 ◦ metodo........................................
§29. Posizione reciproca tra due circonferenze....................................................
§30. Fasci di circonferenze.......................................................................
§31. Determinazione dell’equazione di una circonferenza. .........................................
§32. Curve riconducibili alla circonferenza. .......................................................
§33. Risoluzioni grafiche tramite circonferenza ...................................................
§34. Esercizi svolti sulla circonferenza............................................................
Esercizi relativi al capitolo .......................................................................
CAP. 5 – ELLISSE

§36. Ellisse come luogo geometrico...............................................................
§37. Equazione canonica dell’ellisse ..............................................................
§38. Posizione reciproca tra retta ed ellisse.......................................................
38.1 Rette tangenti ad un’ellisse.............................................................
§39. Ellisse riferita a parallele agli assi...........................................................
§40. Determinazione dell’equazione dell’ellisse . ...................................................
§41. Curve riconducibili all’ellisse . ...............................................................
§42. Risoluzioni grafiche tramite ellisse...........................................................
§43. Esercizi svolti sull’ellisse ....................................................................
Esercizi relativi al capitolo .......................................................................
CAP. 6 – IPERBOLE
§44. Iperbole come luogo geometrico.............................................................
§45. Equazione canonica dell’iperbole ............................................................
§46. Posizione reciproca tra retta ed iperbole.....................................................
46.1 Rette tangenti ad un’iperbole..........................................................
§47. Iperbole riferita a parallele agli assi.........................................................
§48. Determinazione dell’equazione dell’iperbole..................................................
§49. Curve riconducibili all’iperbole . .............................................................
§50. Iperbole equilatera..........................................................................
§51. Funzione omografica........................................................................
§52. Esercizi svolti sull’iperbole ..................................................................
Esercizi relativi al capitolo .......................................................................
CAP. 7 – COMPLEMENTI SULLE CONICHE
§52. Generalità sulle matrici.....................................................................
52.1 Operazioni con le matrici ..............................................................
53.2 Determinante di matrici 2 × 2e3× 3..................................................
§54. Equazione generale e riconoscimento di una conica..........................................
§55. Riduzione in forma canonica................................................................
55.1 Coniche a centro.......................................................................
55.2 Parabola...............................................................................
Esercizi relativi al capitolo ......................................................................
CAP. 8 – TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
§56. Simmetrie..................................................................................
56.1 Simmetria rispetto a un punto P (a, b) del piano........................................
56.2 Simmetria rispetto a un asse x = a o y = b .............................................
56.3 Simmetria rispetto a y = −x ...........................................................
§57. Traslazioni..................................................................................
VII

VIII
§58. Omotetie...................................................................................
58.1 Tangenza retta–ellisse: 2 ◦ metodo......................................................
§59. Grafici di y = |f(x)|, y = f(|x|), y = f(x ± k), y = f(x) ± k, y = kf(x)......................
Esercizi relativi al capitolo .......................................................................
CAP. 9 – ESPONENZIALI E LOGARITMI
§60. Funzione esponenziale.......................................................................
§61. Equazioni esponenziali......................................................................
§62. Disequazioni esponenziali...................................................................
§63. Funzione logaritmica . .......................................................................
§64. Equazioni logaritmiche . .....................................................................
§65. Disequazioni logaritmiche . ..................................................................
Esercizi relativi al capitolo .......................................................................
CAP. 10 – SISTEMI PARAMETRICI
§66. .............................................................................................
§67. .............................................................................................
§68. .............................................................................................
§69. .............................................................................................
§70. .............................................................................................
Esercizi relativi al capitolo .......................................................................
APPENDICE A – EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
§A1. Equazioni intere e fratte....................................................................
§A2. Sistemi di equazioni........................................................................
§A3. Disequazioni intere e fratte.................................................................
§A4. Sistemi di disequazioni.....................................................................
§A5. Equazioni e disequazioni irrazionali.........................................................
§A6. Equazioni e disequazioni con valori assoluti.................................................
Esercizi relativi al capitolo .......................................................................
APPENDICE B – CAMPO COMPLESSO (?)
§B1. Definizione di numero complesso............................................................
§B2. Operazioni con i complessi..................................................................
§B3. ............................................................................................
§B4. ............................................................................................
§B5. ............................................................................................
Esercizi relativi al capitolo .......................................................................

CAPITOLO 1
PIANO CARTESIANO
§1. COORDINATE CARTESIANE
Nella Matematica sviluppata al Biennio si distinguono tradizionalmente due ambiti la cui trattazione
è effettuata in modo ben distinto: da una parte l’Algebra, con le relative tecniche di calcolo simbolico,
dall’altra la Geometria Razionale (o Euclidea), che tipicamente utilizza procedimenti deduttivi
partendo da assiomi inizialmente stabiliti. La Geometria Analitica (nel seguito: GA), introdotta
da R. Descartes (italianizzato in Cartesio) nel XVII secolo e sviluppata da P. de Fermat e altri,
rappresenta in un certo senso un “ponte” tra quei due ambiti apparentemente distinti. Infatti la
GA costituisce, come vedremo meglio nel seguito, una “algebrizzazione della geometria”, nel senso
che, data una figura come insieme di punti che verificano una condizione geometrica, (per esempio
la condizione di appartenere ad una retta), la GA traduce in “formule” quella condizione.
Nel contempo, si può anche dire che la GA costituisca una “geometrizzazione dell’algebra”, in
quanto permette di visualizzare come figure geometriche grandezze che compaiono in problemi di
algebra, come accade – lo vedremo – nella risoluzione grafica di equazioni e disequazioni algebriche.
In ogni caso si può dire che la GA rappresenta uno strumento utile e potente per la risoluzione di
numerosi problemi, come verrà mostrato nel seguito.
1.1 Sistema di ascisse sulla retta
Come è noto dalla geometria elementare, assegnata una retta r è possibile riconoscere su di essa
due orientazioni: in termini espliciti, dati due punti A, B ∈ r, è possibile considerare come “verso
di percorrenza” positivo della retta quello che va da A a B o, viceversa, quello che va da B a
A. L’orientazione assegnata alla retta, ossia il verso di percorrenza che si sceglie (arbitrariamente)
come positivo, è indicata con una freccia: tipicamente si sceglie l’orientazione “da sinistra a destra”
(figura 1.1).
Sia ora fissato un punto O ∈ r arbitrario, che è assunto
come origine e sia fissata una certa unitàdimisuraOU =1
sulla retta: in questo modo è possibile stabilire una corrispondenza
biunivoca tra punti della retta e numeri reali.
Fig. 1.1 Sistema di ascisse su r.
Questo significa che ad ogni punto P della retta corrisponde uno e un solo numero reale xP (detto
ascissa del punto) e, viceversa, ad ogni numero reale xP corrisponde uno e un solo punto P della
retta (per qualche richiamo sul concetto di funzione si veda il §6). Si dice che la retta dotata
di orientazione e di tale corrispondenza biunivoca costituisce un sistema di ascisse sulla retta.
Evidentemente, un’ascissa positiva per P significa che il punto si trova a destra dell’origine O e,
viceversa, un valore di ascissa negativo significa che P si trova a sinistra di O.
Quando considereremo il punto P come fissato, indicheremo la sua ascissa con xP o anche con x0, x1
e simili scritture, o anche con a e scriveremo rispettivamente P (xP ), P (x0), P (x1), P (a). Quando

2 capitolo 1
invece considereremo un generico punto P ∈ r, ossia un punto qualunque sulla retta, chiameremo x
la sua ascissa e scriveremo P (x).
La lunghezza del segmento AB, intesa nel senso tradizionale della geometria euclidea come quantità
positiva (o al limite nulla, nel caso di “segmento nullo” avente gli estremi coincidenti), è data dal
numero positivo (al limite zero, se A e B coincidono)
AB = |xA − xB| (1.1)
dove il segno di valore assoluto ènecessarioinquantononè noto in generale se xA >xB o invece
xA xB ochexA

1.2 Coordinate cartesiane nel piano
Quanto visto nel paragrafo precedente può essere esteso
senza difficoltà al caso bidimensionale del piano π: precisamente,
si considerino due rette del piano perpendicolari
tra loro, una orizzontale orientata “verso destra”, ed una
verticale orientata “verso l’alto”.
Sia O il punto di intersezione di tali rette; a partire da O si
fissi un sistema di ascisse su entrambe le rette, assumendo
la stessa unità dimisuraOU = 1 (che l’unità dimisura
sia la stessa sulle due rette non è ipotesi necessaria, ma
per il momento supporremo che sia proprio così). Le due
rette orientate costituiscono un sistema di assi cartesiani
ortogonali monometrici xOy (l’aggettivo “monometrico” si
riferisce al fatto che i due assi hanno la stessa unità di
misura OU).
il piano cartesiano 3
Fig. 1.3 Sistema di assi cartesiani su π.
Il piano risulta suddiviso in quattro regioni, dette quadranti enumerateapartiredalquadrantein
alto a destra (primo quadrante) in senso antiorario: in altri termini, i punti del I quadrante hanno
coordinate entrambe positive, i punti del II quadrante hanno ascissa negativa e ordinata positiva, i
punti del III quadrante hanno coordinate entrambe negative, i punti del IV quadrante hanno ascissa
positiva e ordinata negativa. Evidentemente l’origine ha coordinate entrambe nulle: O(0, 0). I punti
dell’asse delle ascisse sono caratterizzati dall’avere ordinata nulla: in altre parole un punto dell’asse
delle ascisse ha coordinate (x, 0) con x qualunque; analogamente i punti dell’asse delle ordinate sono
caratterizzati dall’avere ascissa nulla: un punto dell’asse delle ordinate ha coordinate (0,y)cony
qualunque.
1.3 Coordinate cartesiane nello spazio
Fig. 1.4 Sistema di assi coordinati nello spazio.
Quanto visto per il piano si può estendere in modo naturale
al caso dello spazio, ossia al caso delle tre dimensioni: a tal
fine è sufficiente considerare tre rette x, y, z perpendicolari
tra loro, uscenti dal punto O (origine del sistema), ciascuna
dotata di un’orientazione e di una stessa unità dimisura
OU = 1: tali rette sono dette assi coordinati. Evidentemente
ciascuna coppia di rette determina un piano: avremo
perciòilpianoxy, ilpianoxz eilpianoyz (piani coordinati).
Si dice che nello spazio è fissato un sistema di assi cartesiani
ortogonali. Come nel caso bidimensionale, il sistema di assi
coordinati introduce una corrispondenza biunivoca tra punti
dello spazio e terne ordinate di numeri reali.
In altri termini, un punto P dello spazio è individuato da una terna di numeri reali (xP ,yP ,zP ),
detti coordinate cartesiane di P : xP ,cioèilprimo numero reale della terna, è detto ascissa di P ,
yP ,ilsecondo numero della terna è detto ordinata di P , zP , il terzo numero della terna, è detto

4 capitolo 1
quota di P (figura 1.4).
Benchè sia possibile, come si intuisce, sviluppare una Geometria Analitica nello spazio tridimensionale,
non approfondiremo tale caso in quanto la nostra trattazione sarà limitata al caso bidimensionale.
È tuttavia interessante osservare che dal punto di vista matematico si possono definire spazi a più
di tre dimensioni: infatti, se in un certo senso la retta può essere identificata con i numeri reali, il
piano con coppie ordinate di numeri reali e lo spazio con terne ordinate di numeri reali, in modo
intuitivo si potrà dire che le quaterne ordinate di numeri reali (x1,x2,x3,x4) “definiscono” uno
spazioa4dimensionie,più in generale, una n-upla ordinata di numeri reali “definisce” uno spazio a
n dimensioni: il discorso, a questo livello posto sul piano dell’analogia con quanto accade in una, in
due e in tre dimensioni, può essere reso del tutto rigoroso, come vedrà lo studente che approfondirà
il tema in sede universitaria.
Si può comunque aggiungere che spazi multidimensionali sono spesso usati in svariati ambiti,
dall’Economia alla Fisica: ad esempio, in Teoria della Relatività si fa normalmente uso di uno
spazioa4dimensioni,mentrenellacosiddettaTeoriadellestringhesiutilizzano spazi a 10 o più
dimensioni.
§ 2. DISTANZA TRA DUE PUNTI
Pertanto
Fig. 2.1 Distanza tra due punti.
Dati due punti nel piano cartesiano: P (x1,y1) eQ(x2,y2), ci
proponiamo di ricavare una espressione che dia la lunghezza del
segmento PQ. A tal fine, applicando il teorema di Pitagora al
triangolo rettangolo PQH (figura 2.1) si ricava immediatamente
che
PQ 2 = PH 2 + QH 2
Ora, osservando banalmente che PH = AB = |x2 − x1| eche
QH = CD = |y2 − y1| (si ricordi la (1.1) applicata ai segmenti
PH = AB, QH = CD paralleli, rispettivamente, all’asse delle
ascisse e all’asse delle ordinate) si ha subito la formula cercata:
PQ = (x2 − x1) 2 +(y2 − y1) 2 (2.1)
la distanza tra due punti è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze
delle coordinate omonime dei due punti.
Si tengano presenti le seguenti osservazioni:
1. Non ha importanza l’ordine con cui si effettua la differenza tra coordinate omonime, in quanto,
ad esempio, (x1 − x2) 2 ≡ (x2 − x1) 2 .

il piano cartesiano 5
2. Se fosse, ad esempio, x2 = x1 (ilchesignificacheilsegmentoè verticale), la (2.1) diventerebbe
semplicemente
PQ = (y2 − y1) 2 = |y2 − y1| (2.2)
e, analogamente, se fosse y2 = y1 (segmento orizzontale), si avrebbe
(in entrambi i casi si noti la presenza del valore assoluto).
PQ = (x2 − x1) 2 = |x2 − x1| (2.3)
3. Nella (2.1) il radicando è costituito dalla somma di due quadrati: questo significa che esso è
certamente positivo.
ESEMPIO 2.1 Dati i due punti P (1, −3) e Q(−2, 4) la lunghezza del segmento PQ è data, banalmente,
da
PQ = (−2 − 1) 2 +(4+3) 2 = √ 9+49= √ 58
dove si è scelto di calcolare (xQ − xP ) 2 e(yQ − yP ) 2 : è immediato verificare che il risultato non
cambia, ovviamente, se si sceglie di calcolare (xP − xQ) 2 e(yP − yQ) 2 .
ESEMPIO 2.2 Dati i punti P (k, 1) e Q(2, 3 − 2k), vogliamo determinare se esistono valori di k tali
che sia PQ =2 √ 2. Osserviamo preliminarmente che in esercizi di questo tipo le coordinate dei
punti sono espresse in funzione di un parametro (in questo caso k, appunto): in altri termini si ha
che xP = k, yP =1exQ =2,yQ =3− 2k: l’ascissa di P e l’ordinata di Q varianopertantoa
seconda del valore assunto da k. In base alla (2.1) si ha
PQ = (k − 2) 2 +[1− (3 − 2k)] 2
= 5k2 − 12k +8
Dovendo essere PQ =2 √ 2, condizione data dal testo, si ha
5k 2 − 12k +8=2 √ 2
Questa equazione irrazionale della forma f(x) =g(x) andrebbe in linea generale risolta ricorrendo,
come ben noto, al sistema misto
g(x) ≥ 0
f(x) =[g(x)] 2
Nel caso in esame, tuttavia, il membro di destra dell’equazione è un numero positivo (cioè g(x) =
2 √ 2) e quindi per risolvere l’equazione è sufficiente elevare al quadrato i due membri:
5k 2 − 12k +8=8 ⇒ 5k 2 − 12k =0
da cui k =0,k=12/5 che sono i valori cercati.
In Geometria Analitica esercizi di questo genere sono in un certo senso “tipici”: il testo del problema
richiede di determinare un punto, quindi le sue coordinate, in modo tale che sia soddisfatta una
certa condizione data dal testo (nell’esempio, che fosse PQ =2 √ 2). Vedremo nel seguito molte
altre situazioni di questo tipo.

6 capitolo 1
§ 3. PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
Assegnato un segmento PQ di estremi P (x1,y1) eQ(x2,y2), vogliamo determinare le coordinate
del punto medio M del segmento stesso (figura 3.1).
Siano A, B le proiezioni di P, Q sull’asse delle ascisse, e siano
C, D le proiezioni di P, Q sull’asse delle ordinate. Consideriamo
ora le tre rette passanti per A, P la prima, per M,H la seconda,
per Q, B la terza: essendo PM = QM, per il teorema di Talete
applicato a tali rette tagliate dalle due trasversali passanti per
P, Q eperA, B, risulta subito che AH = HB. Allora l’ascissa
xM del punto medio M risulta uguale all’ascissa di H, punto
medio di AB: in base alla (1.2) si ha quindi
xM = x1 + x2
2
Fig. 3.1 Punto medio di un segmento.
In modo del tutto analogo si ha CK = KD e quindi l’ordinata yM di M è data dall’ordinata del
punto medio del segmento CD: ancora in base alla (1.2) si ha
In definitiva
yM = y1 + y2
2
l’ascissa e l’ordinata del punto medio M di un segmento PQ sono date rispettivamente dalla
media aritmentica delle ascisse e dalla media aritmetica delle ordinate degli estremi del
segmento:
x1 + x2
M(xM,yM) =M ,
2
y1
+ y2
2
ESEMPIO 3.1 Il punto medio M di un segmento PQ ha coordinate (3, −5); l’estremo P ha coordinate
(1, −3): si chiede di determinare le coordinate di Q.
A tal fine è sufficiente utilizzare la (3.1) nella quale sono considerate come incognite le coordinate
di Q:
xM = xP + xQ
2
ossia
3= 1+xQ
2
da cui è immediato ricavare xQ =5eyQ = −7.
yM = yP + yQ
2
− 5= −3+yQ
2
ESEMPIO 3.2 Sono dati i due punti P (2,k − 1) e Q(k +2, 3k): si chiede per quali valori di k il
punto medio M di PQ ha ascissa ed ordinata uguali.
(3.1)

il piano cartesiano 7
Per rispondere è sufficiente calcolare xM e yM con la (3.1) (i valori verranno evidentemente in
funzione di k) e poi porre xM = yM: esplicitamente
da cui
xM =
2+k +2
2
2+k +2
2
= k − 1+3k
2
e yM =
k − 1+3k
2
⇒ k =5/3
§ 4. BARICENTRO DI UN TRIANGOLO
Ricordiamo preliminarmente e in modo sintetico alcune definizioni che possono risultare utili: si
definisce
• asse di un segmento AB la retta perpendicolare ad AB e passante per il punto medio di AB;
• bisettrice di un angolo α la semiretta, uscente dal vertice di α, che divide l’angolo in due parti
uguali.
Inoltre, in un triangolo si dice:
Fig. 4.1 Altezze, mediane, bisettrici in un
triangolo.
• altezza relativa a un lato il segmento condotto da un
vertice perpendicolarmente alla retta del lato opposto
e da questa limitato;
• mediana il segmento che ha per estremi un vertice e il
punto medio del lato opposto;
• bisettrice relativa a un angolo α il segmento di bisettrice
di α compreso tra il vertice e il lato opposto.
Con riferimento a figura 4.1, CH è l’altezza relativa al lato AB, CD la bisettrice relativa all’angolo
AĈB, CM la mediana relativa al alto AB, la retta r l’asse del lato AB. Evidentemente un triangolo
ammette tre altezze, tre mediane, tre bisettrici, tre assi (che sono gli assi dei lati del triangolo).
Vale il seguente
TEOREMA 4.1 In un triangolo,
1. i tre assi dei lati passano per uno stesso punto (detto circocentro) equidistante dai vertici;
2. le tre altezze passano per uno stesso punto (detto ortocentro);
3. le tre bisettrici passano per uno stesso punto (detto incentro) equidistante dai lati;
4. le tre mediane passano per uno stesso punto (detto baricentro) che divide ciascuna mediana
in due parti, di cui quella contenente il vertice è doppia dell’altra.
Circocentro, ortocentro, incentro e baricentro sono detti punti notevoli di un triangolo.

8 capitolo 1
Inoltre, dalle definizioni date risulta subito che il circocentro e l’incentro sono rispettivamente il
centro della circonferenza circoscritta al triangolo e il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.
Con riferimento a figura 4.2, vogliamo ora determinare le
coordinate del baricentro del triangolo ABC, di vertici
A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC). Siano D, E, F i punti
medi dei lati del triangolo, e sia G il baricentro. In base
al teorema 4.1, risulta AG =2GE, e quindi per il teorema
di Talete A ′ G ′ =2G ′ E ′ : ricordando quanto detto sulla
distanza tra due punti, quest’ultima relazione viene a scriversi
come
xG − xA =2(xE − xG)
ossia, ricavando xG:
xG = 2xE + xA
3
(4.1)
Essendo però E il punto medio del lato BC, in base alla (3.1) si ha
ossia
Sostituendo la (4.2) nella (4.1) si ottiene subito
xE = xB + xC
2
2xE = xB + xC
xG = xA + xB + xC
3
Fig. 4.2 Baricentro di un triangolo.
In modo del tutto analogo si procede per determinare l’ordinata di G: in definitiva
le coordinate del baricentro G(xG,yG) di un triangolo ABC di vertici A(xA,yA), B(xB,yB),
C(xC,yC) risultano essere:
xG = xA + xB + xC
3
yG = yA + yB + yC
3
Risulta del tutto evidente, quindi, che le (4.3) consentono di trovare le coordinate del baricentro
se sono note le coordinate dei tre vertici. Bisogna però ricordarsi che le equazioni possono essere
utilizzate anche per determinare, per esempio, un vertice, note che siano le coordinate di G, come
risulta con chiarezza dal seguente
(4.2)
(4.3)

il piano cartesiano 9
ESEMPIO 4.1 Nel triangolo ABC si ha A(−2, 1) e B(4, 6), ed il baricentro è il punto G(2, −1).
Ascissa e ordinata del vertice C siano rispettivamente h e k: si abbia cioè C(h, k) (avremmo anche
potuto scrivere C(xC,yC), naturalmente): per determinare le coordinate di C è sufficiente utilizzare
le (4.3) dove xA,yA,xB,yB,xG,yG sono quantità note, e le incognite sono xC = h e yC = k:
2= −2+4+h
3
da cui xC = h =4eyC = k = −10.
− 1= 1+6+k
3
§ 5. TRASLAZIONE DEGLI ASSI COORDINATI
Come abbiamo visto, è possibile fissare un sistema di assi cartesiani nel piano: non esiste però un
unico modo di scegliere il sistema di assi, ma in effetti ve ne sono infiniti. Per comprendere meglio
la questione, consideriamo il sistema di riferimento xOy, nelqualeè dato un punto P (xP ,yP )(per
fissare le idee supponiamo che P appartenga al I quadrante).
Fig. 5.1 Traslazione degli assi.
Consideriamo quindi un secondo sistema S ′ di assi cartesiani
ortogonali, che indicheremo con XO ′ Y per differenziarlo da
S, che abbia gli assi X, Y rispettivamente paralleli agli assi
x, y e con uguale orientazione (figura 5.1): si tratta quindi
di una traslazione degli assi.
L’origine di S ′ sia O ′ (a, b), dove l’ascissa a e l’ordinata b
di O ′ sono evidentemente riferite ad S (come sappiamo, nel
sistema S ′ l’origine ha coordinate entrambe nulle).
Anche in questo caso per fissare le idee supporremo che O ′
appartenga al I quadrante del sistema S.
Indicando con XP e YP le coordinate di P rispetto al nuovo sistema di riferimento, vogliamo ora
determinare una relazione che consenta di passare dalle vecchie coordinate xP e yP alle nuove e
viceversa, conoscendo la posizione dell’origine O ′ .
Con riferimento alla figura 5.1, è immediato osservare che OB = BH + OH e OA = AK + OK;
essendo nel contempo OH = a, OK = b, BH = XP , AK = YP , OB = xP , OA = yP ,siottengono
subito le equazioni xP = XP + a
yP = YP + b
Se indichiamo genericamente le coordinate di P nei due sistemi S e S ′ rispettivamente con (x, y) e
con (X, Y ), le relazioni di trasformazione delle coordinate vengono a scriversi semplicemente:
x = X + a
(5.1)
y = Y + b
o anche
X = x − a
(5.2)
Y = y − b
Le (5.1)(5.2) permettono pertanto di passare dalle coordinate di un punto rispetto ad un certo
sistema, alle coordinate dello stesso punto rispetto ad un sistema traslato rispetto al primo. Tali
relazioni valgono anche nel caso in cui P od O ′ appartengano a quadranti diversi dal I: sono cioè
relazioni del tutto generali, anche se ricavate sotto le ipotesi fatte.

10 capitolo 1
ESEMPIO 5.1 Un punto P ha coordinate x =5,y = −3 rispetto a un sistema di riferimento S. Sesi
considera un sistema traslato S ′ la cui origine è O ′ (−2, −3) (quindi a = −2,b= −3), le coordinate
di P rispetto al nuovo sistema sono ottenute utilizzando le (5.2):
X =5− (−2) = 7
Y = −3 − (−3) = 0
ESEMPIO 5.2 Un punto P ha coordinate x =2,y = 5 in un sistema S, e coordinate X = −3,Y =4
in un sistema S ′ traslato rispetto ad S. LecoordinatediO ′ , origine di S ′ , possono essere allora
ricavate immediatamente come: a = x − X =2− (−3) = 5
b = y − Y =5− 4=1
Si osservi che in questo paragrafo il punto P è considerato “fermo”, mentre sono gli assi coordinati
a traslare. Vedremo nel seguente capitolo 8 che è possibile pensare che sia il punto P a“muoversi”
in un certo sistema di riferimento cartesiano “fermo”, e che le sue coordinate vengano quindi a
cambiare in seguito a tale spostamento.
ESEMPIO 5.3 In un sistema di assi xOy èdatalacurvaγdi equazione y = x2 +2x − 4. Se si
considera la traslazione del sistema di assi di equazioni
x = X +1
y = Y − 2
l’equazione della curva γ nel sistema traslato si ottiene semplicemente sostituendo ad x il nuovo
valore X +1, ad y il nuovo valore Y − 2: si ha così Y − 2=(X +1) 2 +2(X +1)− 4 ossia, svolgendo
i calcoli e riordinando, Y = X 2 +4X +1.
ESEMPIO 5.4 Data la curva γ di equazione 2x 2 +2y 2 − 2x +2y − 7 = 0, si chiede quale traslazione
si deve effettuare affinché l’equazione di γ nel nuovo sistema non presenti termini di primo grado.
A tal fine, effettuiamo la traslazione di assi (5.1), dove i valori di a e b devono essere determinati:
sostituendo ad x il nuovo valore X + a eady il nuovo valore Y + b si ha:
2(X + a) 2 +2(Y + b) 2 − 2(X + a)+2(Y + b) − 7=0
Svolgendo i calcoli, riordinando e raccogliendo, si ottiene:
2X 2 +2Y 2 + X(4a − 2) + Y (4b +2)+2a 2 +2b 2 − 2a +2b − 7=0
Se nell’equazione non devono figurare termini di primo grado, i coefficienti di X e Y devono essere
nulli, quindi 4a − 2=0e4b +2=0, dacuia =1/2 eb = −1/2. Sostituendo tali valori nell’ultima
equazione è immediato verificare che la equazione diventa
X 2 + Y 2 − 4=0.
Pertanto, nel sistema traslato XO ′ Y ,conO ′ (1/2, −1/2), l’equazione della curva γ non presenta più
termini lineari.

il piano cartesiano 11
§ 6. FUNZIONI
Il concetto di funzione èforseilpiù importante di tutta la matematica: in questo paragrafo vogliamo
richiamare le idee fondamentali al riguardo. Cominciamo col ricordare la seguente, basilare
DEFINIZIONE 6.1 Siano A e B insiemi non vuoti: chiamiamo
funzione definita in A a valori in B una legge che ad ogni x ∈ A associa uno e un solo
y ∈ B.
Indicando con f tale legge 1 , scriveremo f : A → B; y = f(x) denoterà l’elemento y assocato ad x
dalla legge f.
Nella definizione data è da sottolineare il fatto che una funzione associa all’elemento x ∈ A un
elemento, eunosoltanto,y ∈ B: non ècioè permesso che ad un certo x vengano associati, per
esempio, due elementi y1,y2.
L’insieme A viene detto dominio o insieme di definizione della funzione, l’insieme B è detto codominio
di f.
Dato x ∈ A, l’elemento y ∈ B ad esso corrispondente, cioè y = f(x), si dice immagine di x mediante
f.
L’insieme delle immagini mediante f degli elementi x ∈ A sarà indicato con la scrittura f(A):
f(A) ={y ∈ B tali che esiste x ∈ A tale che y = f(x)}
Evidentemente f(A) rappresenta un sottoinsieme di B (in simboli f(A) ⊆ B), ed eventualmente
può coincidere con B (cioè per qualche funzione può accadere che sia f(A) =B).
Dato y ∈ B, si consideri l’insieme degli x ∈ A che sono associati ad y dalla funzione f, cioè l’insieme
degli x per i quali vale f(x) = y: tale insieme viene detto controimmagine di y mediante f e
denotato con f −1 (y). Si noti che f −1 (y) può essere vuoto o, se non è vuoto, può contenere più di
un elemento.
Infine, se Y ⊆ B, chiameremo controimmagine di Y mediante f, e denoteremo con f −1 (Y ), il
sottoinsieme di A così definito:
f −1 (Y )={x ∈ A tali che f(x) ∈ Y }.
Le definizioni e i concetti qui esposti trovano facilmente illustrazione nei seguenti esempi.
ESEMPIO 6.1 In uno dei possibili modi per rappresentare graficamente una funzione si utilizzano
i diagrammi di Eulero–Venn per indicare dominio e codominio della funzione: gli elementi x ∈ A
sono associati ai corrispondenti elementi y ∈ B tramite delle frecce (da cui il nome talora usato di
diagramma sagittale per tali rappresentazioni).
Si analizzi la situazione in figura 6.1: risulta evidentemente A = {x1,x2,x3} e B = {y1,y2,y3,y4,y5}.
In questo caso le frecce non rappresentano una funzione in quanto l’elemento x2 ∈ A è associato a
due elementi y2,y3 ∈ B, contro la definizione 6.1.
1 Sinonimi di funzione talora usati sono applicazione o mappa.

12 capitolo 1
Fig. 6.1 Il diagramma non rappresenta una funzione. Fig. 6.2 f è una funzione.
ESEMPIO 6.2 In figura 6.2 è invece effettivamente rappresentata una funzione: questo accade
quando da ogni x ∈ A parte una e una sola freccia, mentre sugli y ∈ B possono giungere nessuna,
una o più frecce.
Nell’esempio considerato, ogni elemento del dominio A èassociatoadunoeunsoloelementodel
codominio B, e precisamente f(x1) = y1, f(x2) = y2, f(x3) =y3, f(x4) =y3 (si dice che y1
è immagine di x1, y2 è immagine di x2, y3 è immagine di x3 edix4). Si noti che ai fini della
definizione di funzione è del tutto irrilevante che gli elementi x3,x4 ∈ A siano entrambi associati ad
y3 ∈ B. Gli elementi y4,y5 ∈ B non risultano associati ad alcun elemento in A.
In base alle definizioni date, in questo caso f(A) = {y1,y2,y3} è l’insieme delle immagini che,
ovviamente, è un sottoinsieme (proprio) di B; x1 è controimmagine di y1; x2 è controimmagine di y2;
x3 e x4 sono controimmagini di y3, mentre gli elementi y4,y5 ∈ B non ammettono controimmagini,
cioè f −1 (y4) =f −1 (y5) =∅.
Infine, se per esempio si considerasse il sottoinsieme Y di B: Y = {y2,y3}, risulterebbe f −1 (Y )=
{x2,x3,x4}.
6.1 Funzione suriettiva, iniettiva, biunivoca
Sia data una funzione f : A → B; si danno allora le seguenti definizioni:
DEFINIZIONE 6.2 Diciamo che f è suriettiva se l’insieme delle immagini f(A) coincide con il
codominio B, ossia se f(A) =B.
DEFINIZIONE 6.3 Diciamo che f è iniettiva se per ogni x1,x2 ∈ A con x1 = x2 si ha f(x1) = f(x2).
DEFINIZIONE 6.4 Diciamo che f è biunivoca se essa è contemporaneamente suriettiva e iniettiva.
Il significato delle precedenti definizioni è abbastanza semplice: se una funzione è suriettiva, tutti
gli elementi di B sono associati ad almeno un elemento di A: per esempio, la funzione rappresentata
in figura 6.2 non è suriettiva, in quanto, come è stato detto, gli elementi y4,y5 ∈ B non ammettono
alcuna controimmagine.
È abbastanza evidente che una funzione non suriettiva può diventare tale (o viceversa) ridefinendo
opportunamente l’insieme B: in altri termini, se si considerasse nuovamente la funzione di figura 6.2,
e si ponesse come “insieme di arrivo”, ossia come codominio, B = {y1,y2,y3}, allora la f : A → B
risulterebbe suriettiva (ovviamente una funzione f : A → f(A) risulta sempre suriettiva).

il piano cartesiano 13
In base alla definizione 6.3, una funzione risulta iniettiva se associa elementi distinti del dominio ad
elementi distinti del codominio: andando nuovamente alla situazione rappresentata in figura 6.2, è
banale osservare che f non è iniettiva in quanto i due elementi x3 e x4 (con x3 = x4) del dominio
sono associati allo stesso elemento y3 del codominio. Risulta pertanto che una funzione può non
essere né iniettiva né suriettiva: la funzione dell’esempio 6.2 ne èlariprova.
ESEMPIO 6.3 Si consideri la funzione rappresentata in figura 6.3.
Fig. 6.3 Funzione suriettiva ma non iniettiva.
Fig. 6.4 Funzione iniettiva ma non suriettiva.
È del tutto evidente che la funzione è suriettiva, in quanto f(A) ={y1,y2,y3} = B, manonè
iniettiva in quanto i due elementi distinti del dominio x1,x2 sono entrambi associati allo stesso
elemento y1 del codominio.
ESEMPIO 6.4 La funzione rappresentata in figura 6.4 risulta invece iniettiva (elementi distinti in
A sono infatti associati a elementi distinti in B), ma non è suriettiva (nessun elemento di A risulta
associato agli elementi y4,y5 ∈ B).
6.2 Funzione inversa
In precedenza abbiamo definito funzioni “definite in A a valori in B”: che A sia l’“insieme di
partenza” e B sia l’“insieme di arrivo” è graficamente indicato dalle frecce (si vedano le precedenti
figure) che individuano proprio la direzione “da A a B”.
A livello intuitivo è spontaneo chiedersi se sia possibile “invertire” il verso delle frecce: ci si può
chiedere, cioè, se invertendo il verso delle frecce (quindi procedendo da B ad A) si ottenga ancora
una funzione.
Non è difficile rendersi conto che la risposta è in generale negativa: si consideri per primo esempio
la funzione (né iniettiva né suriettiva) di figura 6.2: se “invertissimo” il verso delle frecce, tentando
di “costruire” una funzione da B ad A, ci accorgeremmo subito che l’elemento y3 ∈ B risulterebbe
associato ai due elementi x3,x4 ∈ A, contro la definizione 6.1: in questo modo non si ottiene cioè
una funzione.
Esattamente lo stesso ragionamento può essere applicato alla funzione di figura 6.3 (y1 associato a
x1 eax2).
Consideriamo allora la funzione di figura 6.4 (iniettiva ma non suriettiva): questa volta, “invertendo”
il verso delle frecce, gli elementi y4,y5 (appartenenti al dominio dell’ipotetica funzione cercata) non
risultano associati ad alcun elemento di A, ancora contro la definizione 6.1 (che – lo ricordiamo –
richiede che ad ogni elemento del dominio sia associato uno e un solo elemento del codominio).

14 capitolo 1
Si consideri ora la funzione biunivoca di figura 6.5.
Fig. 6.5 Funzione biunivoca e funzione inversa.
Si dà quindi la seguente
In questo caso ad ogni elemento di A corrisponde
unoeunsoloelementodiB, come richiesto dalla
definizione 6.1, ma anche ad ogni elemento di B
corrisponde uno e un solo elemento di A (e questo
non è richiesto dalla definizione di funzione: ciò
accade solo per le funzioni biunivoche).
In altre parole, questa volta “invertendo” il verso
delle frecce si ottiene effettivamente una funzione
definita in B a valori in A, in figura indicata con
le frecce tratteggiate.
DEFINIZIONE 6.5 Sia f : A → B, conf biunivoca. Si definisce funzione inversa, indicata con la
scrittura f −1 , la funzione f −1 : B → A che ad ogni y ∈ B associalasuacontroimmaginex ∈ A.
L’importanza delle funzioni biunivoche consiste nel fatto di ammettere funzione inversa (o, come
anche si dice, di essere invertibili).
Si osservi che se f è biunivoca, allora evidentemente anche f −1 ètale,e(f−1 ) −1 = f.
DEFINIZIONE 6.6 Dati due insiemi A, B non vuoti, diremo che gli insiemi A e B si trovano in
corrispondenza biunivoca se esiste una funzione f : A → B biunivoca.
Dati una funzione f : A → B e X ⊂ A un sottoinsieme non vuoto di A, è possibile considerare
la funzione ϕ : X → B ottenuta “restringendo” f ad X, cioèassumendo come nuovo dominio di
f l’insieme X: la funzione ϕ è detta restrizione di f ad X ed è denotata con la scrittura f|X.
Viceversa, f è detta estensione di ϕ ad A.
Come si osservava poco sopra, i caratteri di suriettività, iniettività e biunivocità possono essere
alterati restringendo o estendendo opportunamente una funzione.
6.3 Funzione composta
Vale la seguente
DEFINIZIONE 6.7 Siano A, B, C tre insiemi non vuoti, e siano f e g due funzioni tali che f : A → B
e g : B → C. Chiamiamo allora funzione composta da g ed f (nell’ordine) la funzione h : A → C
tale che h(x) =g(f(x)).
Il significato della definizione ora data è piuttosto immediato da comprendere: la funzione f associa
al generico elemento x ∈ A il generico elemento y = f(x) ∈ B; la funzione g, definita in B, associa
al generico elemento y ∈ B il generico elemento z = g(y) ∈ C.

il piano cartesiano 15
Fig. 6.6 Composizione di due funzioni.
La funzione composta h, allora, associa “direttamente” all’elemento x ∈ A l’elemento z = g(y) =
g(f(x)) ∈ C (figura 6.6).
Si osservi che se f e g sono biunivoche, anche la funzione composta h ètale.
ESEMPIO 6.5 Si considerino le due funzioni f : R → R, y = f(x) = x +1 e g : R → R,
z = g(y) = y 3 : la prima funzione alla variabile indipendente x associa la variabile dipendente
y = x + 1; la seconda funzione associa alla variabile indipendente y la variabile dipendenta z = y 3 .
L’espressione esplicita della funzione composta h : R → R sarà dunque z = h(x) =g(f(x)) =
g(y) =(x +1) 3 : l’immagine z dell’elemento x si ottiene aggiungendo ad x stesso il valore 1, ed
elevando alla terza la quantità (x +1)così ottenuta.
§ 7. FUNZIONI E LUOGHI GEOMETRICI NEL PIANO CARTESIANO
Nel paragrafo precedente è stato detto che dominio e codominio sono degli “insiemi”, senza ulteriori
specificazioni: tali insiemi e la funzione f definita tra A e B potrebbero essere intesi in infiniti modi
diversi.
ESEMPIO 7.1 Si torni a considerare figura 6.4: gli elementi x ∈ A potrebbero rappresentare dei
libri, gli y ∈ B potrebbero rappresentare i ripiani di una libreria, e la f potrebbe essere interpretata
come la funzione che associa il libro x allo scaffale y sucuiillibroè riposto (sugli scaffali y4,y5 non
si trova, quindi, alcun libro).
In questo corso non siamo tuttavia interessati ad applicazioni di questo genere, ma ci occuperemo
di funzioni matematiche.
Prima di procedere èperòcomodointrodurre la seguente
DEFINIZIONE 7.1 Dati a, b ∈ R diremo intervallo aperto di estremi a, b l’insieme di numeri reali
x tali che a

16 capitolo 1
Inoltre, con chiaro significato dei simboli, si usano anche le seguenti scritture:
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x

il piano cartesiano 17
Ai fini della comprensione di quanto seguirà, è ora importante rendersi conto che una funzione
reale di variabile reale f : A ⊆ R → R “genera”, al variare della x, un insieme di coppie ordinate
(x, f(x)): in altre parole, è possibile considerare le coppie che si ottengono attribuendo alla x valori
diversi (appartenenti al dominio di f) e calcolando ogni volta il valore dell’immagine y = f(x).
Tali coppie individuano nel piano cartesiano dei punti:
DEFINIZIONE 7.2 Data la funzione f : A ⊆ R → R, l’insieme di tutti e soli i punti del piano
cartesiano aventi per ascissa i valori della variabile indipendente x ∈ A e per ordinata i valori delle
corrispondenti immagini y = f(x) costituisce il grafico o diagramma della funzione.
ESEMPIO 7.3 Consideriamo la funzione f(x) =x 2 che associa ad un numero reale x il suo quadrato
x 2 : il dominio di f è A = R; inoltre risulta immediatamente, ad esempio, che f(0) = 0, f(1/2) =
1/4, f(1) = 1, f(2) = 4, f(−2) = 4, f(3) = 9, ecc.
Fig. 7.1 Diagramma della funzione f(x) =x 2 .
Assegnando alla x valori diversi si ottengono quindi
le coppie (0, 0), (1/2, 1/4), (1, 1), (2, 4), (−2, 4),
(3, 9), ecc. che rappresentano dei punti i quali
possono essere collocati nel piano cartesiano e
“raccordati” con un tratto continuo (ovviamente,
maggiore è il numero di tali punti e più preciso
risulterà il diagramma della funzione).
Si noti che l’insieme delle immagini f(A)è dato dall’insieme dei numeri reali positivi o nulli: [0, +∞):
infatti x 2 ≥ 0 ∀x ∈ R. Graficamente, l’insieme delle immagini è pertanto costituito dal semiasse
positivo delle ordinate.
Fig. 7.2 Grafico di una funzione f(x).
Fig. 7.3 La funzione non è iniettiva.
La situazione generale è illustrata in figura 7.2, in cui è rappresentato il grafico di una generica
funzione f : A → B, dove il dominio è l’intervallo A =[a, b] sull’asse delle x e l’insieme delle
immagini è costituito dall’intervallo [f(a),f(b)] sull’asse delle y. Il generico punto P del grafico ha
coordinate (x, f(x)).
È facile rendersi conto che la funzione rappresentata è iniettiva: considerando infatti due valori
qualunque di x1,x2 distinti, i punti corrispondenti sul grafico P1,P2 sono anch’essi distinti, e quindi
le corrispondenti immagini y1 = f(x1) ey2 = f(x2), “lette” sull’asse delle y, sono anch’esse distinte.

18 capitolo 1
La funzione è anche suriettiva? La risposta, come è stato detto, dipende da quale “insieme di
arrivo”sisceglie,ossiadacomeè definito il codominio della funzione: per esempio, se si scegliesse
B = R, allora la f non sarebbe evidentemente suriettiva, in quanto l’insieme delle immagini f(A) =
[f(a),f(b)], cioè f(A) ={y tali che f(a) ≤ y ≤ f(b)} è un sottoinsieme proprio di R(quindi f(A) =
B).
Viceversa, se si scegliesse B = f(A) =[f(a),f(b)], la funzione risulterebbe banalmente suriettiva.
In figura 7.3 è rappresentato il grafico di una funzione non iniettiva: ai due valori distinti x1,x2 del
dominio corrisponde infatti la stessa immagine y1.
DEFINIZIONE 7.3 Data la funzione reale di variabile reale y = f(x), diciamo che un numero reale
c è uno zero della funzione se si ha f(c) =0.
Gli zeri di una funzione si determinano quindi risolvendo l’equazione
f(x) =0
Graficamente gli zeri corrispondono ai punti di coordinate (c, 0), ossia ai punti in cui il grafico della
f interseca l’asse delle ascisse. Evidentemente una funzione può non ammettere zeri, ammetterne
uno o più di uno (in figura 7.2 per esempio il punto Z(c, 0) rappresenta l’unico zero per la funzione
rappresentata).
Su tale osservazione torneremo nel seguito con maggiore ampiezza.
Fig. 7.4 Il grafico non rappresenta una funzione.
Si noti che un grafico del tipo illustrato in figura
7.4 non potrà mai corrispondere al grafico di una
funzione: infatti allo stesso elemento x1 sull’asse
delle ascisse vengono a corrispondere due elementi
distinti y1,y2, contro la definizione di funzione
data.
7.1 Classificazione delle funzioni
Si torni a considerare la funzione dell’esempio 7.1 y = f(x) =x 2 + x − 1: quando la variabile
dipendente y è “isolata” in uno dei membri dell’espressione (di solito, la y si scrive al membro di
sinistra), ed i termini in x sono isolati all’altro membro (di solito, quello di destra), si dice che la
funzione è posta in forma esplicita.
Viceversa, se la variabile dipendente e la variabile indipendente si trovano entrambe in uno dei
due membri (di solito a sinistra), e l’altro membro è zero, si dice che la funzione è posta in forma
implicita: nel primo caso si scrive, come abbiamo visto, y = f(x); nel secondo caso si scrive, di
solito, F (x, y) =0.
In effetti, quest’ultima scrittura èpiù generale: per comprendere che cosa ciò significhi, ricordiamo
preliminarmente la seguente definizione, già nota al lettore:

