CAPITOLO 2 §8. EQUAZIONE DELLA RETTA IN ... - Ivan Cervesato

CAPITOLO 2
RETTA
§8. EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA ESPLICITA
In questo capitolo studieremo la retta nel piano cartesiano; come il lettore sa già dallo studio della geometria
euclidea, ricordiamo che la retta, al pari del punto e del piano, è considerata un ente geometrico primitivo,
intuitivamente noto e di cui, pertanto, non si dà esplicita definizione (ciò al fine di evitare il problema di
inaccettabili petizioni di principio).
8.1 Rette parallele agli assi
Cominciamo col considerare la situazione più semplice: sia data una retta r parallela all’asse delle ascisse,
cui ci riferiremo nel seguito anche con la locuzione “retta orizzontale” (figura 8.1).
Fig. 8.1 Rette orizzontali e verticali.
Tale retta interseca l’asse y nel punto P di coordinate
(0, a), dove a rappresenta un certo numero reale. Osservando
la figura, ci si convince subito che tutti i punti
della retta r sono caratterizzati dal fatto di avere la
stessa ordinata: in altre parole, il punto P ′ ∈ r ha coordinate
(x ′ , a); il punto P ′′ ∈ r ha coordinate (x ′′ , a),
ecc. Questo significa che l’equazione della retta r è
della forma:
y = a (8.1)
con x qualunque, ossia i punti appartenenti alla retta
avranno coordinate della forma (x, a), dove x va pensato
come variabile ed a come fissato.
In modo totalmente analogo, la retta s parallela all’asse delle ordinate (“retta verticale”: vedasi nuovamente
figura 8.1) interseca l’asse delle x nel punto di coordinate (b, 0), con b ∈ R: anche in questo caso è immediato
constatare che tutti i punti della retta s sono caratterizzati dal fatto di avere la stessa ascissa: l’equazione
della retta s è quindi della forma
x = b (8.2)
con y qualunque, ossia i punti appartenenti alla retta avranno coordinate della forma (b, y), dove y va pensato
come variabile e b come fissato.
In particolare, le equazioni degli assi cartesiani saranno:
per l’asse delle y : x = 0 (8.3)
per l’asse delle x : y = 0 (8.4)
51

52 capitolo 2
8.2 Breve digressione sul concetto di infinito
Per motivi che saranno chiari tra poco, è opportuno affrontare una breve digressione sul concetto di infinito
in matematica: occorre tenere conto che quanto sarà qui esposto ha carattere intuitivo, e verrà reso più
rigoroso nel secondo volume, nell’ambito della teoria dei limiti.
Il lettore sa già che la divisione per zero non ha significato algebrico: pertanto, quando si scrive
n
d
si pone la condizione d = 0.
Supponiamo ora che n sia un numero che per fissare le idee considereremo per il momento positivo: n > 0.
Se calcoliamo il valore della frazione (8.5) con valori del denominatore d, che supporremo anch’esso positivo,
via via più piccoli, evidentemente otteniamo che il valore della frazione (8.5) aumenterà al diminuire del
denominatore. In altre parole, man mano che il denominatore “si avvicina” al valore zero (si pensi: d =
0.1, 0.001, 0.000 000 1, . . .), il valore della frazione diventa “sempre più grande”: si dice che tale valore “si
avvicina ad infinito”: anzi, visto che sia n sia d sono positivi, si dice che il valore della frazione “tende a più
infinito”.
In una forma puramente simbolica si usa pertanto scrivere
(8.5)
n
= +∞ n > 0 (8.6)
0 +
dove la scrittura 0 + (leggasi “zero più”) sta a ricordare che il denominatore è pensato essere via via più
piccolo (“vicino a zero”, “tendente a zero”) e positivo.
In modo del tutto analogo potremmo pensare di dividere n per valori di d “molto prossimi” a zero, ma negativi
(d = −0.1, −0.000 1, −0.000 001, . . .): in tal caso, il valore della frazione aumenta in valore assoluto, ma
in effetti diminuisce sempre più, diventa via via sempre più piccolo (si ricordi che scrivendo, ad esempio, la
successione −5, −500, −50 000 ecc., si stanno scrivendo numeri sempre più piccoli).
Questo porta a scrivere
n
= −∞ n > 0 (8.7)
0− dove – nuovamente – la scrittura 0 − (leggasi “zero meno”) sta a ricordare che il denominatore è pensato
essere via via più piccolo (come prima: “vicino a zero”, “tendente a zero”) e negativo. Si dice questa volta
che il valore della frazione “tende a meno infinito”.
Qualora il numeratore fosse negativo (n < 0), verrebbe a valere un ragionamento analogo, solo che questa
volta si avrebbe
n
= −∞
0 + n < 0 (8.8)
e
n
= +∞ n < 0 (8.9)
0− (si osservi che ciò è pienamente coerente con la consueta “regola dei segni” in base alla quale il segno di una
frazione è positivo se numeratore e denominatore sono concordi, negativo se sono discordi).
Se si trascurano infine i segni del numeratore e del denominatore, e si pensa al valore di una frazione in cui
il numeratore è costituito da un numero fissato, e il denominatore è costituito da un numero via via sempre
“più piccolo”, ossia “tendente a zero”, si arriva a scrivere
n
= ∞ (8.10)
0

etta 53
Si osservi solo di sfuggita che le scritture dalla (8.6) alla (8.10) non sono in effetti in contraddizione con il
“divieto di dividere per zero” che il lettore ha incontrato in Algebra al Biennio, in quanto i simboli “0 + ”,
“0 − ”, “0” a denominatore non stanno a indicare il numero zero, ma numeri non nulli (negativi o positivi
che siano) che sono pensati essere via via sempre più piccoli.
Vale anche la pena di notare che l’“infinito”, che viene in questo modo introdotto e “parzialmente aritmetizzato”,
non va comunque inteso come “un numero”. Il simbolo di infinito, ed espressioni del tipo sopra visto,
sono scritture molto comode, il cui significato sarà approfondito, come si è detto, nel seguito.
Per il momento sarà tuttavia sufficiente tenere a mente il significato delle (8.6)–(8.10) nel senso intuitivo
esposto in questo paragrafo.
8.3 Retta passante per l’origine
Si consideri ora il caso di una retta r passante per l’origine O di un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy
(figura 8.2). Diamo subito la seguente
DEFINIZIONE 8.1 Chiamiamo angolo formato dalla retta r con l’asse delle ascisse l’angolo che il semiasse
positivo delle x descrive per sovrapporsi alla retta r ruotando in senso antiorario.
Fig. 8.2 Retta per l’origine
In figura 8.2 tale angolo è stato indicato con α. Siano
ora A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC),. . . dei punti
giacenti nel I quadrante (distinti dall’origine) ed appartenenti
alla retta r: poiché i triangoli AOA ′ , BOB ′ ,
COC ′ ,. . . sono tra loro simili, è possibile scrivere
AA ′ BB′ CC′
= = = . . . (8.11)
OA ′ OB ′ OC ′
Essendo AA ′ = yA, OA ′ = xA, BB ′ = yB, OB ′ = xB,
ecc., la (8.11) diventa
yA
xA
= yB
xB
= yC
xC
= . . . (8.12)
Questo significa che, sotto le ipotesi fatte, il rapporto tra le ordinate e le ascisse dei punti appartenenti alla
retta è costante: tale costante è di solito indicata con la lettera m ed è detta coefficiente angolare della retta.
yA
xA
= yB
xB
= yC
xC
= . . . = m (8.13)
Considerando un generico punto P della retta (distinto dall’origine), di coordinate generiche (x, y), si ha
y
= m x = 0 (8.14)
x
La (8.14) vale in generale, cioè anche considerando punti della retta non appartenenti al I quadrante (quindi
con coordinate di segno positivo o negativo), e rappresenta l’equazione di una retta passante per l’origine,
ossia l’equazione di tutti e soli i punti di r, escludendo l’origine (0, 0) (il rapporto 0/0 non ha infatti significato
algebrico).
La (8.14) si pone di solito nella forma
y = mx (8.15)
che vale anche per x = 0, y = 0. Riassumendo, possiamo dire che

54 capitolo 2
y = mx rappresenta l’equazione della generica retta passante per l’origine, ossia l’insieme di tutti e soli
i punti per i quali il rapporto tra ordnata ed ascissa è costante; tale costante, indicata con la lettera m,
è detta coefficiente angolare della retta.
La (8.15) è anche detta equazione della proporzionalità diretta 1 tra le grandezze x ed y, con m costante di
proporzionalità.
Prima di approfondire il significato del coefficiente
angolare, vediamo il seguente
ESEMPIO 8.1 Sono date le equazioni
y = 1
1
x y = 2x y = 3x y = −
2 3 x
Essendo equazioni della forma y = mx, deduciamo
subito che si tratta di quattro rette passanti
per l’origine, che chiameremo r, s, t, u, nell’ordine
(figura 8.3).
I coefficienti angolari sono quindi mr = 1/2,
ms = 2, mt = 3, mu = −1/3. Per disegnare
nel piano cartesiano le quattro rette, è sufficiente
individuare due punti per ciascuna di esse: per
tutte, un punto è certamente l’origine; per determinare
un secondo punto, basta – come sappiamo
– assegnare un valore arbitrario all’ascissa e ricavare
l’ordinata corrispondente.
Fig. 8.3 Rette per l’origine
Per esempio, assumendo x = 2, per la retta r si ricava y = 1, e quindi r passa per A(2, 1); per la retta s
scegliamo x = 1, ottenendo y = 2, quindi s passa per B(1, 2); per la retta t poniamo ancora x = 1, ottenendo
y = 3, quindi t passa per C(1, 3); infine per la retta u scegliamo x = −3, ottenendo y = 1, quindi u passa
per D(−3, 1). Con tali informazioni è possibile disegnare con facilità le quattro rette nel piano cartesiano.
ESEMPIO 8.2 Assegnato il punto A(−2, −3), si chiede di determinare l’equazione della retta passante per
O(0, 0) e per A: a tal fine sappiamo che l’equazione della retta è y = mx, dove occorre determinare il
valore di m. Poiché la retta deve passare per A, imponiamo la condizione di passaggio per A, sostituendo le
coordinate di tale punto nella retta generica y = mx: si ha −3 = m(−2), da cui m = 3/2: quindi y = (3/2)x
è l’equazione della retta cercata.
∗
∗ ∗
Come si intuisce anche solo dai casi esaminati nell’esempio 8.1, il coefficiente angolare è connesso alla “pendenza”
della retta, ossia all’ampiezza dell’angolo α: per meglio comprendere la questione, sia y = mx la
generica retta per l’origine. Consideriamo il punto P di tale retta che ha ascissa xP = 1: l’ordinata di P si
ottiene dunque sostituendo in y = mx il valore xP = 1, cioè yP = m · 1 = m.
1 Ricordiamo che dati due insiemi {x1, x2, x3, . . .} e {y1, y2, y3, . . .} di grandezze, tutte della stessa specie, in corrispondenza
biunivoca (con xk corrispondente a yk), si dice che tali grandezze sono direttamente proporzionali quando è costante il rapporto
m tra due qualunque grandezze corrispondenti, cioè se yk/xk = m ∀k.

Fig. 8.4 Coefficiente angolare e pendenza della retta.
retta 55
Anzitutto osserviamo che se m > 0, il punto P (1, m)
si trova nel I quadrante (figura 8.3) e l’angolo α risulta
acuto: la retta giace pertanto nel I e nel III quadrante.
Viceversa, se m < 0 il punto P ′ (1, m) si trova nel IV
quadrante, l’angolo α ′ risulta ottuso e la retta giace nel
II e IV quadrante.
In secondo luogo, supponiamo dapprima che sia m >
0: osservando la figura 8.3 ci si convince subito che
all’aumentare di m il punto P “si sposta” sempre
più verso l’alto, la retta tende a porsi parallelamente
all’asse delle y, ruotando in senso antiorario, e l’angolo
α si avvicina al valore di 90 ◦ , restando però acuto
(0 < α < 90 ◦ ). Se invece fosse m < 0, al diminuire
di m il punto P ′ “si sposta” sempre più verso il basso,
la retta tende ancora a disporsi parallelamente all’asse
y, ma ruotando questa volta in senso orario, mentre
l’angolo α ′ si avvicina al valore di 90 ◦ , restando però
ottuso (90 ◦ < α ′ < 180 ◦ ).
Se m = 0 si ha il caso banale y = 0 (asse x) e α = 0.
Riassumendo, la discussione ora svolta mostra che al variare di m varia la pendenza della retta di equazione
y = mx, e quindi l’angolo da essa formato con l’asse delle x: usando la terminologia introdotta nel precedente
paragrafo, diremo che
Fig. 8.5 Bisettrici dei quadranti.
la retta verticale ha coefficiente angolare infinito (m = ∞),
distinguendo i due casi:
a) se la retta tende alla posizione verticale ruotando in senso
antiorario (quindi con α < 90 ◦ ), diremo che m “tende”
(“si avvicina”) a più infinito e scriveremo m = +∞ o
anche m → +∞;
b) se la retta tende alla posizione verticale ruotando in senso
orario (quindi con α > 90 ◦ ), diremo che m “tende”
(“si avvicina”) a meno infinito e scriveremo m = −∞ o
anche m → −∞;
È bene ripetere, tuttavia, che “infinito” non è “un numero”: l’equazione dell’asse y deve essere pertanto
espressa come x = 0 e non può essere posta nella forma (8.15); analogamente, come già sappiamo, l’equazione
di una retta verticale qualunque è x = a, con a costante, e non può essere scritta nella forma y = mx.
Tra le rette passanti per l’origine si consideri ora la retta r che forma con l’asse x un angolo di α = 45◦ , che
equivale a dire che r è la bisettrice del I e III quadrante. È immediato constatare (figura 8.5) che qualunque
punto P ∈ r ha ascissa uguale all’ordinata: tale condizione si traduce scrivendo y = x (quindi m = 1), che
rappresenta l’equazione della bisettrice in questione.

56 capitolo 2
In modo del tutto analogo si può considerare la retta s che forma con l’asse x un angolo di α = 135 ◦ , che
equivale a dire che s è la bisettrice del II e IV quadrante. Anche in questo caso è immediato constatare che
qualunque punto Q ∈ s è caratterizzato dall’avere ascissa opposta all’ordinata: tale condizione si traduce
scrivendo y = −x (quindi m = −1), che rappresenta l’equazione della bisettrice in questione.
Riassumendo, si ha:
bisettrice I e III quadrante: y = x (8.16)
bisettrice II e IV quadrante: y = −x (8.17)
8.4 Retta in posizione generica
Vogliamo ora affrontare il problema di determinare l’equazione di una retta generica, che cioè non sia né
parallela agli assi coordinati, né passante per l’origine.
Fig. 8.6 Retta generica.
A tal fine si consideri il sistema cartesiano S : xOy e
sia r una generica retta che interseca l’asse delle y nel
punto A(0, q) (figura 8.6). Consideriamo ora un secondo
sistema di coordinate S ′ : XAY , ottenuto con una
traslazione degli assi che porti l’origine proprio in A:
in base alla (5.2) le relazioni che legano le coordinate
nei due sistemi S e S ′ sono
X = x
(8.18)
Y = y − q
Nel sistema XAY la retta r passa per l’origine A e
quindi ha equazione Y = mX.
Per determinare l’equazione della retta nel sistema S iniziale, è sufficiente usare le (8.18): sostituendo si
ottiene subito
y − q = mx
vale a dire
y = mx + q (8.19)
La (8.19) rappresenta l’equazione in forma esplicita della generica retta (con esclusione però della
retta verticale che, come si è già detto, ha equazione x = a)
Continuano ovviamente a valere anche in questo caso le considerazioni sopra svolte sul significato del coefficiente
angolare:
a) m > 0 implica che la retta forma un angolo acuto con l’asse delle ascisse;
b) m < 0 implica che la retta forma un angolo ottuso con l’asse delle ascisse;
c) m = 0 implica y = q, che come noto rappresenta una retta orizzontale.
Per rappresentare graficamente sul piano cartesiano la retta di equazione y = mx+q è sufficiente determinare
le coordinate di due punti della retta. A tal fine si assegneranno due valori arbitrari x1 e x2 alla variabile

etta 57
indipendente x, ricavando i due valori corrispondenti y1 e y2 della variabile indipendente: sapendo che la
retta passa per A(x1, y1) e per B(x2, y2), è possibile tracciare il grafico.
ESEMPIO 8.3 Per disegnare la retta di equazione y = 2x − 4, attribuiamo alla x il valore x = 0, cui
corrisponde y = −4; attribuiamo alla x il valore x = 3, cui corrisponde y = 2 · 3 − 4 = 2. La retta passa
pertanto per A(0, −4) e B(3, 2): collocati tali punti nel piano cartesiano, si può tracciare la retta.
8.5 Coefficiente angolare della retta
Come si è detto poco sopra, data la retta r di equazione y = mx + q (quindi non verticale) è possibile
individuare due punti della retta attribuendo alla x due valori arbitrari x1 e x2, ricavando i corrispondenti
valori dell’ordinata: rispettivamente y1 e y2.
Ciò equivale a dire che la retta passa per i due punti A(x1, y1) e B(x2, y2): risultano pertanto valide le due
relazioni:
y1 = mx1 + q
e
y2 = mx2 + q
Se ora dalla seconda sottraiamo membro a membro la prima, otteniamo subito
vale a dire
y2 − y1 = mx2 − mx1
m = y2 − y1
≡
x2 − x1
y1 − y2
x1 − x2
(8.20)
Tale espressione, che esiste in quanto r non è verticale (e quindi x1 = x2), permette di esprimere il coefficiente
angolare di una retta generica in funzione delle coordinate di due suoi punti.
ESEMPIO 8.4 La retta r passa per i due punti A(−3, −2) e B(1, −5); in base alla (8.20) il coefficiente angola
della retta r è dato quindi da
m = yA − yB
=
xA − xB
−2 − (−5)
= −3
−3 − 1 4
8.6 Distanza tra due punti: seconda formula
Nel precedente §2 abbiamo ricavato la formula (2.1) che esprime la distanza tra due punti A(x1, y1) e B(x2, y2).
Supponendo che sia x1 = x2 (se x1 = x2 i due punti appartengono ad una retta verticale, e la loro distanza
è AB = |y2 − y1|), la (2.1) si può riscrivere come:
AB = (x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2
= (x2 − x1) 2
2
y2 − y1
y2 − y1
1 +
= |x2 − x1| 1 +
e quindi, usando la (8.20):
x2 − x1
x2 − x1
AB = |x2 − x1| 1 + m 2 (8.21)
(si noti la presenza del valore assoluto nel fattore “portato fuori” dal segno di radice).
Come vedremo meglio nel seguito, l’uso di tale formula risulta preferibile quando occorre calcolare la distanza
tra i due punti di intersezione di una retta con una curva del secondo ordine (la cui equazione sia cioè della
forma F (x, y) = 0 dove F (x, y) è un polinomio di secondo grado): la (8.21) permette infatti di evitare il
2

58 capitolo 2
calcolo delle ordinate y1 e y2 dei punti di intersezione, valori che invece è necessario conoscere se si vuole
applicare la (2.1).
ESEMPIO 8.5 Calcolare la distanza tra i punti di intersezione tra la retta di equazione y = −x + 1 e la curva
(circonferenza) di equazione x 2 + y 2 + 2x − y − 1 = 0: ponendo a sistema
y = −x + 1
x 2 + y 2 + 2x − y − 1 = 0
ed eliminando la y, dopo brevi passaggi si ottiene l’equazione 2x 2 + x − 1 = 0 che dà x1 = −1 e x2 = 1/2,
che sono le ascisse dei punti A e B di intersezione.
Usando la (8.21), senza dovere calcolare le ordinate di A e B si ha subito
AB = | 1
2 + 1|1 + (−1) 2 = 3√
2
2
§9. EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA IMPLICITA
La (8.19) mostra che una generica retta del piano è rappresentata da un’equazione lineare in x e y (nel caso
particolare di rette parallele agli assi si avrà solo la x o solo la y, come si è visto).
Vogliamo ora mostrare che l’equazione generale di primo grado in x e in y:
ax + by + c = 0 (9.1)
rappresenta una qualunque retta del piano al variare dei tre coefficienti a, b, c (c è detto termine noto).
Ciò può essere verificato senza difficoltà, analizzando i vari casi possibili:
a) a = 0, b = 0, c = 0: dividendo per b ed esplicitando rispetto alla y la (9.1) assume la forma esplicita:
y = − a c
x −
b b
che evidentemente coincide con la (8.19) ponendo m = −a/b e q = −c/b.
b) a = 0, b = 0, c = 0: la (9.1) viene a scriversi come ax + by = 0 che, ricavando la y, diventa y = −ax/b
che rappresenta una retta passante per l’origine (della forma y = mx ponendo m = −a/b).
c) a = 0, b = 0 e c ∈ R: la (9.1) diventa by + c = 0 che, esplicitata, dà y = −c/b, equazione di una retta
orizzontale.
d) a = 0, b = 0 e c ∈ R: la (9.1) diventa ax + c = 0 che, esplicitata, dà x = −c/a, equazione di una retta
verticale.
e) a = 0, b = 0, c = 0: il caso è banale: la (9.1), riducendosi ad un’identità, verificata per ogni coppia di
numeri reali (x, y), rappresenta in effetti l’intero piano cartesiano.
f) a = 0, b = 0, c = 0: anche questo è un caso banale, in quanto l’equazione c = 0 è impossibile e non è
rappresentabile graficamente.
Pertanto, due sono le possibili forme per l’equazione della retta generica: la (8.19) e la (9.1), rispettivamente
in forma esplicita e in forma implicita.
Si possono tenere presenti le seguenti osservazioni:
1. in forma implicita la retta è determinata da due parametri (m e q), mentre in forma implicita i parametri
sono tre (a, b, c);
(9.2)

etta 59
2. mentre la forma esplicita non descrive, come è stato detto, le rette verticali, la forma implicita le descrive
(si veda il caso (d) poco sopra): in questo senso la (9.1) è più generale della (8.19).
Qualora sia data una retta in forma implicita, può essere conveniente per prima cosa porla in forma esplicita:
ESEMPIO 9.1 Porre in forma esplicita le rette 3x + 2y − 4 = 0 e 2x + 5 = 0: nel primo caso ricavando la y
si ha subito y = −3x/2 + 2; nel secondo caso si tratta di retta verticale di equazione x = −5/2.
§10. CONDIZIONI DI PARALLELISMO E PERPENDICOLARITÀ FRA RETTE
Consideriamo subito il facile caso in cui due rette sono entrambe verticali: il loro coefficiente angolare non è
a rigore definito (come abbiamo visto, è “infinito”).
Fig. 10.1 Condizione di parallelismo.
In tal caso è però del tutto immediato riconoscere il parallelismo
tre le rette, che avranno equazioni della forma x = a e
x = b, con a, b costanti. Consideriamo invece il caso di due
rette r e s in posizione generica (quindi non verticali): ricordando
quanto detto sul significato del coefficiente angolare
di una retta, è del tutto immediato ricavare la condizione di
parallelismo tra r ed s (figura 10.1). Infatti, se le due rette
sono parallele, esse formano con l’asse delle ascisse angoli
congruenti, e quindi hanno lo stesso coefficiente angolare;
viceversa, a coefficienti angolari uguali corrispondono rette
aventi la stessa pendenza, ossia formanti angoli congruenti
con l’asse delle ascisse.
Condizione di parallelismo fra rette: due rette di equazioni y = mx+q e y = m ′ x+q ′ risultano parallele
se e solo se i due coefficienti angolari sono uguali, cioè se e solo se
m = m ′
(10.1)
Se le rette sono in forma implicita (ax + by + c = 0 e a ′ x + b ′ y + c ′ = 0: cfr. §9), ricordando che m = −a/b
la condizione di parallelismo diventa
a a′
=
b b ′
(10.2)
ESEMPIO 10.1 Per stabilire se le due rette di equazione 3x + 4y − 2 = 0 e −6x + 8y + 3 = 0 sono parallele,
basterà porle in forma esplicita e controllare se i coefficienti angolari sono uguali o no: avendosi, in concreto,
che la prima retta in forma esplicita è y = 3x/4 − 1/2, la seconda è y = 3x/4 − 3/8, le due rette risultano
effettivamente parallele.
ESEMPIO 10.2 Parallela ad una retta data, passante per un punto assegnato (I metodo).
Data la retta r di equazione y = 3x − 2 ed il punto A(2, 5), si chiede di determinare la retta s parallela
ad r e passante per A. A tal fine si cominci con l’osservare che l’equazione della retta s sarà della forma
y = mx + q: per trovare la retta occorre evidentemente determinare i valori di m e q. Sapendo che r//s, si
può scrivere subito che l’equazione di s è y = 3x + q (in quanto per la (10.1) mr = ms). Per determinare q è
sufficente applicare la Regola 1 di §7 (condizione di appartenenza/passaggio) e sostituire le coordinate di A
in y = 3x + q: si ha 5 = 3 · 2 + q da cui q = −1. L’equazione della retta s è quindi y = 3x − 1.

60 capitolo 2
Nel seguente §12.2 vedremo un secondo metodo per risolvere lo stesso problema.
Consideriamo ora la condizione di perpendicolarità; osserviamo anzitutto che, anche in questo caso, verificare
la perpendicolarità tra rette parallele agli assi è del tutto immediato: tali rette saranno tra loro perpendicolari
se una ha coefficiente angolare nullo (cioè equazione della forma y = b) e l’altra ha coefficiente angolare infinito
(cioè equazione della forma x = a).
Siano quindi r ed s due rette passanti per l’origine e perpendicolari
tra loro: naturalmente, il fatto di considerare
rette per l’origine O non riduce la generalità del discorso,
in quanto se le due rette perpendicolari si intersecassero
in un punto A diverso da O, si potrebbe sempre effettuare
una opportuna traslazione degli assi che porti l’origine del
sistema proprio in A, riconducendosi al caso considerato.
La retta r ha dunque equazione y = mx, la retta s ha
equazione y = m ′ x (figura 10.2). Consideriamo ora il punto
A ∈ r di ascissa x = 1: la rispettiva ordinata risulta
evidentemente y = m · 1 = m; pertanto si ha A(1, m).
Fig. 10.2 Condizione di perpendicolarità.
In modo analogo sia B ∈ s con ascissa x = 1: quindi B(1, m ′ ). Ora, il triangolo AOH è rettangolo, quindi
applicando il teorema di Pitagora si ha
OA 2 = OH 2 + AH 2 = 1 2 + m 2 = 1 + m 2
Analogamente, essendo anche OHB triangolo rettangolo, si ha
OB 2 = OH 2 + BH 2 = 1 2 + m ′2 = 1 + m ′2
Infine, anche il triangolo ABO è rettangolo, quindi, tenendo conto che AB = |m − m ′ |, si ha
quindi
da cui, semplificando, si ottiene subito
AB 2 = AO 2 + BO 2
(m − m ′ ) 2 = 1 + m 2 + 1 + m ′2
m · m ′ = −1 oppure m = − 1
m ′
Condizione di perpendicolarità fra rette: due rette di equazioni y = mx + q e y = m ′ x + q ′ risultano
perpendicolari se e solo se i due coefficienti angolari sono antireciproci, cioè se e solo se uno è l’opposto
del reciproco dell’altro (oppure, equivalentemente, se e solo se il prodotto dei due coefficienti angolari è
−1).
(10.3)
Anche in questo caso, se le rette sono in forma implicita (ax + by + c = 0 e a ′ x + b ′ y + c ′ = 0), ricordando
che m = −a/b la condizione di perpendicolarità diventa
− a
b
− a′
b ′
= −1

ovvero
retta 61
aa ′ + bb ′ = 0 (10.4)
ESEMPIO 10.3 Stabilire se le due rette di equazioni y = 4x−3 e 2x−5y+1 = 0 sono perpendicolari: ponendo
la seconda retta in forma esplicita si ha y = 2x/5 + 1/5. I due coefficienti angolari non sono antireciproci
(m = 4 e m ′ = 2/5), perciò le due rette non sono perpendicolari.
ESEMPIO 10.4 Perpendicolare ad una retta data, passante per un punto assegnato (I metodo).
Data la retta r di equazione y = 3x − 2 ed il punto A(2, 5), si chiede di determinare la retta s perpendicolare
ad r e passante per A.
Come nel precedente Esempio 10.2, l’equazione della retta s sarà della forma y = mx + q: di nuovo, per
trovare la retta occorre determinare i valori di m e q. Sapendo che r⊥s, si può scrivere subito che l’equazione
di s è y = (−1/3)x + q (in quanto per la (10.3) mr = −1/ms).
Per determinare q è sufficente applicare la Regola 1 di §7 (condizione di appartenenza/passaggio) e sostituire
le coordinate di A in y = (−1/3)x + q: si ha 5 = (−1/3) · 2 + q da cui q = 17/3. L’equazione della retta s è
quindi y = (−1/3)x + 17/3.
Anche in questo caso, nel seguente §12.2 vedremo un secondo metodo per risolvere lo stesso problema.
ESEMPIO 10.5 Simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.
Consideriamo i due punti P (x, y) e P ′ (x ′ , y ′ ), simmetrici
rispetto alla bistettrice del I e III quadrante, di equazione
y = x (figura 10.3). Vogliamo determinare quale relazione
intercorre tra le coordinate dei due punti: a tal fine è sufficiente
osservare che:
1. il punto medio M del segmento P P ′ appartiene alla
retta y = x, e quindi l’ascissa di M è uguale alla sua
ordinata: xM = yM;
2. il segmento P P ′ è perpendicolare alla retta y = x, e
quindi il coefficiente angolare della retta su cui giace
P P ′ è −1: mP P ′ = −1.
Ora, le coordinate di M si ricavano subito:
così come è immediato scrivere:
xM = x′ + x
2
∧ yM = y′ + y
2
mP P ′ = y′ − y
x ′ − x
Le condizioni (1) e (2) danno così:
⎧
⎪⎨
x
⎪⎩
′ + x
2 = y′ + y
2
y ′ − y
x ′ = −1
− x
Risolvendo tale sistema rispetto alla x ′ e alla y ′ si ottiene, dopo semplici passaggi:
′ x = y
y ′ = x
Fig. 10.3 Simmetria rispetto a y = x.
(10.5)
(10.6)

62 capitolo 2
Le trasformazioni (10.6) rappresentano la simmetria cercata:
dato il punto P (x, y), le coordinate del suo simmetrico P ′ si ottengono semplicemente scambiando tra
loro le due coordinate di P .
Ad esempio, se P (−2, 3), allora P ′ (3, −2).
Quanto visto per un punto si estende subito ad un insieme di punti, ovvero al grafico di una funzione di
equazione y = f(x) o di una curva di equazione F (x, y) = 0: il grafico simmetrico si ottiene scambiando tra
loro le due coordinate: x = f(y) o F (y, x) = 0.
ESEMPIO 10.6 Data la retta r di equazione y = 3x − 1, la retta simmetrica di r rispetto alla bisettrice del
I e III quadrante ha equazione x = 3y − 1 che naturalmente può essere esplicitata, all’occorrenza, rispetto
alla y come y = x/3 + 1/3. In questo esempio la curva iniziale è rappresentata da una funzione, ed anche la
simmetrica è ancora una funzione: non sempre ciò accade, come evidente dal seguente
ESEMPIO 10.7 Data la curva (parabola) di equazione y = x 2 , la curva simmetrica rispetto alla y = x ha
equazione x = y 2 , che non è una funzione (infatti un valore di x corrispondono due valori di y: y = √ x e
y = − √ x).
Si lascia come esercizio verificare che le equazioni della simmetria rispetto alla bisettrice del II e IV quadrante
sono
′ x = −y
y ′ = −x
(10.7)
Pertanto la curva simmetrica della curva di equazione F (x, y) = 0 ha equazione F (−y, −x) = 0.
ESEMPIO 10.8 Data la curva γ di equazione x 3 − y 2 + 2x − xy + 1 = 0, la simmetrica di γ rispetto alla retta
y = −x è −y 3 − x 2 − 2y − xy + 1 = 0, ottenuta con le sostituzioni x → −y e y → −x.
In particolare, se le trasformazioni (10.6) non mutano la forma della curva (cioè se F (x, y) = F (y, x)), si dice
che la curva è simmetrica rispetto alla retta di equazione y = x.
Analogamente, se le trasformazioni (10.7) non mutano la forma della curva (cioè se F (x, y) = F (−y, −x)), si
dice che la curva è simmetrica rispetto alla retta di equazione y = −x.
La seguente tabella completa la tabella 7.1 con le due simmetrie ora introdotte.
simmetria rispetto a:
asse x asse y origine y = x y = −x
x → x
y → −y
x → −x
y → y
x → −x
y → −y
x → y
y → x
Tabella 10.1 Simmetrie elementari.
x → −y
y → −x
§11. POSIZIONE RECIPROCA TRA DUE RETTE
Dalla geometria elementare è noto che due rette nel piano possono intersecarsi (in uno e in un solo punto),
possono essere parallele o possono essere coincidenti (in questo caso “banale” i punti in comune sono infiniti) 2 .
2 Nello spazio due rette possono risultare anche sghembe: ciò accade quando le due rette non sono parallele ma, appartenendo
a piani diversi, non hanno comunque punti in comune.

etta 63
In base a quanto già visto in generale nel precedente §7, per stabilire le coordinate dell’intersezione (unica) di
due rette incidenti, è sufficiente risolvere il sistema (7.4) costituito dalle equazioni delle due rette: se queste
sono in forma esplicita, e supponendo che non siano rette verticali, si ha quindi
y = mx + q
y = m ′ x + q ′
(11.1)
Ovviamente, alla luce delle considerazioni svolte circa la condizione di parallelismo, si avrà che:
1. se m = m ′ e q = q ′ , le due rette sono distinte e parallele, ed il sistema (11.1) risulta impossibile (nessuna
soluzione);
2. se m = m ′ e q = q ′ , le due rette sono in effetti coincidenti, ed il sistema (11.1) risulta indeterminato
(infinite soluzioni);
3. se m = m ′ le due rette sono incidenti in un sol punto, e l’unica soluzione del sistema (11.1) rappresenta
le coordinate del punto di intersezione.
Come caso particolare (banale) si possono considerare due rette verticali, di equazioni x = a e x = b (con
a = b: se a = b le due rette coincidono): è chiaro che le due rette risultano parallele tra loro.
Qualora una delle rette fosse verticale, e l’altra no, il sistema (11.1) assumerebbe la forma
x = a
y = mx + q
(11.2)
che dà una sola soluzione.
§12. FASCI DI RETTE
Numerosi problemi di Geometria Analitica possono essere risolti in modo rapido, ossia con notevole risparmio
di calcoli, utilizzando il cosiddetto “metodo dei fasci”: in questo paragrafo vogliamo proprio studiare
l’argomento, considerando il caso dei fasci di rette. Si può sottolineare che le tecniche-base, che in questa
sede applicheremo proprio alle rette, sono fondamentalmente comuni anche ad altre curve: una buona
comprensione del caso dei fasci di rette sarà pertanto di notevole ausilio per affrontare il restante percorso.
Segnaliamo subito che nei due seguenti paragrafi affronteremo la questione in termini più elementari; nel
seguente §12.3, invece, torneremo su quanto visto in modo un po’ più generale.
12.1 Fascio improprio
Cominciamo col considerare la seguente
DEFINIZIONE 12.1 Chiamiamo fascio improprio di rette l’insieme di tutte le rette del piano tra loro parallele.
In Geometria Analitica l’equazione di un fascio improprio di rette (non verticali) è del tutto immediata: basta
infatti considerare l’equazione generica della retta:
y = mx + k (12.1)
nella quale il coefficiente angolare m è fissato e l’intercetta q = k è pensata come variabile: fissare m, in base a
quanto detto sul significato del coefficiente angolare, significa proprio fissare la direzione, ossia l’inclinazione
(o pendenza) delle rette. Pertanto, assegnando a k valori diversi, 3 si otterranno rette distinte, tra loro
parallele.
3 Per indicare un parametro una diffusa consuetudine tende ad usare, tipicamente, le lettere k, h, m; accanto a queste si
usano anche le prime lettere dell’alfabeto (a, b, . . .), o lettere greche: λ, µ, . . .. Sotto il profilo strettamente matematico, in un
certo senso “una lettera vale l’altra”, ed anche l’uso della lettera q sarebbe stato accettabile. Sotto il profilo dell’“intuizione”, è
tuttavia consigliabile conformarsi alla consuetudine, in modo tale che “certe” lettere siano associate automaticamente a “certi”
usi.

64 capitolo 2
Chiameremo retta base del fascio la retta corrispondente a
k = 0, ossia la retta passante per l’origine (di equazione
y = mx), alla quale tutte le altre rette del fascio risultano
parallele.
Come al solito, la (12.1) non rappresenta un fascio di rette
verticali: questo avrà, banalmente, equazione
x = k con k ∈ R (12.2)
La (12.1) comprende invece il caso di rette orizzontali: qui
si ha m = 0, e l’equazione del fascio è
Fig. 12.1 Fascio improprio di rette.
y = k con k ∈ R (12.3)
ESEMPIO 12.1 Vogliamo scrivere l’equazione del fascio di rette parallele alla retta r di equazione 8x+4y−3 =
0; a tal fine, esplicitando, si ha y = −2x + 3/4, quindi m = −2: l’equazione cercata, che rappresenta tutte le
rette parallele ad r, è dunque semplicemente y = −2x + k.
L’equazione del fascio di rette perpendicolari alla retta r è invece y = (1/2)x+k: infatti il coefficiente angolare
di queste rette è l’antireciproco del coefficiente angolare della retta r.
Fig. 12.2 Fascio proprio di rette.
12.2 Fascio proprio
DEFINIZIONE 12.2 Chiamiamo fascio proprio di rette
l’insieme di tutte le rette del piano passanti per un punto
fissato, detto centro del fascio.
Per ricavare l’equazione del fascio, sia P (x0, y0) un punto
fissato del piano cartesiano. Imponendo che la generica
retta del piano y = mx + q passi per P , otteniamo y0 =
mx0 + q, cioè q = y0 − mx0. Sostituendo tale valore nella
generica retta del piano si ha quindi y = mx + y0 − mx0
ossia
y − y0 = m(x − x0) (12.4)
che rappresenta l’equazione del fascio proprio passante per P : questo significa che attribuendo valori diversi
ad m, pensato questa volta come parametro variabile in R, otterremo rette diverse, tutte passanti per P .
Come al solito, la (12.4) non rappresenta la retta verticale passante per P , retta che ovviamente ha equazione
x = x0: l’insieme di tutte le rette per P potrà quindi essere scritto come
x = x0
y − y0 = m(x − x0) con m ∈ R
(12.5)
ESEMPIO 12.2 Si vuole scrivere il fascio proprio di rette passanti per P (−2, 3): la (12.5) applicata al caso

in esame, in cui x0 = −2 e y0 = 3, dà
x = −2
y − 3 = m(x + 2) con m ∈ R
(si faccia attenzione ai segni. . . )
retta 65
ESEMPIO 12.3 Parallela ad una retta data, passante per un punto assegnato (II metodo).
Riprendiamo l’Esempio 10.2: data la retta r di equazione y = 3x − 2 ed il punto A(2, 5), si chiede di
determinare la retta s parallela ad r e passante per A. Usiamo questa volta il metodo dei fasci, e scriviamo
l’equazione del fascio di rette passanti per A:
y − 5 = m(x − 2) (12.6)
La condizione di parallelismo ci dà immediatamente che mr = ms = 3: sostituendo nell’equazione (12.6) il
valore m = 3 si ottiene subito l’equazione della retta cercata: y − 5 = 3(x − 2), ossia y = 3x − 1.
ESEMPIO 12.4 Perpendicolare ad una retta data, passante per un punto assegnato (II metodo).
In modo del tutto analogo, riprendiamo l’Esempio 10.4: data la retta r di equazione y = 3x − 2 ed il punto
A(2, 5), si chiede di determinare la retta s perpendicolare ad r e passante per A. Usiamo, di nuovo, il metodo
dei fasci: l’equazione del fascio di rette passanti per A è ancora dato dalla (12.6) dove, questa volta, il valore
di m è l’antireciproco di 3 (condizione di perpendicolarità): ms = −1/3. Sostituendo nella (12.6) tale valore,
si ottiene subito l’equazione della retta cercata: y − 5 = −1/3(x − 2), ossia y = (−1/3)x + 17/3.
Come si vede anche solo dagli ultimi due esempi, il metodo dei fasci consente un sensibile risparmio di tempo
e di calcoli. Nel seguito avremo modo di tornare a verificare, in modo ancora più evidente, la bontà di tale
metodo.
12.3 Fasci generati da due rette
Vogliamo ora affrontare lo studio dei fasci di rette da un punto di vista più generale.
Consideriamo due rette distinte r ed s, che supporremo per il momento incidenti nel punto P (x0, y0), di
equazioni:
r : ax + by + c = 0 (12.7)
e
s : a ′ x + b ′ y + c ′ = 0 (12.8)
Poichè le rette sono incidenti, ricordando la (10.2) sarà a/b = a ′ /b ′ .
Siano λ, µ due parametri reali non contemporaneamente nulli; si consideri l’equazione
λ(ax + by + c) + µ(a ′ x + b ′ y + c ′ ) = 0 (12.9)
ottenuta a partire dalle equazioni delle rette date. La (12.9) prende il nome di combinazione lineare generata
dalle equazioni delle rette r ed s.
Fissati λ e µ, la (12.9) è un’equazione lineare in x e y e rappresenta quindi una retta t; poiché sia r sia s
passano per il punto P , si ha ax0 + by0 + c = 0 e contemporaneamente a ′ x0 + b ′ y0 + c ′ = 0, quindi anche la
retta t passa per P (le coordinate di P inserite nella (12.9) danno cioè un’identità).
L’equazione della retta t si può ottenere moltiplicando e raccogliendo nella (12.9), fino ad ottenere
(λa + µa ′ )x + (λb + µb ′ )y + (λc + µc ′ ) = 0 (12.10)
Al variare di λ e di µ la (12.9) – o la (12.10) – rappresenta tutte le rette passanti per P , ossia il fascio proprio
di centro P .

66 capitolo 2
In particolare, per λ = 0, la combinazione lineare (12.9) “restituisce” la retta s e, analogamente, per µ = 0
la (12.9) si riduce alla retta r: tali rette sono dette generatrici del fascio.
L’uso di due parametri può essere evitato dividendo la (12.9) per (ad esempio) λ:
ponendo ora k = µ/λ, la (12.9) viene a scriversi:
ax + by + c + µ
λ (a′ x + b ′ y + c ′ ) = 0 (12.11)
ax + by + c + k(a ′ x + b ′ y + c ′ ) = 0 (12.12)
che rappresenta l’equazione del fascio in un solo parametro k ∈ R: se k = 0 si ottiene, nuovamente, la retta
r (prima generatrice); la retta s non viene invece rappresentata per alcun valore finito di k.
Se però si ricorda (si veda poco sopra) che la retta s si otteneva dalla (12.9) per λ = 0, ricordando quanto si
è detto in §8.2 a proposito di infinito, si ha che la retta s (seconda generatrice) si ottiene dalla (12.12) per
k = µ/0 = ∞.
Pertanto, la (12.9) rappresenta, al variare di λ e µ, tutte le rette per P , ma ha lo “svantaggio” di essere
un’equazione in due parametri; la (12.12) rappresenta, al variare dell’unico parametro k, tutte le rette per P
tranne la seconda generatrice s.
In base a quanto detto, tuttavia, diremo per convenzione che la seconda generatrice si ottiene dalla (12.12)
in corrispondenza di k = ∞.
In analogia con la (12.10), la (12.12) può anche essere scritta come
(a + ka ′ )x + (b + kb ′ )y + (c + kc ′ ) = 0 (12.13)
in cui è ben visibile che i coefficienti di x ed y ed il termine noto vengono a dipendere da k, al variare del
quale si ottengono diverse rette passanti per P .
Il coefficiente angolare della (12.13) risulta subito dato da
a + ka′
m = −
b + kb ′
(12.14)
Poichè le generatrici sono incidenti, a/b = a ′ /b ′ , cioè a/a ′ = b/b ′ : ma allora m dato dalla (12.14) viene
effettivamente a dipendere da k, in quanto
a′
a + ka′ + k a m = − = −a(1
b + kb ′ )
b(1 + k b′
b )
e le quantità 1 + ka ′ /a e 1 + kb ′ /b non possono essere semplificate.
(12.15)
Se viceversa le due generatrici iniziali fossero parallele, se cioè fosse a/b = a ′ /b ′ , il che significa a/a ′ =
b/b ′ , nella (12.15) si potrebbero semplificare le due parentesi a numeratore e denominatore, ottenendo m =
−a/b =costante: in altre parole, tutte le rette del fascio, avendo stesso coefficiente angolare, risulterebbero
tra loro parallele. Se le generatrici sono parallele si ottiene quindi un fascio improprio.
Riassumendo:

etta 67
un’equazione lineare della forma (12.13), in cui i coefficienti di x e di y ed il termine noto dipendono
linearmente da un parametro k ∈ R, rappresenta
• un fascio di rette proprio se il coefficiente angolare (12.14) è funzione di k;
• un fascio di rette improprio se il coefficiente angolare è costante.
Assegnato un fascio nella forma (12.14), e verificato che si tratta di un fascio proprio, il centro del fascio
può essere calcolato intersecando le due generatrici, dopo averle individuate scrivendo il fascio nella forma
(12.12).
In alternativa, per trovare il centro del fascio è anche possibile assegnare a k due valori arbitrari distinti,
ottenendo così due rette del fascio, ed intersecare tali rette.
Quanto fin qui visto può essere meglio compreso seguendo attentamente i seguenti esempi.
ESEMPIO 12.5 Consideriamo il punto P (x0, y0): due rette che passano per P sono date evidentemente dalla
retta verticale x = x0 e dalla retta orizzontale y = y0: in forma implicita tali rette assumono la forma
x − x0 = 0 e y − y0 = 0: facendo una combinazione lineare di tali equazioni si ottiene subito
y − y0 + k(x − x0) = 0 cioè y − y0 = −k(x − x0)
che, ponendo −k = m (cioè “cambiando nome” al parametro, come è possibile fare), evidentemente coincide
con la (12.4).
Lo studio dei fasci generati da due rette consente quindi di ritrovare l’equazione (12.4), ricavata in precedenza
sulla base di considerazioni elementari.
ESEMPIO 12.6 Data l’equazione
(2k + 1)x + (k − 1)y − 2k + 1 = 0 k ∈ R (12.16)
a) verificare che rappresenta un fascio proprio, di cui si chiedono le generatrici e il centro;
b) stabilire per quale valore di k la (12.16) rappresenta una retta passante per A(2, 1) e per quale valore una
retta passante per B(1, 0);
c) stabilire per quale valore di k la (12.16) rappresenta una retta parallela alla retta r : y = 4x − 5;
d) stabilire per quale valore di k la (12.16) rappresenta una retta perpendicolare alla retta s : y = −3x + 8;
e) stabilire per quali valori di k la (12.16) rappresenta rette che formano angoli acuti con l’asse delle x;
f) rappresentare graficamente l’andamento delle rette del fascio.
a) L’equazione è lineare in x e y, ed i coefficienti dipendono linearmente dall’unico parametro k; esplicitando
rispetto alla y si ottiene
y = −
2k + 1 2k − 1
x +
k − 1 k − 1
2k + 1
⇒ m = −
k − 1
(con k = 1)
quindi m dipende da k: l’equazione rappresenta quindi un fascio proprio di rette. In particolare, per
k = 1 la (12.16) diventa 3x − 1 = 0, cioè x = 1/3 (retta verticale, coefficiente angolare infinito).

68 capitolo 2
Riscrivendo la (12.16) nella forma
x − y + 1 + k(2x + y − 2) = 0
si deduce che la prima generatrice (ottenuta per k = 0) ha equazione x−y+1 = 0, la seconda generatrice
(k = ∞) 2x + y − 2 = 0. Intersecando tali rette è immediato ricavare che il centro del fascio è il punto
P (1/3, 4/3).
b) Per determinare il valore di k in corrispondenza del quale la (12.16) rappresenta la retta passante per il
punto A(2, 1), è sufficiente applicare la condizione di passaggio per un punto, sostituendo nella (12.16)
le coordinate di A: si ha (2k + 1) · 2 + (1 − 1) · 1 − 2k + 1 = 0 da cui k = −3/2: per tale valore del
parametro la (12.16) diventa 4x + 5y − 8 = 0 (si verifichi), che rappresenta la retta cercata.
Per risolvere lo stesso quesito applicato al punto B(1, 0), sostituiamo nuovamente tali coordinate nella
(12.16): si ottiene 1 + 2k − 2k + 1 = 0 che equivale all’equazione impossibile 2 = 0: questo significa che
non esistono valori finiti di k per i quali la (12.16) dà una retta per B. Necessariamente dovrà essere
la seconda generatrice (per k = ∞) a passare per B, come in effetti succede.
c) Per la condizione di parallelismo il coefficiente angolare della generica retta del fascio deve essere uguale
a mr = 4:
2k + 1
− = 4
k − 1
⇒ k = 1/2
e la retta in questione si ottiene sostituendo tale valore di k nella (12.16).
Fig. 12.4 Fascio proprio di rette.
d) Per la condizione di perpendicolarità il coefficiente angolare
della generica retta del fascio deve essere uguale
all’antireciproco di ms = −3, cioè deve essere uguale
a 1/3:
2k + 1 1
− =
k − 1 3
⇒ k = −2/7
e, di nuovo, la retta in questione si ottiene sostituendo
tale valore di k nella (12.16).
e) In base a quanto sappiamo sul coefficiente angolare, le
rette formeranno angoli acuti con l’asse delle ascisse
se m > 0, cioè se
2k + 1
− > 0 ⇒ −1 < k < 1
k − 1 2
f) Da ultimo, per dare una rappresentazione grafica dell’andamento del fascio, conviene anzitutto disegnare
le due generatrici (figura 12.4), avendo cura di porre sul grafico, accanto a ciascuna generatrice, il valore
di k (0 o ∞) corrispondente. Per stabilire quindi come le rette del fascio si collocano al variare di k
sarà sufficiente assegnare a k un valore arbitrario e rappresentare la retta corrispondente: per esempio,
nel caso in esame se k = 2 si ha la retta y = −5x + 3. Tale retta si colloca tra la prima e la seconda
generatrice nella posizione indicata: essendo k = 2 un valore positivo, si può dedurre che all’aumentare
di k dal valore 0 a valori via via più grandi, le rette del fascio “ruotano” dalla prima alla seconda
generatrice in senso antiorario. Viceversa, al passare di k dal valore 0 a valori (negativi) via via più
piccoli, le rette ruotano in senso orario dalla prima alla seconda generatrice.

ESEMPIO 12.7 Data l’equazione
retta 69
(k − 3)x + (3 − k)y + k = 0
è facile rendersi conto che essa rappresenta effettivamente un fascio di rette (cfr. il punto (a) del precedente
Esempio): essendo però questa volta
m = − a − 3
= −k = 1
b 3 − k
il coefficiente angolare non dipende da k: si tratta quindi di un fascio improprio.
Scrivendo l’equazione del fascio nella forma
−3x + 3y + k(x − y + 1) = 0
si ricavano le equazioni delle due generatrici (che sono parallele): la prima (per k = 0) è −3x + 3y = 0, la
seconda (per k = ∞) è x − y + 1 = 0.
ESEMPIO 12.8 Fascio in due parametri. L’equazione in due parametri k, h:
x(2k + h) + y(h − k) + k = 0 (12.17)
è della forma (12.10) (dove i parametri là erano λ e µ, e qui k e h: ma la cosa è ovviamente irrilevante). Con
semplici passaggi la (12.17) si può scrivere nella forma (12.9) come
k(2x − y + 1) + h(x + y) = 0
che consente di evidenziare le due generatrici 2x − y + 1 = 0 e x + y = 0 (la cui intersezione dà il centro del
fascio.)
Invece, l’equazione in due parametri k, h:
x(2k + 3h) + hy + k − 1 = 0 (12.18)
rappresenta infinite rette, ma non un fascio, in quanto non è possibile in questo caso determinare le due
generatrici, ossia non è possibile ricondurre la (12.18) alla forma (12.9).
ESEMPIO 12.9 Nell’equazione
(1 + k 2 )x + (2k + 3)y − k 2 + 1 = 0
i coefficienti non dipendono linearmente dal paramentro k, quindi l’equazione lineare in x e in y rappresenta
infinite rette (una famiglia di rette) al variare di k, ma non rappresenta un fascio, non essendo riconducibile
alla forma (12.9) o (12.12).
ESEMPIO 12.10 Si chiede di determinare la retta che i due fasci di rette x − 1 + k(x + y) = 0 e y − 2 + h(y −
x + 1) = 0 hanno in comune: allo scopo basta osservare che tale retta sarà quella passante per i centri dei due
fasci. Si verifica subito che il primo fascio ha centro in C(1, −1): basterà quindi sostituire le coordinate di
tale punto nel secondo fascio per trovare h = −3 e quindi la retta richiesta, che ha equazione 3x − 2y − 5 = 0.
§13. RETTA PER DUE PUNTI
Siano A(x1, y1) e B(x2, y2) due punti assegnati, di coordinate note: si chiede di determinare la retta passante
per tali punti.
Per risolvere il problema possiamo procedere, sulla base di quanto esposto nei precedenti paragrafi, in vari
modi. Osserviamo però dapprima che

