ELEMENTI DI MATEMATICA Volume primo - Ivan Cervesato

4 capitolo 1
quota di P (figura 1.4).
Benchè sia possibile, come si intuisce, sviluppare una Geometria Analitica nello spazio tridimensionale,
non approfondiremo tale caso in quanto la nostra trattazione sarà limitata al caso bidimensionale.
È tuttavia interessante osservare che dal punto di vista matematico si possono definire spazi a più
di tre dimensioni: infatti, se in un certo senso la retta può essere identificata con i numeri reali, il
piano con coppie ordinate di numeri reali e lo spazio con terne ordinate di numeri reali, in modo
intuitivo si potrà dire che le quaterne ordinate di numeri reali (x1,x2,x3,x4) “definiscono” uno
spazioa4dimensionie,più in generale, una n-upla ordinata di numeri reali “definisce” uno spazio a
n dimensioni: il discorso, a questo livello posto sul piano dell’analogia con quanto accade in una, in
due e in tre dimensioni, può essere reso del tutto rigoroso, come vedrà lo studente che approfondirà
il tema in sede universitaria.
Si può comunque aggiungere che spazi multidimensionali sono spesso usati in svariati ambiti,
dall’Economia alla Fisica: ad esempio, in Teoria della Relatività si fa normalmente uso di uno
spazioa4dimensioni,mentrenellacosiddettaTeoriadellestringhesiutilizzano spazi a 10 o più
dimensioni.
§ 2. DISTANZA TRA DUE PUNTI
Pertanto
Fig. 2.1 Distanza tra due punti.
Dati due punti nel piano cartesiano: P (x1,y1) eQ(x2,y2), ci
proponiamo di ricavare una espressione che dia la lunghezza del
segmento PQ. A tal fine, applicando il teorema di Pitagora al
triangolo rettangolo PQH (figura 2.1) si ricava immediatamente
che
PQ 2 = PH 2 + QH 2
Ora, osservando banalmente che PH = AB = |x2 − x1| eche
QH = CD = |y2 − y1| (si ricordi la (1.1) applicata ai segmenti
PH = AB, QH = CD paralleli, rispettivamente, all’asse delle
ascisse e all’asse delle ordinate) si ha subito la formula cercata:
PQ = (x2 − x1) 2 +(y2 − y1) 2 (2.1)
la distanza tra due punti è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze
delle coordinate omonime dei due punti.
Si tengano presenti le seguenti osservazioni:
1. Non ha importanza l’ordine con cui si effettua la differenza tra coordinate omonime, in quanto,
ad esempio, (x1 − x2) 2 ≡ (x2 − x1) 2 .