ELEMENTI DI MATEMATICA Volume primo - Ivan Cervesato

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8 capitolo 1 Inoltre, dalle definizioni date risulta subito che il circocentro e l’incentro sono rispettivamente il centro della circonferenza circoscritta al triangolo e il centro della circonferenza inscritta nel triangolo. Con riferimento a figura 4.2, vogliamo ora determinare le coordinate del baricentro del triangolo ABC, di vertici A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC). Siano D, E, F i punti medi dei lati del triangolo, e sia G il baricentro. In base al teorema 4.1, risulta AG =2GE, e quindi per il teorema di Talete A ′ G ′ =2G ′ E ′ : ricordando quanto detto sulla distanza tra due punti, quest’ultima relazione viene a scriversi come xG − xA =2(xE − xG) ossia, ricavando xG: xG = 2xE + xA 3 (4.1) Essendo però E il punto medio del lato BC, in base alla (3.1) si ha ossia Sostituendo la (4.2) nella (4.1) si ottiene subito xE = xB + xC 2 2xE = xB + xC xG = xA + xB + xC 3 Fig. 4.2 Baricentro di un triangolo. In modo del tutto analogo si procede per determinare l’ordinata di G: in definitiva le coordinate del baricentro G(xG,yG) di un triangolo ABC di vertici A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC) risultano essere: xG = xA + xB + xC 3 yG = yA + yB + yC 3 Risulta del tutto evidente, quindi, che le (4.3) consentono di trovare le coordinate del baricentro se sono note le coordinate dei tre vertici. Bisogna però ricordarsi che le equazioni possono essere utilizzate anche per determinare, per esempio, un vertice, note che siano le coordinate di G, come risulta con chiarezza dal seguente (4.2) (4.3)
il piano cartesiano 9 ESEMPIO 4.1 Nel triangolo ABC si ha A(−2, 1) e B(4, 6), ed il baricentro è il punto G(2, −1). Ascissa e ordinata del vertice C siano rispettivamente h e k: si abbia cioè C(h, k) (avremmo anche potuto scrivere C(xC,yC), naturalmente): per determinare le coordinate di C è sufficiente utilizzare le (4.3) dove xA,yA,xB,yB,xG,yG sono quantità note, e le incognite sono xC = h e yC = k: 2= −2+4+h 3 da cui xC = h =4eyC = k = −10. − 1= 1+6+k 3 § 5. TRASLAZIONE DEGLI ASSI COOR<strong>DI</strong>NATI Come abbiamo visto, è possibile fissare un sistema di assi cartesiani nel piano: non esiste però un unico modo di scegliere il sistema di assi, ma in effetti ve ne sono infiniti. Per comprendere meglio la questione, consideriamo il sistema di riferimento xOy, nelqualeè dato un punto P (xP ,yP )(per fissare le idee supponiamo che P appartenga al I quadrante). Fig. 5.1 Traslazione degli assi. Consideriamo quindi un secondo sistema S ′ di assi cartesiani ortogonali, che indicheremo con XO ′ Y per differenziarlo da S, che abbia gli assi X, Y rispettivamente paralleli agli assi x, y e con uguale orientazione (figura 5.1): si tratta quindi di una traslazione degli assi. L’origine di S ′ sia O ′ (a, b), dove l’ascissa a e l’ordinata b di O ′ sono evidentemente riferite ad S (come sappiamo, nel sistema S ′ l’origine ha coordinate entrambe nulle). Anche in questo caso per fissare le idee supporremo che O ′ appartenga al I quadrante del sistema S. Indicando con XP e YP le coordinate di P rispetto al nuovo sistema di riferimento, vogliamo ora determinare una relazione che consenta di passare dalle vecchie coordinate xP e yP alle nuove e viceversa, conoscendo la posizione dell’origine O ′ . Con riferimento alla figura 5.1, è immediato osservare che OB = BH + OH e OA = AK + OK; essendo nel contempo OH = a, OK = b, BH = XP , AK = YP , OB = xP , OA = yP ,siottengono subito le equazioni xP = XP + a yP = YP + b Se indichiamo genericamente le coordinate di P nei due sistemi S e S ′ rispettivamente con (x, y) e con (X, Y ), le relazioni di trasformazione delle coordinate vengono a scriversi semplicemente: x = X + a (5.1) y = Y + b o anche X = x − a (5.2) Y = y − b Le (5.1)(5.2) permettono pertanto di passare dalle coordinate di un punto rispetto ad un certo sistema, alle coordinate dello stesso punto rispetto ad un sistema traslato rispetto al <strong>primo</strong>. Tali relazioni valgono anche nel caso in cui P od O ′ appartengano a quadranti diversi dal I: sono cioè relazioni del tutto generali, anche se ricavate sotto le ipotesi fatte.
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