CAPITOLO 2 §8. EQUAZIONE DELLA RETTA IN ... - Ivan Cervesato

60 capitolo 2
Nel seguente §12.2 vedremo un secondo metodo per risolvere lo stesso problema.
Consideriamo ora la condizione di perpendicolarità; osserviamo anzitutto che, anche in questo caso, verificare
la perpendicolarità tra rette parallele agli assi è del tutto immediato: tali rette saranno tra loro perpendicolari
se una ha coefficiente angolare nullo (cioè equazione della forma y = b) e l’altra ha coefficiente angolare infinito
(cioè equazione della forma x = a).
Siano quindi r ed s due rette passanti per l’origine e perpendicolari
tra loro: naturalmente, il fatto di considerare
rette per l’origine O non riduce la generalità del discorso,
in quanto se le due rette perpendicolari si intersecassero
in un punto A diverso da O, si potrebbe sempre effettuare
una opportuna traslazione degli assi che porti l’origine del
sistema proprio in A, riconducendosi al caso considerato.
La retta r ha dunque equazione y = mx, la retta s ha
equazione y = m ′ x (figura 10.2). Consideriamo ora il punto
A ∈ r di ascissa x = 1: la rispettiva ordinata risulta
evidentemente y = m · 1 = m; pertanto si ha A(1, m).
Fig. 10.2 Condizione di perpendicolarità.
In modo analogo sia B ∈ s con ascissa x = 1: quindi B(1, m ′ ). Ora, il triangolo AOH è rettangolo, quindi
applicando il teorema di Pitagora si ha
OA 2 = OH 2 + AH 2 = 1 2 + m 2 = 1 + m 2
Analogamente, essendo anche OHB triangolo rettangolo, si ha
OB 2 = OH 2 + BH 2 = 1 2 + m ′2 = 1 + m ′2
Infine, anche il triangolo ABO è rettangolo, quindi, tenendo conto che AB = |m − m ′ |, si ha
quindi
da cui, semplificando, si ottiene subito
AB 2 = AO 2 + BO 2
(m − m ′ ) 2 = 1 + m 2 + 1 + m ′2
m · m ′ = −1 oppure m = − 1
m ′
Condizione di perpendicolarità fra rette: due rette di equazioni y = mx + q e y = m ′ x + q ′ risultano
perpendicolari se e solo se i due coefficienti angolari sono antireciproci, cioè se e solo se uno è l’opposto
del reciproco dell’altro (oppure, equivalentemente, se e solo se il prodotto dei due coefficienti angolari è
−1).
(10.3)
Anche in questo caso, se le rette sono in forma implicita (ax + by + c = 0 e a ′ x + b ′ y + c ′ = 0), ricordando
che m = −a/b la condizione di perpendicolarità diventa
− a
b
− a′
b ′
= −1