il piano cartesiano 19
DEFINIZIONE 7.4 Chiamiamo luogo geometrico, o semplicemente luogo, l’insieme di tutti e soli i
punti che godono di una data proprietà P.
Poiché siamo interessati alla GA nel piano, i “punti” della definizione sono da intendersi come punti
del piano (anche se, evidentemente, esistono luoghi geometrici anche nello spazio).
Ora, come abbiamo visto (§1.2), in GA si viene a stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti
del piano e coppie ordinate di numeri reali; questo significa che, in linea generale, le proprietà
geometriche di un certo luogo geometrico potranno essere “tradotte” in un’opportuna forma matematica
che leghi tra loro l’ascissa x e l’ordinata y dei punti del luogo stesso: la forma matematica
che descrive il luogo sarà cioè un’equazione del tipo
F (x, y) =0 (7.1)
la quale in generale descrive una curva nel piano cartesiano (che potrebbe anche essere del tipo
rappresentato in figura 7.4, potrebbe cioè anche non essere una funzione).
Bisogna osservare che non sempre la (7.1) rappresenta una funzione: affinché ciò accada, è infatti
necessario che si riesca a stabilire una corrispondenza univoca tra x ed y, una corrispondenza cioè
che associ ad ogni valore di x uno e un solo valore di y. Per comprendere questo punto si seguano
iseguentiesempi.
ESEMPIO 7.4 Si consideri l’equazione in forma implicita F (x, y) =y −x−3 = 0: in questo semplice
caso l’equazione può essere “esplicitata” rispetto alla y, ricavando cioè lay e spostando i termini in
x al membro di destra: y = x +3;è facile convincersi che tale espressione rappresenta proprio una
funzione, in cui ad ogni valore reale della x corrisponde uno e un solo valore reale della y ottenuto
aggiungendo 3 al valore di x: la funzione è quindi definita in R, a valori in R (f : R → R). In
effetti si ha a che fare con una funzione biunivoca, quindi invertibile, e la funzione inversa si ottiene
ricavando la x, scrivendo cioè x = y − 3.
In altre parole, dato un valore per x, l’immagine si ottiene dalla y = x + 3; viceversa, dato un valore
per y, la controimmagine corrispondente si ottiene dalla x = y − 3.
ESEMPIO 7.5 Si consideri ora l’equazione in forma implicita F (x, y) =x 2 + y 2 − 9=0: come
vedremo meglio nel seguito, tale equazione rappresenta un luogo geometrico (precisamente una
circonferenza di raggio r = 3 e centro nell’origine degli assi), ma non è una funzione: infatti, se si
ricava la y in funzione di x:
y = ± 9 − x 2
si ottiene un’espressione che ad ogni valore di x associa due valori, uguali in valore assoluto ed
opposti in segno, di y (ad esempio, se x =2,sihay = ± √ 5). In altri termini, si ha a che fare con
un luogo che non può però essere rappresentato da una funzione.
Addirittura, dal punto di vista del concreto calcolo algebrico l’equazione F (x, y) =0nonsempre
può essere esplicitata rispetto ad una delle variabili: per esempio l’equazione di quinto grado
F (x, y) =x 5 + y 5 − x 2 y 3 +4=0nonè esplicitabile né rispetto alla y, né rispetto alla x.

20 capitolo 1
Non essendo questo il momento per approfondire la questione (che sarà discussa nel seguente capitolo
7), ci limitiamo a dire che i luoghi geometrici oggetto di studio nelle seguenti pagine saranno della
forma F (x, y) =0doveF (x, y) èunpolinomio di secondo grado in x einy, un polinomio cioè della
forma
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =0 (7.2)
con A, B, C, D, E, F coefficienti reali; se A = B = C = 0 il polinomio diventa evidentemente di
primo grado. Le curve corrispondenti all’equazione (7.2) sono dette coniche. 2
Concludiamo il presente sottoparagrafo osservando che le funzioni possono essere classificate in base
alla loro forma: una prima suddivisione può comprendere
1. funzioni polinomiali o razionali intere: f(x) è un polinomio (es: y = x 3 − 4x 2 +5);
2. funzioni razionali fratte: f(x) è in forma di frazione, con la variabile indipendente a denominatore:
ad esempio
y = x2 +5x− 3
x3 − 8
3. funzioni irrazionali: la variabile indipendente figura sotto il simbolo di radice: ad esempio
y = x 2 − 4 (irrazionale intera)
o
x +4
y =
(irrazionale fratta)
x − 3
Le funzioni intere, fratte e irrazionali sono dette funzioni algebriche: esistono altri tipi di importanti
funzioni non algebriche (logaritmiche, esponenziali, goniometriche, ecc), dette funzioni trascendenti,
che saranno studiate in seguito.
Per quanto riguarda la determinazione del dominio di una funzione algebrica (problema cui si
è accennato nel precedente esempio 7.2), la situazione si può facilmente riassumere nei seguenti
termini:
1. le funzioni polinomiali (cioè razionali intere) esistono per ogni valore della x;
2. le funzioni razionali fratte (cioè della forma y = A(x)/B(x) doveA(x), B(x) sono polinomi)
esistonopertuttiivaloridix per i quali B(x) = 0;
3. le funzioni irrazionali (cioè della forma y = n R(x), dove R(x) è un’espressione algebrica
intera o fratta):
a) se n è dispari, esistono per tutti i valori di x (salvo eventualmente i valori che annullano il
denominatore di R(x), se il radicando è fratto);
b) se n è pari, esistono per R(x) ≥ 0.
2 Vedremo nel seguente capitolo 7 il motivo di tale denominazione.

il piano cartesiano 21
7.2 Due “regole auree”: passaggio/appartenenza e intersezione
Alla luce delle considerazioni svolte nelle pagine precedenti, è ora possibile enunciare e comprendere
senza difficoltà due semplici “regole” di larghissimo impiego in GA.
Data una funzione y = f(x), e dato un punto del piano P (x0,y0),
a) se il punto appartiene al diagramma delle funzione, allora le sue coordinate devono soddisfare
l’equazione y = f(x), deve cioè risultarey0 = f(x0);
b) se le coordinate (x0,y0) del punto P soddisfano l’equazione y = f(x), se risulta cioè y0 = f(x0),
allora il punto appartiene al diagramma della f.
Analogamente, dato un luogo geometrico di equazione F (x, y) = 0 ed un punto del piano P (x0,y0),
c) se il punto appartiene al luogo , allora le sue coordinate devono soddisfare l’equazione F (x, y) =0,
deve cioè risultareF (x0,y0) =0;
d) se le coordinate del punto P soddisfano l’equazione F (x, y) = 0, se risulta cioè F (x0,y0) =0,
allora il punto appartiene al luogo geometrico.
ESEMPIO 7.6 Data la funzione y =2x + 4, il punto P (1, 6) appartiene al grafico della funzione? Se
sostituiamo nell’equazione della funzione i valori x0 =1ey0 = 6 si ottiene l’identità 6=2× 1+4,
e quindi P appartiene al grafico.
Il punto Q di coordinate (2, −3) non appartiene invece al grafico in quanto, sostituendo nell’equazione
data i valori x0 =2ey0 = −3 siha−3 = 2× 2+4.
In modo analogo, data la curva di equazione F (x, y) =x 2 + y 2 − 9 = 0, il punto P (2, √ 5) appartiene
alla curva in quanto, sostituendo ad x il valore 2 e ad y il valore √ 5, si ottiene l’identità
2 2 +( √ 5) 2 − 9 = 0. Il punto Q(1, 2) non appartiene alla curva in quanto 1 2 +2 2 − 9 = 0.
Si può riassumere il tutto nei seguenti termini:
REGOLA 1 Condizione di passaggio/appartenenza: dato un luogo geometrico di equazione
F (x, y) =0eunpuntodelpianoP (x0,y0), il punto appartiene al luogo se e solo se le sue
coordinate soddisfano alla equazione del luogo, ossia se e solo se risulta F (x0,y0) =0.
Analogamente, se l’equazione è data in forma esplicita y = f(x), ilpuntoP appartiene al
grafico della funzione se e solo se le sue coordinate soddisfano alla equazione y = f(x), ossia
se e solo se risulta y0 = f(x0).
Perché si parli di “condizione di appartenenza” dovrebbe risultare chiaro, in particolare dall’esempio
7.6; alla regola ora enunciata, che discende immediatamente e in modo elementare da quanto visto
in precedenza, ci si riferisce anche con il termine di “condizione di passaggio” di una curva per un
certo punto, ed il motivo di tale terminologia è comprensibile dal seguente

22 capitolo 1
ESEMPIO 7.7 Si consideri la famiglia di funzioni fk : R → R, dipendenti dal parametro reale k,
di equazione y = x 2 + k: questo significa semplicemente che assegnando a k diversi valori reali, si
ottengono diverse equazioni (per esempio, se k =1sihay = x 2 +1; sek = √ 2sihay = x 2 + √ 2,
ecc.), che rappresentano diverse curve nel piano cartesiano.
Tra tutte le infinite curve così generate, si vuole determinare la curva passante per un certo punto
fissato, per esempio per il punto P (2, −1): occorre quindi determinare il valore del parametro k in
modo tale che la curva passi per P . A tal fine è sufficiente sostituire in y = x 2 + k i valori delle
coordinate di P ,cioè x0 =2ey0 = −1, ottenendo
−1 =2 2 + k ⇒ k = −5
Pertanto tra le infinite curve rappresentate dalla y = x 2 + k, quella che passa per P ha equazione
y = x 2 − 5: si dice che si richiede o, anche, che “si impone” il passaggio della curva per P .
ESEMPIO 7.8 Siano dati la curva γ di equazione y =2x− 3 (vedremo nel seguente capitolo che si
tratta, in effetti, di una retta ) ed il punto P (2, 1): si chiede di determinare i punti di γ, se esistono,
la cui distanza da P sia √ 20.
Per risolvere il problema dobbiamo considerare un generico punto Q appartenente alla curva: se
indichiamo con x la generica ascissa di Q, la sua ordinata y risultadatada2x−3, proprio in quanto
il punto Q appartiene alla curva data: possiamo perciò dire che le coordinate di Q sono (x, 2x − 3).
In effetti, in problemi di questo tipo è conveniente, per motivi di chiarezza che saranno discussi in
seguito, indicare l’ascissa del punto generico su γ non con la lettera x, ma con altra lettera – ad
esempio a – in modo tale che la corrispondente ordinata risulti 2a − 3: in definitiva Q(a, 2a − 3).
A questo punto è sufficiente calcolare la distanza PQ tramite la (2.1):
da cui
(a − 2) 2 +(2a − 3 − 1) 2 = √ 20 ⇒ (a − 2) 2 +(2a − 4) 2 =20
5a 2 − 20a =0 ⇒ a =0∨ a =4
Si deduce che esistono due punti che soddisfano alla condizione data: uno ha ascissa x =0ed
ordinata y = −3 (ottenuta ovviamente sostituendo x =0iny =2x − 3); l’altro ha ascissa x =4ed
ordinata y =5.
Siano ora date due curve di equazioni F (x, y) =0eG(x, y) = 0: ci chiediamo se le due curve hanno
punti in comune, ossia se si intersecano e, in caso affermativo, quali sono le coordinate dei punti di
intersezione.

A tal fine si tenga presente che
il piano cartesiano 23
a) se supponiamo che il punto P (x0,y0) sia un punto di intersezione tra le due curve, esso appartiene
contemporaneamente a entrambe le curve e quindi le sue coordinate soddisfano a entrambe le
equazioni: si ha cioè F (x0,y0) =0eG(x0,y0) =0;
b) viceversa, se le coordinate di P soddisfano a entrambe le equazioni, ossia se si ha F (x0,y0) =0
e G(x0,y0) = 0, allora il punto appartiene a entrambe le curve, e quindi rappresenta un punto
di intersezione tra le due curve.
In altri termini vale la seguente
REGOLA 2 Date due curve γ1 e γ2, rispettivamente di equazioni F (x, y) =0e G(x, y) =0
(o, in forma esplicita, y = f(x) e y = g(x)), un punto P è di intersezione tra le due curve
seesoloselesuecoordinate(x0,y0) soddisfano contemporaneamente alle equazioni delle due
curve, ossia se e solo se si ha F (x0,y0) =0e G(x0,y0) =0(o, in forma esplicita, y0 = f(x0)
e y0 = g(x0)).
Dal punto di vista algebrico, determinare le intersezioni significa quindi determinare i valori di x
e y (se esistono) che soddisfano contemporaneamente alle due equazioni, il che significa risolvere il
sistema di equazioni:
F (x, y) =0
(7.3)
G(x, y) =0
o, in forma esplicita,
y = f(x)
(7.4)
y = g(x)
In proposito giova ricordare che il grado di un sistema di equazioni è dato dal prodotto dei gradi
delle singole equazioni, e che il sistema può non ammettere soluzioni: in tal caso le curve non hanno
intersezioni.
Qualora il sistema (7.3) o (7.4) dovesse ammettere due soluzioni coincidenti, i punti rappresentati
da tali soluzioni coincidono: in tal caso si dice che le due curve sono tangenti in tale punto, che èil
punto di tangenza tra le curve.
ESEMPIO 7.9 Siano date le due curve di equazione F (x, y) =x−y2 =0eG(x, y) =6y+x2−7x =0:
si vuole determinare le loro eventuali intersezioni. A tal fine è sufficiente risolvere i sistema
x − y2 =0
6y + x2 − 7x =0
Ciascuna equazione è di secondo grado, il sistema è quindi di quarto grado, ed ammette al massimo
quattro soluzioni (si ricordi che una soluzione è una coppia ordinata di numeri reali (x, y) che
soddisfano a entrambe le equazioni del sistema).

24 capitolo 1
Ricavando dalla prima equazione x = y 2 e sostituendo nella seconda, si ha y 4 − 7y 2 +6y =0:
scomponendo in fattori si ottiene y(y − 1)(y 2 + y − 6) = 0 da cui y = −3, 0, 1, 2. I corrispondenti
valori per x si ricavano subito dalla x = y 2 , in modo tale che le soluzioni sono effettivamente quattro:
(9, −3), (0, 0), (1, 1), (4, 2).
ESEMPIO 7.10 Date le due curve (funzioni) di equazioni y = x2 + x e y =3x− 1, per determinare
eventuali punti di intersezione risolviamo il sistema di secondo grado
y = x2 + x
y =3x− 1
Con banale procedimento di confronto si ha x 2 +x =3x−1 cioè x 2 −2x+1 = 0 che dà(x−1) 2 =0:
l’equazione ammette pertanto la soluzione doppia x1 = x2 = 1; il punto di coordinate (1, 2) risulta
pertanto un punto di tangenza tra le due curve: in modo equivalente si dice anche che le due curve
sono tangenti in (1, 2).
È essenziale che il lettore comprenda bene le due condizioni di appartenenza/passaggio e di
intersezione ora esposte (nel seguito per brevità ci riferiremo a tali condizioni anche con i
termini di “regola 1” e “regola 2”), in quanto per risolvere la grande maggioranza – per non
dire la totalità – dei problemi di GA si devono applicare proprio tali condizioni.
7.3 Alcune simmetrie elementari
Una discussione più generale delle trasformazioni nel piano cartesiano sarà svolta nel successivo
capitolo 8: qui ci limiteremo ad alcune semplici considerazioni elementari, la cui conoscenza è utile
sin da ora.
Cominciamo col richiamare le seguenti definizioni, che sono già note al lettore dallo studio della
geometria euclidea:
DEFINIZIONE 7.5 Chiamiamo trasformazione geometrica del piano in sé una corrispondenza biunivoca
tra i punti del piano.
Questo significa che una trasformazione geometrica è una funzione biunivoca f cheadunpunto
del piano P associa un altro punto P ′ , detto trasformato di P , (non escludendo che eventualmente
possa anche essere P = P ′ ): con notazione ormai consueta si scrive P ′ = f(P ).
Naturalmente in che modo concreto l’applicazione f associ P ′ a P dipende da come è definita
l’applicazione stessa. Per meglio comprendere tale punto, richiamiamo qualche ulteriore definizione:
DEFINIZIONE 7.6 Diciamo che due punti del piano P e P ′ sono simmetrici rispetto al punto M
se M è il punto medio del segmento PP ′ (figura 7.5). Chiamiamo simmetria centrale σM quella
trasformazione che ad ogni punto P del piano associa il suo simmetrico P ′ rispetto a M, cheè detto
centro della simmetria. Una figura è simmetrica rispetto a un punto M se ogni suo punto ha per
simmetrico rispetto a M un punto appartenente alla figura stessa; il punto M è detto centro di
simmetria della figura.

Fig. 7.5 Simmetria centrale.
il piano cartesiano 25
Fig. 7.6 Simmetria assiale.
DEFINIZIONE 7.7 Diciamo che due punti del piano P e P ′ sono simmetrici rispetto alla retta r
se r è l’asse 3 del segmento PP ′ (figura 7.6). Chiamiamo simmetria assiale σr rispetto alla retta r
quella trasformazione che ad ogni punto P del piano associa il suo simmetrico P ′ rispetto a r, cheè
detto asse della simmetria. Una figura è simmetrica rispetto a un asse r se ogni suo punto ha per
simmetrico rispetto a r un punto appartenente alla figura stessa; l’asse r è detto asse di simmetria
della figura.
La simmetria centrale e la simmetria assiale forniscono dunque due esempi concreti di trasformazioni
geometriche del piano in sé.
Assegnato ora un sistema di assi cartesiani ortogonali, e fissato un punto P (x, y), ci chiediamo quali
coordinate avrà il punto P ′ simmetrico di P rispetto all’asse x, quali coordinate avrà il punto P ′′
simmetrico di P rispetto all’asse y, quali coordinate avrà il punto P ′′′ simmetrico di P rispetto
all’origine O(0, 0) del sistema.
Fig. 7.7 Simmetrie rispetto ad assi e origine.
Osservando figura 7.7 ci si convince subito che
a) le coordinate di P ′ (x ′ ,y ′ ), simmetrico di P (x, y) rispetto
all’asse x, si ottengono lasciando invariata la x e
cambiando il segno alla y;
b) le coordinate di P ′′ (x ′′ ,y ′′ ), simmetrico di P (x, y) rispetto
all’asse y, si ottengono lasciando invariata la y e
cambiando il segno alla x;
c) le coordinate di P ′′′ (x ′′′ ,y ′′′ ), simmetrico di P (x, y) rispetto
all’origine O(0, 0), si ottengono cambiando il
segno sia alla x sia alla y.
ESEMPIO 7.11 Dato il punto P (3, 2), il simmetrico di P rispetto all’asse x è P ′ (3, −2); il simmetrico
P ′′ rispetto all’asse y è P ′′ (−3, 2); il simmetrico P ′′′ rispetto all’origine degli assi è P ′′′ (−3, −2).
3
ricordiamo che si dice asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento, passante per il punto medio del
segmento stesso.

26 capitolo 1
L’individuazione dei simmetrici rispetto agli assi è del tutto evidente; per quanto riguarda la determinazione
del simmetrico rispetto all’origine, si può osservare che in questo caso il punto O(0, 0)
deve risultare il punto medio tra P (x, y) e il simmetrico rispetto ad OP ′ (x ′ ,y ′ ), e quindi in base
alla (3.1) deve essere
x + x ′
y + y
=0 ∧
2 ′
2 =0
dacuisihaimmediatamentex ′ = −x e y ′ = −y, relazioni che esprimono la “regola” enunciata al
punto (c).
Sia ora data una funzione reale di variabile reale f : A → B, y = f(x), il cui grafico è γ (figura 7.8):
Fig. 7.8 Grafici simmetrici rispetto all’asse x. Fig. 7.9 Grafici simmetrici rispetto all’asse y.
sulla base di quanto ora visto, per scrivere l’equazione della funzione che ha il grafico simmetrico
rispetto all’asse delle x sarà sufficiente lasciare invariata la x e cambiare di segno alla y: l’equazione
è quindi −y = f(x), ossia y = −f(x).
Fig. 7.10 Grafici simmetrici rispetto all’origine.
In sintesi, data la funzione y = f(x),
Analogamente, per scrivere l’equazione della funzione che
ha il grafico simmetrico rispetto all’asse delle y (figura 7.9)
sarà sufficiente lasciare invariata la y e cambiare di segno
alla x: l’equazione è quindi y = f(−x).
Infine, per scrivere l’equazione della funzione che ha il grafico
simmetrico rispetto all’origine (figura 7.10) sarà sufficiente
cambiare segno sia alla y sia alla x: l’equazione è
quindi −y = f(−x), o meglio y = −f(−x).
a) la funzione con grafico simmetrico rispetto all’asse x ha equazione: y = −f(x);
b) la funzione con grafico simmetrico rispetto all’asse y ha equazione: y = f(−x);
c) la funzione con grafico simmetrico rispetto all’origine ha equazione: y = −f(−x)
Le sostituzioni da effettuarsi nell’equazione y = f(x) si possono sinteticamente indicare, con significato
di scrittura che dovrebbe risultare chiaro, come nella seguente tabella 7.1:

il piano cartesiano 27
simmetria rispetto a:
asse x asse y origine
x → x
y →−y
x →−x
y → y
x →−x
y →−y
Tabella 7.1 Simmetrie elementari.
Le sostituzioni ora viste possono essere applicate anche al caso di curve poste in forma implicita
F (x, y) =0: ciò significa che, data la curva di equazione F (x, y) =0,
a) la curva con grafico simmetrico rispetto all’asse x ha equazione: F (x, −y) =0;
b) la curva con grafico simmetrico rispetto all’asse y ha equazione: F (−x, y) =0;
c) la curva con grafico simmetrico rispetto all’origine ha equazione: F (−x, −y) =0
ESEMPIO 7.12 Data la funzione polinomiale di equazione y = f(x) =2x 3 − 2x 2 +3,
• l’equazione della funzione che ha grafico simmetrico rispetto all’asse delle x è
−y =2x 3 − 2x 2 +3 cioè y = −2x 3 +2x 2 − 3
• l’ equazione della funzione che ha grafico simmetrico rispetto all’asse delle y è
y =2(−x) 3 − 2(−x) 2 +3 cioè y = −2x 3 − 2x 2 +3
• l’equazione della funzione che ha grafico simmetrico rispetto all’origine è
−y =2(−x) 3 − 2(−x) 2 +3 cioè y =2x 3 +2x 2 − 3
In modo del tutto analogo, data la curva (luogo) di equazione F (x, y) =x 2 + y 2 +2x − 3y − 1=0
• l’equazione della curva che ha grafico simmetrico rispetto all’asse delle x è
F (x, −y) =x 2 +(−y) 2 +2x − 3(−y) − 1=0 cioè x 2 + y 2 +2x +3y − 1=0
• l’ equazione della curva che ha grafico simmetrico rispetto all’asse delle y è
F (−x, y) =(−x) 2 + y 2 +2(−x) − 3y − 1=0 cioè x 2 + y 2 − 2x − 3y − 1=0
• l’equazione della curva che ha grafico simmetrico rispetto all’origine è
F (−x, −y) =(−x) 2 +(−y) 2 +2(−x) − 3(−y) − 1=0 cioè x 2 + y 2 − 2x +3y − 1=0

28 capitolo 1
7.4 Funzioni pari e dispari
Supponiamo infine che sia data una funzione di equazione y = f(x) (o una curva in forma implicita
F (x, y) = 0), definita su tutto l’asse reale, o su un sottoinsieme di R che sia però simmetrico rispetto
all’origine (come potrebbe essere, per esempio, l’intervallo [−5, 5]).
Valgono allora le seguenti definizioni:
DEFINIZIONE 7.8 Se, effettuando la sostituzione x →−x, la funzione non cambia, cioè sesiha
f(−x) =f(x), la funzione è detta funzione pari ed il grafico della funzione è simmetrico rispetto
all’asse delle y. In forma implicita la curva èpariseF (−x, y) =F (x, y).
DEFINIZIONE 7.9 Se, effettuando la sostituzione x →−x, la funzione cambia segno, cioè sesiha
f(−x) =−f(x), la funzione è detta funzione dispari ed il grafico della funzione è simmetrico rispetto
all’origine del sistema di riferimento. In forma implicita la curva èdispariseF (−x, −y) =F (x, y).
La situazione è illustrata nelle figure 7.11 e 7.12.
Fig. 7.11 Funzione pari. Fig. 7.12 Funzione dispari.
Naturalmente una funzione può non essere né pariné dispari: tuttavia, verificare l’eventuale parità
della funzione permette di determinare subito eventuali simmetrie del grafico della funzione. Per
effettuare tale verifica, è sufficiente sostituire −x al posto di x evederesel’espressionecheintal
modo si ottiene è uguale alla funzione f data (e allora f è pari) oppure è uguale alla funzione data
cambiata di segno (e allora f èdispari).
ESEMPIO 7.13 Data la funzione y = f(x) =x 3 − 2x, si vuole determinare l’eventuale parità:
a tal fine calcoliamo f(−x) =(−x) 3 − 2(−x) cioè f(−x) =−x 3 +2x ≡−(x 3 − 2x): essendo
f(−x) =−f(x), la funzione èdispari,edè pertanto simmetrica rispetto all’origine degli assi.
Ripetiamo il calcolo con la funzione y = f(x) =x 4 +4x 2 − 3: si ha f(−x) =(−x) 4 +4(−x) 2 − 3 ≡
x 4 +4x 2 − 3: poiché f(−x) =f(x) la funzione è pari, ed il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse
y.
Per la funzione y = x 2 − 2x + 3 si ha infine f(−x) =(−x) 2 − 2(−x)+3=x 2 +2x + 3: quest’ultima
espressione non èné uguale alla funzione di partenza, né uguale alla sua opposta: f non risulta
quindi né pariné dispari, e non presenta simmetrie evidenti.
ESEMPIO 7.14 Verifichiamo che la curva di equazione F (x, y) =3x 2 + y 2 − 1=0è pari: infatti
F (−x, y) =3(−x) 2 + y 2 − 1=3x 2 + y 2 − 1=F (x, y).

il piano cartesiano 29
La curva di equazione F (x, y) =xy − 1=0è invece dispari: infatti F (−x, −y) =(−x)(−y) − 1=
xy − 1 ≡ F (x, y).