70 capitolo 2
• se A e B hanno uguale ascissa (x1 = x2), allora è immediato dedurre che la retta cercata è una retta
verticale, di equazione x = x1;
• se A e B hanno uguale ordinata (y1 = y2), allora è immediato dedurre che la retta cercata è una retta
orizzontale, di equazione y = y1.
Supponiamo quindi, come caso generale, che i due punti abbiano ascisse ed ordinate tra loro distinte, sia cioè
x1 = x2 e y1 = y2.
I metodo.
Si tratta di determinare m e q nell’equazione y = mx + q della retta generica: a tal fine basterà imporre che
la retta generica passi per A e per B, sostituendo in essa le coordinate dei due punti, e risolvere il sistema
nelle incognite m e q che così si ottiene, come nel seguente
ESEMPIO 13.1 Dati di due punti A(2, 1) e B(4, 5), imponiamo la condizione di passaggio:
1 = m · 2 + q
5 = m · 4 + q
Risolvendo il sistema si ricava m = 2 e q = −3, da cui la retta cercata: y = 2x − 3.
II metodo.
Usiamo il metodo dei fasci, e scriviamo l’equazione del fascio proprio passante per uno dei due punti, per
esempio A: ciò, in base alla (12.4), è immediato.
Per determinare m è sufficiente richiedere che la generica retta del fascio passi anche per l’altro punto B: il
valore di m così determinato, inserito nell’equazione del fascio, dà la retta cercata, come evidente dal seguente
ESEMPIO 13.2 Risolviamo il problema del precedente Esempio col metodo dei fasci, e scriviamo l’equazione
del fascio per A(2, 1):
y − 1 = m(x − 2) (13.1)
In tale equazione sostituiamo le coordinate di B(4, 5) e ricaviamo m:
5 − 1 = m(4 − 2) ⇒ m = 2
Sostituendo tale valore nella (13.1) si ottiene la retta per A e B: y − 1 = 2(x − 2), ossia l’equazione già
trovata sopra: y = 2x − 3.
13.1 Condizione di allineamento per tre punti
Per stabilire se i tre punti A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) sono allineati sarà sufficiente determinare l’equazione
della retta r per due di essi, e verificare se il terzo punto appartiene o no a tale retta.
ESEMPIO 13.3 Per stabilire se i tre punti A(1, 2), B(−1, 6) e C(2, 3) sono allineati, determiniamo la retta
per A e B usando il metodo dei fasci: il fascio per A ha equazione
y − 2 = m(x − 1)
Imponendo il passaggio per B si ha 6 − 2 = m(−1 − 1) da cui m = −2: quindi la retta per A e B è
y − 2 = −2(x − 1) cioè y = −2x + 4.
Sostituendo le coordinate di C in tale equazione si ottiene 2 = −6 + 4, eguaglianza falsa: il punto C non è
pertanto allineato con A e B.

§14. DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA
Vogliamo ora esaminare come si possa determinare la distanza
di un punto P , di coordinate (x0, y0), da una retta data r: a tal
fine cominciamo subito con l’osservare che se tale retta risulta
parallela agli assi coordinati, il caso è banale.
Infatti la distanza P H del punto P dalla retta verticale di equazione
x = a (figura 14.1) è data semplicemente da P H = |x0−a|;
analogamente, la distanza P K dalla retta orizzontale di equazione
y = b è data da P K = |y0 − b|.
È quindi opportuno considerare il caso generale di una retta r
in posizione generica, di equazione y = mx + q (figura 14.2).
Fig. 14.2 Distanza punto–retta.
cioè
P H RS
=
P K KS
Ora, la distanza P K è immediatamente esprimibile come
retta 71
Fig. 14.1 Distanza punto–retta.
Sia P H la distanza, che vogliamo trovare, del punto
P (x0, y0) dalla retta r, e sia K il punto di intersezione
tra r e la retta verticale passante per P , di equazione
x = x0.
Il punto K, che ha ascissa x0, appartiene alla retta r,
pertanto la sua ordinata è yK = mx0 + q.
Inoltre i due triangoli rettangoli P HK e KRS risultano
simili (P ˆ KH = R ˆ KS in quanto opposti al vertice):
è possibile quindi scrivere la proporzione
P H : P K = RS : KS
(14.1)
P K = |yP − yK| = |y0 − (mx0 + q)| (14.2)
In base alla (8.21), la distanza KS si può scrivere immediatamente come
Sostituendo la (14.3) nella (14.1) e semplificando, si ha
vale a dire
da cui, usando la (14.2), si ha finalmente
KS = RS 1 + m 2 (14.3)
P H
P K =
P H =
RS
RS √ 1 + m 2
P K
√ 1 + m 2
P H = |y0 − mx0 − q|
√ 1 + m 2
(14.4)
(14.5)

72 capitolo 2
che rappresenta la formula cercata, nel caso in cui la retta sia data in forma esplicita.
Se la retta fosse data in forma implicita ax + by + c = 0, è possibile ricavare una formula per la distanza
ricordando (§9) che m = −a/b e q = −c/b: sostituendo infatti tali espressioni nella (14.5) si ha
P H = |y0 + a
b |
a 1 + (−
b x0 + c
b )2 = |y0 + a
b x0 + c
b |
a2 +b2 b2 Moltiplicando numeratore e denominatore per |b|, portando tale fattore sotto il segno di radice e semplificando
si ha
P H = |ax0 + by0 + c|
√
a2 + b2 (14.6)
che rappresenta la formula cercata.
Si può osservare che il segno di valore assoluto, nelle (14.5)(14.6), può essere omesso se è nota la posizione
di P rispetto alla retta: precisamente, se P “sta sopra” alla retta (cioè se yP > yK, ovvero se y0 > mx0 + q,
come in figura 14.2), allora l’argomento del valore assoluto è positivo: il valore assoluto può essere ignorato.
Viceversa, se P “sta sotto” ad r, si ha yP < yK, ovvero y0 < mx0 + q: in tal caso, come ben noto, si può
omettere il segno di valore assoluto, cambiando però il segno a tutto l’argomento.
ESEMPIO 14.1 Per calcolare la distanza del punto P (2, −3) dalla retta y = −x + 3 è sufficiente applicare la
(14.5) tenendo conto che x0 = 2, y0 = −3, m = −1, q = 3:
P H =
| − 3 − (−1) · 2 − 3|
1 + (−1) 2
= 4
√ 2
Per calcolare la distanza di P dalla retta in forma implicita 3x−2y +2 = 0 si potrà invece applicare la (14.6):
P H =
3 · 2 − 2 · (−3) + 2
3 2 + (−2) 2
= 14
√ 13
Naturalmente, si sarebbe anche potuto esplicitare la retta ed applicare la (14.5).
§15. LUOGHI GEOMETRICI
Nel precedente §7 abbiamo già introdotto la nozione di “luogo geometrico”: prendiamo nuovamente in considerazione
la Definizione 7.4, che riportiamo per comodità del lettore:
DEFINIZIONE 15.1 Chiamiamo luogo geometrico, o semplicemente luogo, l’insieme di tutti e soli i punti che
godono di una data proprietà P.
In questa definizione bisogna porre l’attenzione sulla locuzione “tutti e soli”: per poter affermare che una
figura è un luogo di punto, occorre mostrare che ogni punto della figura gode della proprietà P, e che se un
punto gode della proprietà P, allora esso deve appartenere alla figura.
Viceversa, un punto che non appartenga al luogo non gode della proprietà P, e se un punto non gode della
proprietà P, esso non appartiene al luogo.

15.1 Asse di un segmento
Come noto dalla Geometria euclidea, vale il seguente
TEOREMA 15.1 Il luogo dei punti di un piano equidistante da
due punti dati A, B è l’asse del segmento AB.
Sulla base di quanto sopra detto circa il concetto di luogo, questo
significa che se un punto P appartiene all’asse del segmento, allora
esso è equidistante dagli estremi del segmento stesso (cioè P A =
P B) e, viceversa, se un punto P è equidistante dagli estremi del
segmento, tale punto appartiene all’asse.
In Geometria Analitica, assegnati due punti A(x1, y1) e B(x2, y2),
per determinare l’asse del segmento AB si potrà procedere in due
modi.
retta 73
Fig. 15.1 Asse di un segmento.
I metodo
Ricordando la definizione di asse come retta perpendicolare al segmento, passante per il punto medio del
segmento stesso, sarà possibile:
1. tramite la (8.20) determinare mAB, coefficiente angolare della retta per A e B;
2. determinare le coordinate del punto medio M del segmento AB;
3. determinare l’equazione della retta passante per M e perpendicolare ad AB (in base alla (10.3), tale
retta avrà per coefficiente angolare −1/mAB).
ESEMPIO 15.1 Si chiede di determinare l’equazione dell’asse del segmento di estremi A(−2, 1) E B(3, −1):
1. per la (8.20) si ha mAB = [1 − (−1)]/(−2 − 3) = −2/5;
2. il punto medio M del segmento AB è M(1/2, 0);
3. l’equazione della retta passante per M e perpendicolare ad AB ha per coefficiente angolare m ′ =
−1/mAB = 5/2; sostituendo tale valore nel fascio di rette passanti per M, di equazione y = m(x−1/2),
si ottiene l’asse di AB: 10x − 4y − 5 = 0.
II metodo
Per determinare l’asse di un segmento si può sfruttare la proprietà di cui godono i punti dell’asse espressa
dal Teorema 15.1: quella cioè di essere equidistanti da A e B.
In concreto, questo significa che, preso un generico punto P (x, y) dell’asse, dovrà risultare P A = P B:
(x − x1) 2 + (y − y1) 2 = (x − x2) 2 + (y − y2) 2
Elevando al quadrato i due membri, svolgendo i quadrati, semplificando (si noti che i due radicandi sono
certamente positivi, come i due membri dell’uguaglianza, e i termini di II grado, x 2 e y 2 , si semplificano) e
riordinando si ottiene un’equazione lineare in x e y che rappresenta l’equazione dell’asse.

74 capitolo 2
ESEMPIO 15.2 Risolviamo l’esercizio del precedente Esempio con il secondo metodo: chiamiamo P (x, y)
un generico punto dell’asse, e imponiamo che sia P A = P B: anzi, per semplificare ulteriormente il calcolo,
scriviamo direttamente P A 2 = P B 2 :
quindi
(x + 2) 2 + (y − 1) 2 = (x − 3) 2 + (y + 1) 2
x 2 + 4x + 4 + y 2 − 2y + 1 = x 2 − 6x + 9 + y 2 + 2y + 1
cioè, semplificando: 10x − 4y − 5 = 0, risultato già trovato nell’Esempio 15.1.
15.2 Bisettrice di un angolo
Un secondo ben noto esempio di luogo è fornito dalla bisettrice di un angolo: ricordiamo in proposito i
seguenti Teoremi:
TEOREMA 15.2 Dato un angolo qualunque ˆα, esiste sempre una e una sola semiretta, detta bisettrice
dell’angolo, che esce dal vertice dell’angolo e che divide ˆα in due parti eguali.
TEOREMA 15.3 La bisettrice di un angolo convesso (ossia non contenente i prolungamenti dei lati) è il luogo
dei punti equidistanti dai lati dell’angolo.
Si dice retta bisettrice di un angolo la retta che contiene la semiretta bisettrice e anche la semiretta opposta.
Ovviamente la retta bisettrice di ˆα divide a metà anche
l’angolo opposto al vertice di ˆα stesso.
In analogia a quanto sopra visto per l’asse, il Teorema
15.3 asserisce che se un punto P appartiene alla
bisettrice di un angolo, allora P è equidistante dai
lati dell’angolo (cioè, con riferimento a figura 15.2,
P H = P K) e, viceversa, se P è equidistante dai lati,
allora necessariamente P appartiene alla bisettrice
dell’angolo.
In Geometria Analitica, assegnato un certo angolo, di
cui siano note le equazioni dei lati, il metodo più semplice
per determinare l’equazione della retta bisettrice
consiste appunto nello sfruttare la proprietà ora enunciata.
Fig. 15.2 Bisettrice di un angolo.
Precisamente, detto P (x, y) il generico punto della retta bisettrice, se le rette dei lati hanno equazioni
r : ax + by + c = 0 e r ′ : a ′ x + b ′ y + c ′ = 0, calcoleremo dapprima P H e P K che in base alla (14.6) sono:
P H =
|ax + by + c|
√ a 2 + b 2
e P K = |a′ x + b ′ y + c ′ |
√ a ′2 + b ′2
Imponendo ora la condizione P H = P K (in quanto P appartiene alla retta bisettrice), si ha
|ax + by + c|
√ a 2 + b 2
= |a′ x + b ′ y + c ′ |
√ a ′2 + b ′2

