ELEMENTI DI MATEMATICA Volume primo - Ivan Cervesato

18 capitolo 1
La funzione è anche suriettiva? La risposta, come è stato detto, dipende da quale “insieme di
arrivo”sisceglie,ossiadacomeè definito il codominio della funzione: per esempio, se si scegliesse
B = R, allora la f non sarebbe evidentemente suriettiva, in quanto l’insieme delle immagini f(A) =
[f(a),f(b)], cioè f(A) ={y tali che f(a) ≤ y ≤ f(b)} è un sottoinsieme proprio di R(quindi f(A) =
B).
Viceversa, se si scegliesse B = f(A) =[f(a),f(b)], la funzione risulterebbe banalmente suriettiva.
In figura 7.3 è rappresentato il grafico di una funzione non iniettiva: ai due valori distinti x1,x2 del
dominio corrisponde infatti la stessa immagine y1.
DEFINIZIONE 7.3 Data la funzione reale di variabile reale y = f(x), diciamo che un numero reale
c è uno zero della funzione se si ha f(c) =0.
Gli zeri di una funzione si determinano quindi risolvendo l’equazione
f(x) =0
Graficamente gli zeri corrispondono ai punti di coordinate (c, 0), ossia ai punti in cui il grafico della
f interseca l’asse delle ascisse. Evidentemente una funzione può non ammettere zeri, ammetterne
uno o più di uno (in figura 7.2 per esempio il punto Z(c, 0) rappresenta l’unico zero per la funzione
rappresentata).
Su tale osservazione torneremo nel seguito con maggiore ampiezza.
Fig. 7.4 Il grafico non rappresenta una funzione.
Si noti che un grafico del tipo illustrato in figura
7.4 non potrà mai corrispondere al grafico di una
funzione: infatti allo stesso elemento x1 sull’asse
delle ascisse vengono a corrispondere due elementi
distinti y1,y2, contro la definizione di funzione
data.
7.1 Classificazione delle funzioni
Si torni a considerare la funzione dell’esempio 7.1 y = f(x) =x 2 + x − 1: quando la variabile
dipendente y è “isolata” in uno dei membri dell’espressione (di solito, la y si scrive al membro di
sinistra), ed i termini in x sono isolati all’altro membro (di solito, quello di destra), si dice che la
funzione è posta in forma esplicita.
Viceversa, se la variabile dipendente e la variabile indipendente si trovano entrambe in uno dei
due membri (di solito a sinistra), e l’altro membro è zero, si dice che la funzione è posta in forma
implicita: nel primo caso si scrive, come abbiamo visto, y = f(x); nel secondo caso si scrive, di
solito, F (x, y) =0.
In effetti, quest’ultima scrittura èpiù generale: per comprendere che cosa ciò significhi, ricordiamo
preliminarmente la seguente definizione, già nota al lettore: