ELEMENTI DI MATEMATICA Volume primo - Ivan Cervesato

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20 capitolo 1 Non essendo questo il momento per approfondire la questione (che sarà discussa nel seguente capitolo 7), ci limitiamo a dire che i luoghi geometrici oggetto di studio nelle seguenti pagine saranno della forma F (x, y) =0doveF (x, y) èunpolinomio di secondo grado in x einy, un polinomio cioè della forma Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =0 (7.2) con A, B, C, D, E, F coefficienti reali; se A = B = C = 0 il polinomio diventa evidentemente di <strong>primo</strong> grado. Le curve corrispondenti all’equazione (7.2) sono dette coniche. 2 Concludiamo il presente sottoparagrafo osservando che le funzioni possono essere classificate in base alla loro forma: una prima suddivisione può comprendere 1. funzioni polinomiali o razionali intere: f(x) è un polinomio (es: y = x 3 − 4x 2 +5); 2. funzioni razionali fratte: f(x) è in forma di frazione, con la variabile indipendente a denominatore: ad esempio y = x2 +5x− 3 x3 − 8 3. funzioni irrazionali: la variabile indipendente figura sotto il simbolo di radice: ad esempio y = x 2 − 4 (irrazionale intera) o x +4 y = (irrazionale fratta) x − 3 Le funzioni intere, fratte e irrazionali sono dette funzioni algebriche: esistono altri tipi di importanti funzioni non algebriche (logaritmiche, esponenziali, goniometriche, ecc), dette funzioni trascendenti, che saranno studiate in seguito. Per quanto riguarda la determinazione del dominio di una funzione algebrica (problema cui si è accennato nel precedente esempio 7.2), la situazione si può facilmente riassumere nei seguenti termini: 1. le funzioni polinomiali (cioè razionali intere) esistono per ogni valore della x; 2. le funzioni razionali fratte (cioè della forma y = A(x)/B(x) doveA(x), B(x) sono polinomi) esistonopertuttiivaloridix per i quali B(x) = 0; 3. le funzioni irrazionali (cioè della forma y = n R(x), dove R(x) è un’espressione algebrica intera o fratta): a) se n è dispari, esistono per tutti i valori di x (salvo eventualmente i valori che annullano il denominatore di R(x), se il radicando è fratto); b) se n è pari, esistono per R(x) ≥ 0. 2 Vedremo nel seguente capitolo 7 il motivo di tale denominazione.
il piano cartesiano 21 7.2 Due “regole auree”: passaggio/appartenenza e intersezione Alla luce delle considerazioni svolte nelle pagine precedenti, è ora possibile enunciare e comprendere senza difficoltà due semplici “regole” di larghissimo impiego in GA. Data una funzione y = f(x), e dato un punto del piano P (x0,y0), a) se il punto appartiene al diagramma delle funzione, allora le sue coordinate devono soddisfare l’equazione y = f(x), deve cioè risultarey0 = f(x0); b) se le coordinate (x0,y0) del punto P soddisfano l’equazione y = f(x), se risulta cioè y0 = f(x0), allora il punto appartiene al diagramma della f. Analogamente, dato un luogo geometrico di equazione F (x, y) = 0 ed un punto del piano P (x0,y0), c) se il punto appartiene al luogo , allora le sue coordinate devono soddisfare l’equazione F (x, y) =0, deve cioè risultareF (x0,y0) =0; d) se le coordinate del punto P soddisfano l’equazione F (x, y) = 0, se risulta cioè F (x0,y0) =0, allora il punto appartiene al luogo geometrico. ESEMPIO 7.6 Data la funzione y =2x + 4, il punto P (1, 6) appartiene al grafico della funzione? Se sostituiamo nell’equazione della funzione i valori x0 =1ey0 = 6 si ottiene l’identità 6=2× 1+4, e quindi P appartiene al grafico. Il punto Q di coordinate (2, −3) non appartiene invece al grafico in quanto, sostituendo nell’equazione data i valori x0 =2ey0 = −3 siha−3 = 2× 2+4. In modo analogo, data la curva di equazione F (x, y) =x 2 + y 2 − 9 = 0, il punto P (2, √ 5) appartiene alla curva in quanto, sostituendo ad x il valore 2 e ad y il valore √ 5, si ottiene l’identità 2 2 +( √ 5) 2 − 9 = 0. Il punto Q(1, 2) non appartiene alla curva in quanto 1 2 +2 2 − 9 = 0. Si può riassumere il tutto nei seguenti termini: REGOLA 1 Condizione di passaggio/appartenenza: dato un luogo geometrico di equazione F (x, y) =0eunpuntodelpianoP (x0,y0), il punto appartiene al luogo se e solo se le sue coordinate soddisfano alla equazione del luogo, ossia se e solo se risulta F (x0,y0) =0. Analogamente, se l’equazione è data in forma esplicita y = f(x), ilpuntoP appartiene al grafico della funzione se e solo se le sue coordinate soddisfano alla equazione y = f(x), ossia se e solo se risulta y0 = f(x0). Perché si parli di “condizione di appartenenza” dovrebbe risultare chiaro, in particolare dall’esempio 7.6; alla regola ora enunciata, che discende immediatamente e in modo elementare da quanto visto in precedenza, ci si riferisce anche con il termine di “condizione di passaggio” di una curva per un certo punto, ed il motivo di tale terminologia è comprensibile dal seguente
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