ELEMENTI DI MATEMATICA Volume primo - Ivan Cervesato

10 capitolo 1
ESEMPIO 5.1 Un punto P ha coordinate x =5,y = −3 rispetto a un sistema di riferimento S. Sesi
considera un sistema traslato S ′ la cui origine è O ′ (−2, −3) (quindi a = −2,b= −3), le coordinate
di P rispetto al nuovo sistema sono ottenute utilizzando le (5.2):
X =5− (−2) = 7
Y = −3 − (−3) = 0
ESEMPIO 5.2 Un punto P ha coordinate x =2,y = 5 in un sistema S, e coordinate X = −3,Y =4
in un sistema S ′ traslato rispetto ad S. LecoordinatediO ′ , origine di S ′ , possono essere allora
ricavate immediatamente come: a = x − X =2− (−3) = 5
b = y − Y =5− 4=1
Si osservi che in questo paragrafo il punto P è considerato “fermo”, mentre sono gli assi coordinati
a traslare. Vedremo nel seguente capitolo 8 che è possibile pensare che sia il punto P a“muoversi”
in un certo sistema di riferimento cartesiano “fermo”, e che le sue coordinate vengano quindi a
cambiare in seguito a tale spostamento.
ESEMPIO 5.3 In un sistema di assi xOy èdatalacurvaγdi equazione y = x2 +2x − 4. Se si
considera la traslazione del sistema di assi di equazioni
x = X +1
y = Y − 2
l’equazione della curva γ nel sistema traslato si ottiene semplicemente sostituendo ad x il nuovo
valore X +1, ad y il nuovo valore Y − 2: si ha così Y − 2=(X +1) 2 +2(X +1)− 4 ossia, svolgendo
i calcoli e riordinando, Y = X 2 +4X +1.
ESEMPIO 5.4 Data la curva γ di equazione 2x 2 +2y 2 − 2x +2y − 7 = 0, si chiede quale traslazione
si deve effettuare affinché l’equazione di γ nel nuovo sistema non presenti termini di primo grado.
A tal fine, effettuiamo la traslazione di assi (5.1), dove i valori di a e b devono essere determinati:
sostituendo ad x il nuovo valore X + a eady il nuovo valore Y + b si ha:
2(X + a) 2 +2(Y + b) 2 − 2(X + a)+2(Y + b) − 7=0
Svolgendo i calcoli, riordinando e raccogliendo, si ottiene:
2X 2 +2Y 2 + X(4a − 2) + Y (4b +2)+2a 2 +2b 2 − 2a +2b − 7=0
Se nell’equazione non devono figurare termini di primo grado, i coefficienti di X e Y devono essere
nulli, quindi 4a − 2=0e4b +2=0, dacuia =1/2 eb = −1/2. Sostituendo tali valori nell’ultima
equazione è immediato verificare che la equazione diventa
X 2 + Y 2 − 4=0.
Pertanto, nel sistema traslato XO ′ Y ,conO ′ (1/2, −1/2), l’equazione della curva γ non presenta più
termini lineari.