e quindi
retta 75
ax + by + c
√ a 2 + b 2 = ±a′ x + b ′ y + c ′
√ a ′2 + b ′2
(si ricordi che |a| = |b| equivale a dire a = ±b, cioè a = b o a = −b).
(15.1)
Si noti che l’imposizione della condizione P H = P K porta a determinare due equazioni di rette, date dalla
(15.1), e precisamente
ax + by + c
√ a 2 + b 2 = +a′ x + b ′ y + c ′
√ a ′2 + b ′2
e
ax + by + c
√ a 2 + b 2 = −a′ x + b ′ y + c ′
√ a ′2 + b ′2
Tali equazioni sono quelle delle rette s e t, rappresentate in Figura 15.2 (rette bisettrici delle due coppie
di angoli al vertice individuati dalle rette r e r ′ ). Si osservi che risulta s⊥t, come noto dalla geometria
elementare e come facilmente dimostrabile.
ESEMPIO 15.3 Date le due rette incidenti di equazioni r : x − 2y + 1 = 0 e s : 3x − y − 2 = 0, per la (15.1)
le equazioni delle rette bisettrici degli angoli formati dalle rette r ed s sono
x − 2y + 1
√ 5
3x − y − 2
= ± √
10
Moltiplicando ambo i membri per √ 10 si ottiene √ 2(x − 2y + 1) = ±(3x − y − 2) ossia, considerando
separatamente il segno più e il segno meno e svolgendo i semplici calcoli:
x( √ 2 − 3) + y(1 − 2 √ 2) + √ 2 + 2 = 0 e x( √ 2 + 3) − y(1 + 2 √ 2) + √ 2 − 2 = 0
Si noti che i coefficienti angolari della due rette così trovate sono rispettivamente
m1 = 3 − √ 2
1 − 2 √ 2
e
√
2 + 3
m2 =
1 + 2 √ 2
Verifichi il lettore che risulta m1 · m2 = −1, ovvero che le due rette bisettrici trovate sono perpendicolari.
15.3 Luogo dei punti equidistanti da due rette parallele
Se le due rette r : ax + by + c = 0 e r ′ : a ′ x + b ′ y + c ′ = 0 sono parallele, esse determinano una striscia
costituita dalla parte di piano compresa tra le due rette.
In questo caso il luogo dei punti equidistanti da r e r ′ è costituito evidentemente dalla retta parallela ad r e
r ′ , che divide la striscia a metà. Il procedimento più semplice e veloce per determinare questa retta è identico
a quello descritto nel paragrafo precedente: in questo caso si ottiene però una sola equazione, come evidente
dal seguente
ESEMPIO 15.4 Date le rette parallele r : 2x + 3y − 4 = 0 e s : 2x + 3y + 1 = 0, chiamiamo P (x, y) il generico
punto appartenente al luogo dei punti equidistanti da r ed r ′ . Chiediamo quindi che la distanza di P da r
sia uguale alla distanza di P da r ′ :
cioè, semplificando i denominatori,
|2x + 3y − 4|
√ 4 + 9
= |2x + 3y + 1|
√ 4 + 9
2x + 3y − 4 = 2x + 3y + 1 e 2x + 3y − 4 = −(2x + 3y + 1)

76 capitolo 2
La prima delle due equazioni è evidentemente impossibile, la seconda invece, che, dopo semplici passaggi, si
può riscrivere come t : 4x + 6y − 3 = 0, dà il luogo cercato.
Si lascia al lettore come esercizio di rappresentare graficamente le tre rette r, s, t in questione sul piano
cartesiano.
§16. EQUAZIONI PARAMETRICHE DI UN LUOGO
Come è stato detto, un luogo può essere definito da un’equazione F (x, y) = 0 o anche, talvolta, da una
funzione y = f(x): si dice che queste sono le equazioni cartesiane del luogo.
Esiste però anche un’altra forma per descrivere un luogo geometrico: infatti, se si pone x = t, dove t
rappresenta un parametro reale definito in un sottoinsieme A di R (A ⊆ R), si ottiene:
x = t
F (t, y) = 0
che rappresentano le equazioni parametriche del luogo.
oppure
x = t
y = f(t)
(16.1)
ESEMPIO 16.1 Le equazioni parametriche della retta in forma cartesiana −6x + 2y + 5 = 0 si otterranno
scrivendo dapprima l’equazione della retta in forma esplicita: y = 3x − 5/2, poi ponendo x = t ∈ R e quindi
y = 3t − 5/2: x = t
y = 3t − 5/2
Si osservi che si sarebbe anche potuto procedere scrivendo la retta come 6x = 2y + 5, quindi eguagliando i
due membri a t: 6x = t
2y + 5 = t
⇒
x = t/6
y = (t − 5)/2
Questo mostra che la rappresentazione parametrica di un luogo non è unica.
Più in generale, possiamo pensare che i punti di coordinate (x, y) di un certo luogo possano essere rappresentati
dalla coppia di equazioni:
x = f(t)
y = g(t)
(16.2)
in funzione del parametro reale t. Questo significa che al variare di t si ottengono, tramite le funzioni f(t) e
g(t), le coordinate (x(t), y(t)) dei punti del luogo.
Se si vuole passare dalla forma parametrica a quella cartesiana, occorrerà ricavare il parametro da una delle
due equazioni ed “eliminarlo” operando una sostituzione, come nel seguente
ESEMPIO 16.2 Si vuole scrivere in forma cartesiana la curva di equazioni parametriche:
x = t + 2
y = 2t − 3
A tal fine basta ricavare il parametro dalla prima equazione: t = x − 2, e sostituire nella seconda, ottenendo
y = 2(x − 2) − 3, cioè y = 2x − 7, che rappresenta il luogo in forma cartesiana.
Numerosi problemi chiedono di determinare proprio l’equazione del luogo dei punti che godono di una certa
proprietà, ossia che soddisfano una certa condizione, come nel seguente
ESEMPIO 16.3 Si consideri il triangolo che ha due vertici fissi: A(2, 1) e B(3, −2), ed il terzo vertice C sulla
retta r di equazione y = x + 2 (figura 16.1). Poiché C ∈ r, indicata con il parametro reale t l’ascissa di C, la
corrispondente ordinata sarà y = −t + 5 e le coordinate di C risultano (t, −t + 5).

e
Fig. 16.1 Luogo dei baricentri di un triangolo.
yG =
retta 77
1 − 2 − t + 5
3
Naturalmente tali coordinate si sarebbero potute
anche indicare come (x, −x + 5), ma per non ingenerare
confusioni (si vedrà tra poco quali) è meglio
“cambiare lettera” ed introdurre proprio un parametro
per dare le coordinate di C.
In base alle (4.3) le coordinate del baricentro G del
triangolo ABC sono
= −t + 4
3
xG =
2 + 3 + t
3
= 5 + t
3
cioè, omettendo il pedice, le coordinate in forma parametrica del baricentro risultano proprio
x = (5 + t)/3
y = (−t + 4)/3
(si noti l’opportunità di avere usato la lettera t e non x per indicare le coordinate di C: in caso contrario si
sarebbe fatta confusione tra la ascissa di C e quella del baricentro).
Eliminiamo t: dalla prima equazione si ha t = 3x − 5 che, sostituita nella seconda, dà la retta s: y = −x + 3,
che è l’equazione del luogo: questo significa che al variare di C sulla retta r, i baricentri del triangolo ABC
“si muovono” restando sulla retta s.
In Fisica il parametro t spesso rappresenta il tempo; come noto dalla cinematica, in tale contesto l’insieme
dei punti (x(t), y(t)) viene a rappresentare le posizioni del corpo (inteso come punto materiale) in movimento
al variare del tempo (in questo caso, visto che il moto avviene sul piano, si tratterà di un moto piano): il
luogo dei punti (x(t), y(t)) dà quindi la traiettoria del corpo, e le equazioni (16.2) sono dette equazioni orarie
o anche legge oraria del moto.
§17. ESERCIZI SVOLTI SULLA RETTA
Si deve sottolineare con forza sin da ora che per risolvere problemi di Geometria Analitica, che potranno essere
più o meno complessi, la conoscenza delle “tecniche-base” fin qui viste (e delle altre tecniche che vedremo nei
capitoli seguenti) è condizione necessaria, così come i risultati della geometria euclidea e le tecniche algebriche
studiate al Biennio.
A tali “prerequisiti” va aggiunta una capacità di ragionamento e di analisi, per acquistare le quali è perfettamente
illusorio pensare di poter fare a meno di applicazione ed esercizio personali costanti.
Ciò premesso, proprio per acquisire la opportuna capacità di analisi, si presentano qui alcuni problemi svolti,
che andranno seguiti con attenzione specialmente per quanto attiene al metodo di risoluzione.
Inutile sottolineare che tali esempi certamente non esauriscono la casistica, potenzialmente infinita.
ESEMPIO 17.1 Tracciare il grafico della funzione
Si può osservare come questo esempio mostri che una funzione non necessariamente è sempre espressa come
y = f(x) con f a rappresentare un’unica espressione analitica, ma può anche essere definita “a tratti”, ossia
può assumere forme diverse su diversi intervalli.

78 capitolo 2
Fig. 17.1 Esempio 17.1.
ESEMPIO 17.2 Tracciare il grafico delle funzione
Ricordando che
|x − 2| =
f(x) =
(x − 2)2
|x − 2|
x − 2 per x ≥ 2
−(x − 2) per x < 2
(17.1)
f(x) =
2x − 4 per x ≥ 3
x/3 − 1 per x < 3
L’esercizio è estremamente semplice: si tratta di tracciare
la retta y = 2x − 4 e di considerarne solo la semiretta
a destra di x = 3 (valora incluso) e, analogamente,
di tracciare la retta y = x/3 − 1 e di considerarne
solo la semiretta a sinistra di x = 3 (ora valora
escluso). Tale grafico è riportato in figura 17.1.
la (17.1) viene a scriversi Fig. 17.2 Esempio 17.2.
f(x) =
(x−2) 2
x−2
(x−2) 2
−(x−2)
≡ x − 2 per x > 2
≡ −x + 2 per x < 2
(17.2)
(si noti che nella (17.2) il valore x = 2 è escluso, in quanto per tale valore la (17.1) perde di significato).
Pertanto, come per l’esercizio precedente, si tratta di rappresentare le due rette di equazione y = x − 2 e
y = −x + 2, di cui però andranno considerati i tratti a destra (x > 2) e a sinistra (x < 2) del punto x = 2.
Il semplice grafico è rappresentato in figura 17.2.
ESEMPIO 17.3 Determinare i punti della retta y = −4x + 1 equidistanti dai punti A(3, 1) e B(6, 4).
Indicando con P (x, y) = P (x, −4x + 1) il generico punto della retta, è sufficiente imporre la condizione
P A = P B, o direttamente la condizione equivalente P A 2 = P B 2 :
(x − 3) 2 + (−4x + 1 − 1) 2 = (x − 6) 2 + (−4x + 1 − 4) 2
Risolvendo la semplice equazione si ottiene subito x = −2 e quindi y = 9: il punto cercato ha quindi
coordinate (−2, 9).
ESEMPIO 17.4 Il triangolo ABC ha due vertici in A(−2, 4) e in B(5, 1): si deve determinare il terzo vertice
sapendo che esso appartiene alla retta r : y = −2x − 2 e che il baricentro G sta sulla bisettrice del I e III
quadrante.
Come al solito, poiché C ∈ s, le sue coordinate possono essere scritte come C(k, −2k − 2), dove si è preferito
indicare con k, e non con x, l’ascissa. Il baricentro G del triangolo risulta quindi avere ascissa e ordinata

date da:
xG =
−2 + 5 + k
3
retta 79
e yG =
4 + 1 − 2k − 2
3
Poichè G appartiene alla retta y = x, bisettrice del I e III quadrante, dovrà essere xG = yG e quindi
da cui k = 0: si ha pertanto C(0, −2).
−2 + 5 + k
3
= 4 + 1 − 2k − 2
3
ESEMPIO 17.5 Dati i punti A(2, 2) e B(5, 3), determinare sulla retta r : 3x − y − 6 = 0 un punto C in modo
tale che l’area del triangolo ABC misuri 5.
Poichè r : y = 3x − 6, le coordinate di C possono essere scritte come C(k, 3k − 6), dove al solito si è usato k
al posto di x. Per risolvere il peroblema occorrerà calcolare l’area A del triangolo, in funzione – ovviamente
– di k, e porre tale area uguale a 5.
Per determinare A bisognerà: 1) determinare la lunghezza della base AB; 2) determinare l’equazione della
retta per A e B; 3) determinare l’altezza CH relativa ad AB, data dalla distanza di C dalla retta s passante
per A e B (dove ovviamente H è il piede della perpendicolare condotta da C ad s.
Avendo “scomposto” la risoluzione in tali passi, avremo:
AB = (5 − 2) 2 + (3 − 2) 2 = √ 10
La retta s passante per A e per B può essere determinata col metodo dei fasci (§13): il fascio per A
ha equazione y − 2 = m(x − 2); imponendo il passaggio per B(5, 3) si ottiene subito m = 1/3 e quindi,
sostituendo tale valore nell’equazione del fascio, si ha s : x − 3y + 4 = 0.
Infine la distanza tra C ed s si calcola tramite la (14.6):
L’area del triangolo risulta così:
CH =
|k − 3(3k − 6) + 4|
√ 1 + 3 2
= | − 8k + 22|
√ 10
A = 1
1√
| − 8k + 22|
AB · CH = 10 √ = | − 4k + 11|
2 2 10
Siamo ora in grado di scrivere l’equazione risolvente del problema, nell’incognita k:
| − 4k + 11| = 5 ⇒ −4k + 11 = ±5
Le due equazioni ottenute (−4k + 11 = 5 e −4k + 11 = −5) danno le due soluzioni k = 3/2 e k = 4: i punti
sulla retta r che soddisfano alla richiesta del problema sono quindi due: C1(3/2, −3/2) e C2(4, 6).
ESEMPIO 17.6 La distanza del punto P dal punto A(1, −2) è 5. Si sa inoltre che il coefficiente angolare
mP A della retta passante per P e per A è 4/3. Si chiede di determinare le coordinate di P .
Chiamiamo genericamente tali coordinate incognite x ed y; occorre sfruttare le due condizioni date dal
problema: P A = 5, o meglio P A 2 = 25, e mP A = 4/3:
e
P A 2 = (x − 1) 2 + (y + 2) 2 = 25 ⇒ x 2 + y 2 − 2x + 4y − 20 = 0
mP A =
y + 2 4
=
x − 1 3
⇒ 3y − 4x + 10 = 0

80 capitolo 2
Mettendo a sistema le due equazioni così trovate è possibile calcolare le coordinate di P : verifichi il lettore
che risultano due soluzioni: P (4, 2) e P (−2, −6).
ESEMPIO 17.7 Determinare per quale valore di k la retta r : y = kx − 2 appartiene al fascio generato dalle
due rette s : y = 5x − 7 e t : y = −3x + 9.
Evidentemente, affinché r appartenga al fascio in questione, r dovrà passare per il centro C del fascio stesso.
Tale centro si ottiene subito intersecando s e t: risulta C(2, 3): imponendo il passaggio di r per tale punto si
ha 3 = k · 2 − 2 ossia k = 5/2.
ESEMPIO 17.8 Un triangolo ha vertici O(0, 0), A(6, 0) e B(0, 4).
Si deve condurre una retta orizzontale r che divida il triangolo
in due parti aventi area uguale.
Tracciamo una generica retta orizzontale r, di equazione y = k,
che incontra l’asse y in C e il lato AB del triangolo in D (figura
17.3).
Si noti che affinché r intersechi il triangolo, la retta r non può
“salire” oltre B né “scendere” al di sotto di O: questo si traduce
nella condizione 0 < k < 4.
Fig. 17.3 Esempio 17.8.
Ciò premesso, il triangolo risulta suddiviso da r nel triangolo BCD e nel trapezio rettangolo OADC: per
determinare le aree di tali figure dovremo determinare – in funzione di k – i segmenti BC, CD, OC, OA.
Si ha subito: OC = k, BC = 4 − k, AB = 6. Per determinare CD occorre trovare le coordinate di D,
punto di intersezione tra y = k e la retta passante per B e A: tale retta si trova subito ed ha equazione
y = −2x/3 + 4, quindi dal sistema
y = k
y = −2x/3 + 4
si ha xD = −3k/2 + 6 e quindi CD = −3k/2 + 6.
Si hanno quindi tutti gli elementi per il calcolo delle due aree:
e
A(BCD) = 1
2
A(OADC) =
BC · CD = 1
2
(OA + CD)OC
2
Dovendo essere A(BCD) = A(OADC) si ha l’equazione risolvente:
1
2
(4 − k)(−3
2
k + 6) = 1
2
(4 − k)(−3 k + 6)
2
= 1 3
(6 − k + 6)k
2 2
3
(6 − k + 6)k
2
da cui, con semplici passaggi, k 2 − 8k + 8 = 0 che dà k1 = 4 − 2 √ 2 e k2 = 4 + 2 √ 2: di queste radici k2 non è
accettabile, essendo al di fuori dei limiti imposti a k (infatti k2 > 4).
Si tratta ora di scegliere un’incognita, poi di scrivere e risolvere un’equazione contenente tale incognita:
chiamiamo x ∈ R l’ascissa di B, che quindi viene ad avere coordinate B(x, 2).
Il problema consiste ora nello scrivere le coordinate di C e D in funzione di x: per quanto riguarda D,
sapendo che BD = 3 e che xD < xB è facile ricavare che l’ascissa di D è x − 3, e quindi che le coordinate di
D sono D(x − 3, 2).
Più delicata la questione delle coordinate del vertice C: indicando per il momento tali coordinate con α
(l’ascissa) e β (l’ordinata), il problema sta nello scrivere tali coordinate in funzione di x.

ESEMPIO 17.9 Il parallelogrammo ABCD ha un vertice
in A(2, 0), la diagonale BD è sulla retta y = 2
e misura 3, mentre la diagonale AC è lunga √ 41.
Si sa inoltre che l’ascissa del vertice B è maggiore
dell’ascissa del vertice D. Si chiede di determinare le
coordinate dei vertici B, C, D.
Tracciamo un disegno sommario della figura, indicando
con M il centro del parallelogrammo.
retta 81
Fig. 17.4 Esempio 17.9.
La soluzione è fornita dal fatto che M taglia le due diagonali a metà, e quindi M risulta punto medio sia di
AC sia di BD. Calcolando quindi xM e yM dalle coordinate di B(x, 2) e D(x − 3, 2) si ha
xM =
2x − 3
2
yM = 2
Calcolando xM e yM dalle coordinate di A(2, 0) e C(α, β) si ha
Allora
2x − 3
2
2 + α
=
2
xM =
e 2 = β
2
2 + α
2
yM = β
2
⇒ α = 2x − 5 e β = 4
Abbiamo in tal modo ricavato le coordinate di C in funzione dell’unica incognita x. Non rimane che utilizzare
l’informazione (finora non sfruttata) relativa alla lunghezza della diagonale AC, per scrivere l’equazione
risolvente:
AC = √ 41 ⇒ (2x − 5 − 2) 2 + 4 2 = 41 ⇒ x 2 − 7x + 6 = 0
L’ultima equazione fornisce x = 1 o x = 6: i possibili parallelogrammi che soddisfano alle condizioni del
problema sono pertanto due, aventi i vertici nei punti B(1, 2), C(−3, 4) e D(−2, 2), oppure B(6, 2), C(7, 4)
e D(3, 2).
Si lascia come semplice esercizio al lettore di verificare che il perimetro e l’area dei due parallelogrammi in
questione misurano rispettivamente 6 √ 5 e 6.
ESEMPIO 17.10 Sono dati i punti A(2, 0), B(−3, 0) e
C(0, t) con t ∈ R; da A e B si conducono le rette r ed s
rispettivamente perpendicolari ad AC e BC (figura 17.5).
Si chiede di determinare il luogo dei punti di intersezione
di r ed s al variare di t.
Si può osservare preliminarmente che per t = 0 il punto C
coincide con O(0, 0) e r//s: in questo caso non c’è intersezione.
Supporremo quindi t = 0.
Per risolvere il problema occorre determinare le equazioni
delle rette r ed s. Consideriamo per esempio r: tra le rette
del fascio di centro A, di equazione y = m(x−2), dobbiamo
determinare la retta perpendicolare alla retta passante per
C ed A.
Fig. 17.5 Esempio 17.10.

82 capitolo 2
Risulta immediatamente che mAC = −t/2, quindi mr = 2/t; l’equazione di r è dunque
y = 2
(x − 2) con t = 0 (17.3)
t
In modo analogo si ha mBC = t/3, quindi ms = −3/t: sostituendo tale valore nell’equazione del fascio di
centro B: y = m(x + 3) si ottiene l’equazione di s:
y = − 3
(x + 3) con t = 0 (17.4)
t
Mettendo a sistema le due equazioni, semplificando il parametro t e riordinando si ottiene x + 1 = 0, o
x = −1. Da questa retta occorre però escludere il punto P (−1, 0) in quanto l’ordinata y = 0 non si ottiene
per alcun valore di t dalle (17.3)(17.4): tale esclusione è peraltro evidente anche esaminando la figura: il
punto M si “avvicina” a P (−1, 0) man mano che t aumenta (C “sale” sull’asse y) o diminuisce (C “scende”
sull’asse y), ma M coinciderebbe con P solo per valori di t infiniti (t = ±∞).