ELEMENTI DI MATEMATICA Volume primo - Ivan Cervesato

26 capitolo 1
L’individuazione dei simmetrici rispetto agli assi è del tutto evidente; per quanto riguarda la determinazione
del simmetrico rispetto all’origine, si può osservare che in questo caso il punto O(0, 0)
deve risultare il punto medio tra P (x, y) e il simmetrico rispetto ad OP ′ (x ′ ,y ′ ), e quindi in base
alla (3.1) deve essere
x + x ′
y + y
=0 ∧
2 ′
2 =0
dacuisihaimmediatamentex ′ = −x e y ′ = −y, relazioni che esprimono la “regola” enunciata al
punto (c).
Sia ora data una funzione reale di variabile reale f : A → B, y = f(x), il cui grafico è γ (figura 7.8):
Fig. 7.8 Grafici simmetrici rispetto all’asse x. Fig. 7.9 Grafici simmetrici rispetto all’asse y.
sulla base di quanto ora visto, per scrivere l’equazione della funzione che ha il grafico simmetrico
rispetto all’asse delle x sarà sufficiente lasciare invariata la x e cambiare di segno alla y: l’equazione
è quindi −y = f(x), ossia y = −f(x).
Fig. 7.10 Grafici simmetrici rispetto all’origine.
In sintesi, data la funzione y = f(x),
Analogamente, per scrivere l’equazione della funzione che
ha il grafico simmetrico rispetto all’asse delle y (figura 7.9)
sarà sufficiente lasciare invariata la y e cambiare di segno
alla x: l’equazione è quindi y = f(−x).
Infine, per scrivere l’equazione della funzione che ha il grafico
simmetrico rispetto all’origine (figura 7.10) sarà sufficiente
cambiare segno sia alla y sia alla x: l’equazione è
quindi −y = f(−x), o meglio y = −f(−x).
a) la funzione con grafico simmetrico rispetto all’asse x ha equazione: y = −f(x);
b) la funzione con grafico simmetrico rispetto all’asse y ha equazione: y = f(−x);
c) la funzione con grafico simmetrico rispetto all’origine ha equazione: y = −f(−x)
Le sostituzioni da effettuarsi nell’equazione y = f(x) si possono sinteticamente indicare, con significato
di scrittura che dovrebbe risultare chiaro, come nella seguente tabella 7.1: