ELEMENTI DI MATEMATICA Volume primo - Ivan Cervesato

22 capitolo 1
ESEMPIO 7.7 Si consideri la famiglia di funzioni fk : R → R, dipendenti dal parametro reale k,
di equazione y = x 2 + k: questo significa semplicemente che assegnando a k diversi valori reali, si
ottengono diverse equazioni (per esempio, se k =1sihay = x 2 +1; sek = √ 2sihay = x 2 + √ 2,
ecc.), che rappresentano diverse curve nel piano cartesiano.
Tra tutte le infinite curve così generate, si vuole determinare la curva passante per un certo punto
fissato, per esempio per il punto P (2, −1): occorre quindi determinare il valore del parametro k in
modo tale che la curva passi per P . A tal fine è sufficiente sostituire in y = x 2 + k i valori delle
coordinate di P ,cioè x0 =2ey0 = −1, ottenendo
−1 =2 2 + k ⇒ k = −5
Pertanto tra le infinite curve rappresentate dalla y = x 2 + k, quella che passa per P ha equazione
y = x 2 − 5: si dice che si richiede o, anche, che “si impone” il passaggio della curva per P .
ESEMPIO 7.8 Siano dati la curva γ di equazione y =2x− 3 (vedremo nel seguente capitolo che si
tratta, in effetti, di una retta ) ed il punto P (2, 1): si chiede di determinare i punti di γ, se esistono,
la cui distanza da P sia √ 20.
Per risolvere il problema dobbiamo considerare un generico punto Q appartenente alla curva: se
indichiamo con x la generica ascissa di Q, la sua ordinata y risultadatada2x−3, proprio in quanto
il punto Q appartiene alla curva data: possiamo perciò dire che le coordinate di Q sono (x, 2x − 3).
In effetti, in problemi di questo tipo è conveniente, per motivi di chiarezza che saranno discussi in
seguito, indicare l’ascissa del punto generico su γ non con la lettera x, ma con altra lettera – ad
esempio a – in modo tale che la corrispondente ordinata risulti 2a − 3: in definitiva Q(a, 2a − 3).
A questo punto è sufficiente calcolare la distanza PQ tramite la (2.1):
da cui
(a − 2) 2 +(2a − 3 − 1) 2 = √ 20 ⇒ (a − 2) 2 +(2a − 4) 2 =20
5a 2 − 20a =0 ⇒ a =0∨ a =4
Si deduce che esistono due punti che soddisfano alla condizione data: uno ha ascissa x =0ed
ordinata y = −3 (ottenuta ovviamente sostituendo x =0iny =2x − 3); l’altro ha ascissa x =4ed
ordinata y =5.
Siano ora date due curve di equazioni F (x, y) =0eG(x, y) = 0: ci chiediamo se le due curve hanno
punti in comune, ossia se si intersecano e, in caso affermativo, quali sono le coordinate dei punti di
intersezione.