CAPITOLO 2 §8. EQUAZIONE DELLA RETTA IN ... - Ivan Cervesato

66 capitolo 2
In particolare, per λ = 0, la combinazione lineare (12.9) “restituisce” la retta s e, analogamente, per µ = 0
la (12.9) si riduce alla retta r: tali rette sono dette generatrici del fascio.
L’uso di due parametri può essere evitato dividendo la (12.9) per (ad esempio) λ:
ponendo ora k = µ/λ, la (12.9) viene a scriversi:
ax + by + c + µ
λ (a′ x + b ′ y + c ′ ) = 0 (12.11)
ax + by + c + k(a ′ x + b ′ y + c ′ ) = 0 (12.12)
che rappresenta l’equazione del fascio in un solo parametro k ∈ R: se k = 0 si ottiene, nuovamente, la retta
r (prima generatrice); la retta s non viene invece rappresentata per alcun valore finito di k.
Se però si ricorda (si veda poco sopra) che la retta s si otteneva dalla (12.9) per λ = 0, ricordando quanto si
è detto in §8.2 a proposito di infinito, si ha che la retta s (seconda generatrice) si ottiene dalla (12.12) per
k = µ/0 = ∞.
Pertanto, la (12.9) rappresenta, al variare di λ e µ, tutte le rette per P , ma ha lo “svantaggio” di essere
un’equazione in due parametri; la (12.12) rappresenta, al variare dell’unico parametro k, tutte le rette per P
tranne la seconda generatrice s.
In base a quanto detto, tuttavia, diremo per convenzione che la seconda generatrice si ottiene dalla (12.12)
in corrispondenza di k = ∞.
In analogia con la (12.10), la (12.12) può anche essere scritta come
(a + ka ′ )x + (b + kb ′ )y + (c + kc ′ ) = 0 (12.13)
in cui è ben visibile che i coefficienti di x ed y ed il termine noto vengono a dipendere da k, al variare del
quale si ottengono diverse rette passanti per P .
Il coefficiente angolare della (12.13) risulta subito dato da
a + ka′
m = −
b + kb ′
(12.14)
Poichè le generatrici sono incidenti, a/b = a ′ /b ′ , cioè a/a ′ = b/b ′ : ma allora m dato dalla (12.14) viene
effettivamente a dipendere da k, in quanto
a′
a + ka′ + k a m = − = −a(1
b + kb ′ )
b(1 + k b′
b )
e le quantità 1 + ka ′ /a e 1 + kb ′ /b non possono essere semplificate.
(12.15)
Se viceversa le due generatrici iniziali fossero parallele, se cioè fosse a/b = a ′ /b ′ , il che significa a/a ′ =
b/b ′ , nella (12.15) si potrebbero semplificare le due parentesi a numeratore e denominatore, ottenendo m =
−a/b =costante: in altre parole, tutte le rette del fascio, avendo stesso coefficiente angolare, risulterebbero
tra loro parallele. Se le generatrici sono parallele si ottiene quindi un fascio improprio.
Riassumendo: