ELEMENTI DI MATEMATICA Volume primo - Ivan Cervesato

24 capitolo 1
Ricavando dalla prima equazione x = y 2 e sostituendo nella seconda, si ha y 4 − 7y 2 +6y =0:
scomponendo in fattori si ottiene y(y − 1)(y 2 + y − 6) = 0 da cui y = −3, 0, 1, 2. I corrispondenti
valori per x si ricavano subito dalla x = y 2 , in modo tale che le soluzioni sono effettivamente quattro:
(9, −3), (0, 0), (1, 1), (4, 2).
ESEMPIO 7.10 Date le due curve (funzioni) di equazioni y = x2 + x e y =3x− 1, per determinare
eventuali punti di intersezione risolviamo il sistema di secondo grado
y = x2 + x
y =3x− 1
Con banale procedimento di confronto si ha x 2 +x =3x−1 cioè x 2 −2x+1 = 0 che dà(x−1) 2 =0:
l’equazione ammette pertanto la soluzione doppia x1 = x2 = 1; il punto di coordinate (1, 2) risulta
pertanto un punto di tangenza tra le due curve: in modo equivalente si dice anche che le due curve
sono tangenti in (1, 2).
È essenziale che il lettore comprenda bene le due condizioni di appartenenza/passaggio e di
intersezione ora esposte (nel seguito per brevità ci riferiremo a tali condizioni anche con i
termini di “regola 1” e “regola 2”), in quanto per risolvere la grande maggioranza – per non
dire la totalità – dei problemi di GA si devono applicare proprio tali condizioni.
7.3 Alcune simmetrie elementari
Una discussione più generale delle trasformazioni nel piano cartesiano sarà svolta nel successivo
capitolo 8: qui ci limiteremo ad alcune semplici considerazioni elementari, la cui conoscenza è utile
sin da ora.
Cominciamo col richiamare le seguenti definizioni, che sono già note al lettore dallo studio della
geometria euclidea:
DEFINIZIONE 7.5 Chiamiamo trasformazione geometrica del piano in sé una corrispondenza biunivoca
tra i punti del piano.
Questo significa che una trasformazione geometrica è una funzione biunivoca f cheadunpunto
del piano P associa un altro punto P ′ , detto trasformato di P , (non escludendo che eventualmente
possa anche essere P = P ′ ): con notazione ormai consueta si scrive P ′ = f(P ).
Naturalmente in che modo concreto l’applicazione f associ P ′ a P dipende da come è definita
l’applicazione stessa. Per meglio comprendere tale punto, richiamiamo qualche ulteriore definizione:
DEFINIZIONE 7.6 Diciamo che due punti del piano P e P ′ sono simmetrici rispetto al punto M
se M è il punto medio del segmento PP ′ (figura 7.5). Chiamiamo simmetria centrale σM quella
trasformazione che ad ogni punto P del piano associa il suo simmetrico P ′ rispetto a M, cheè detto
centro della simmetria. Una figura è simmetrica rispetto a un punto M se ogni suo punto ha per
simmetrico rispetto a M un punto appartenente alla figura stessa; il punto M è detto centro di
simmetria della figura.