ELEMENTI DI MATEMATICA Volume primo - Ivan Cervesato

6 capitolo 1
§ 3. PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
Assegnato un segmento PQ di estremi P (x1,y1) eQ(x2,y2), vogliamo determinare le coordinate
del punto medio M del segmento stesso (figura 3.1).
Siano A, B le proiezioni di P, Q sull’asse delle ascisse, e siano
C, D le proiezioni di P, Q sull’asse delle ordinate. Consideriamo
ora le tre rette passanti per A, P la prima, per M,H la seconda,
per Q, B la terza: essendo PM = QM, per il teorema di Talete
applicato a tali rette tagliate dalle due trasversali passanti per
P, Q eperA, B, risulta subito che AH = HB. Allora l’ascissa
xM del punto medio M risulta uguale all’ascissa di H, punto
medio di AB: in base alla (1.2) si ha quindi
xM = x1 + x2
2
Fig. 3.1 Punto medio di un segmento.
In modo del tutto analogo si ha CK = KD e quindi l’ordinata yM di M è data dall’ordinata del
punto medio del segmento CD: ancora in base alla (1.2) si ha
In definitiva
yM = y1 + y2
2
l’ascissa e l’ordinata del punto medio M di un segmento PQ sono date rispettivamente dalla
media aritmentica delle ascisse e dalla media aritmetica delle ordinate degli estremi del
segmento:
x1 + x2
M(xM,yM) =M ,
2
y1
+ y2
2
ESEMPIO 3.1 Il punto medio M di un segmento PQ ha coordinate (3, −5); l’estremo P ha coordinate
(1, −3): si chiede di determinare le coordinate di Q.
A tal fine è sufficiente utilizzare la (3.1) nella quale sono considerate come incognite le coordinate
di Q:
xM = xP + xQ
2
ossia
3= 1+xQ
2
da cui è immediato ricavare xQ =5eyQ = −7.
yM = yP + yQ
2
− 5= −3+yQ
2
ESEMPIO 3.2 Sono dati i due punti P (2,k − 1) e Q(k +2, 3k): si chiede per quali valori di k il
punto medio M di PQ ha ascissa ed ordinata uguali.
(3.1)