16 capitolo 1 Inoltre, con chiaro significato dei simboli, si usano anche le seguenti scritture: [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x
il piano cartesiano 17 Ai fini della comprensione di quanto seguirà, è ora importante rendersi conto che una funzione reale di variabile reale f : A ⊆ R → R “genera”, al variare della x, un insieme di coppie ordinate (x, f(x)): in altre parole, è possibile considerare le coppie che si ottengono attribuendo alla x valori diversi (appartenenti al dominio di f) e calcolando ogni volta il valore dell’immagine y = f(x). Tali coppie individuano nel piano cartesiano dei punti: DEFINIZIONE 7.2 Data la funzione f : A ⊆ R → R, l’insieme di tutti e soli i punti del piano cartesiano aventi per ascissa i valori della variabile indipendente x ∈ A e per ordinata i valori delle corrispondenti immagini y = f(x) costituisce il grafico o diagramma della funzione. ESEMPIO 7.3 Consideriamo la funzione f(x) =x 2 che associa ad un numero reale x il suo quadrato x 2 : il dominio di f è A = R; inoltre risulta immediatamente, ad esempio, che f(0) = 0, f(1/2) = 1/4, f(1) = 1, f(2) = 4, f(−2) = 4, f(3) = 9, ecc. Fig. 7.1 Diagramma della funzione f(x) =x 2 . Assegnando alla x valori diversi si ottengono quindi le coppie (0, 0), (1/2, 1/4), (1, 1), (2, 4), (−2, 4), (3, 9), ecc. che rappresentano dei punti i quali possono essere collocati nel piano cartesiano e “raccordati” con un tratto continuo (ovviamente, maggiore è il numero di tali punti e più preciso risulterà il diagramma della funzione). Si noti che l’insieme delle immagini f(A)è dato dall’insieme dei numeri reali positivi o nulli: [0, +∞): infatti x 2 ≥ 0 ∀x ∈ R. Graficamente, l’insieme delle immagini è pertanto costituito dal semiasse positivo delle ordinate. Fig. 7.2 Grafico di una funzione f(x). Fig. 7.3 La funzione non è iniettiva. La situazione generale è illustrata in figura 7.2, in cui è rappresentato il grafico di una generica funzione f : A → B, dove il dominio è l’intervallo A =[a, b] sull’asse delle x e l’insieme delle immagini è costituito dall’intervallo [f(a),f(b)] sull’asse delle y. Il generico punto P del grafico ha coordinate (x, f(x)). È facile rendersi conto che la funzione rappresentata è iniettiva: considerando infatti due valori qualunque di x1,x2 distinti, i punti corrispondenti sul grafico P1,P2 sono anch’essi distinti, e quindi le corrispondenti immagini y1 = f(x1) ey2 = f(x2), “lette” sull’asse delle y, sono anch’esse distinte.
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