CAPITOLO 2 §8. EQUAZIONE DELLA RETTA IN ... - Ivan Cervesato

More documents

Recommendations

Info

72 capitolo 2 che rappresenta la formula cercata, nel caso in cui la retta sia data in forma esplicita. Se la retta fosse data in forma implicita ax + by + c = 0, è possibile ricavare una formula per la distanza ricordando (§9) che m = −a/b e q = −c/b: sostituendo infatti tali espressioni nella (14.5) si ha P H = |y0 + a b | a 1 + (− b x0 + c b )2 = |y0 + a b x0 + c b | a2 +b2 b2 Moltiplicando numeratore e denominatore per |b|, portando tale fattore sotto il segno di radice e semplificando si ha P H = |ax0 + by0 + c| √ a2 + b2 (14.6) che rappresenta la formula cercata. Si può osservare che il segno di valore assoluto, nelle (14.5)(14.6), può essere omesso se è nota la posizione di P rispetto alla retta: precisamente, se P “sta sopra” alla retta (cioè se yP > yK, ovvero se y0 > mx0 + q, come in figura 14.2), allora l’argomento del valore assoluto è positivo: il valore assoluto può essere ignorato. Viceversa, se P “sta sotto” ad r, si ha yP < yK, ovvero y0 < mx0 + q: in tal caso, come ben noto, si può omettere il segno di valore assoluto, cambiando però il segno a tutto l’argomento. ESEMPIO 14.1 Per calcolare la distanza del punto P (2, −3) dalla retta y = −x + 3 è sufficiente applicare la (14.5) tenendo conto che x0 = 2, y0 = −3, m = −1, q = 3: P H = | − 3 − (−1) · 2 − 3| 1 + (−1) 2 = 4 √ 2 Per calcolare la distanza di P dalla retta in forma implicita 3x−2y +2 = 0 si potrà invece applicare la (14.6): P H = 3 · 2 − 2 · (−3) + 2 3 2 + (−2) 2 = 14 √ 13 Naturalmente, si sarebbe anche potuto esplicitare la retta ed applicare la (14.5). §15. LUOGHI GEOMETRICI Nel precedente §7 abbiamo già introdotto la nozione di “luogo geometrico”: prendiamo nuovamente in considerazione la Definizione 7.4, che riportiamo per comodità del lettore: DEF<strong>IN</strong>IZIONE 15.1 Chiamiamo luogo geometrico, o semplicemente luogo, l’insieme di tutti e soli i punti che godono di una data proprietà P. In questa definizione bisogna porre l’attenzione sulla locuzione “tutti e soli”: per poter affermare che una figura è un luogo di punto, occorre mostrare che ogni punto della figura gode della proprietà P, e che se un punto gode della proprietà P, allora esso deve appartenere alla figura. Viceversa, un punto che non appartenga al luogo non gode della proprietà P, e se un punto non gode della proprietà P, esso non appartiene al luogo.
15.1 Asse di un segmento Come noto dalla Geometria euclidea, vale il seguente TEOREMA 15.1 Il luogo dei punti di un piano equidistante da due punti dati A, B è l’asse del segmento AB. Sulla base di quanto sopra detto circa il concetto di luogo, questo significa che se un punto P appartiene all’asse del segmento, allora esso è equidistante dagli estremi del segmento stesso (cioè P A = P B) e, viceversa, se un punto P è equidistante dagli estremi del segmento, tale punto appartiene all’asse. In Geometria Analitica, assegnati due punti A(x1, y1) e B(x2, y2), per determinare l’asse del segmento AB si potrà procedere in due modi. retta 73 Fig. 15.1 Asse di un segmento. I metodo Ricordando la definizione di asse come retta perpendicolare al segmento, passante per il punto medio del segmento stesso, sarà possibile: 1. tramite la (8.20) determinare mAB, coefficiente angolare della retta per A e B; 2. determinare le coordinate del punto medio M del segmento AB; 3. determinare l’equazione della retta passante per M e perpendicolare ad AB (in base alla (10.3), tale retta avrà per coefficiente angolare −1/mAB). ESEMPIO 15.1 Si chiede di determinare l’equazione dell’asse del segmento di estremi A(−2, 1) E B(3, −1): 1. per la (8.20) si ha mAB = [1 − (−1)]/(−2 − 3) = −2/5; 2. il punto medio M del segmento AB è M(1/2, 0); 3. l’equazione della retta passante per M e perpendicolare ad AB ha per coefficiente angolare m ′ = −1/mAB = 5/2; sostituendo tale valore nel fascio di rette passanti per M, di equazione y = m(x−1/2), si ottiene l’asse di AB: 10x − 4y − 5 = 0. II metodo Per determinare l’asse di un segmento si può sfruttare la proprietà di cui godono i punti dell’asse espressa dal Teorema 15.1: quella cioè di essere equidistanti da A e B. In concreto, questo significa che, preso un generico punto P (x, y) dell’asse, dovrà risultare P A = P B: (x − x1) 2 + (y − y1) 2 = (x − x2) 2 + (y − y2) 2 Elevando al quadrato i due membri, svolgendo i quadrati, semplificando (si noti che i due radicandi sono certamente positivi, come i due membri dell’uguaglianza, e i termini di II grado, x 2 e y 2 , si semplificano) e riordinando si ottiene un’equazione lineare in x e y che rappresenta l’equazione dell’asse.
Page 1 and 2: CAPITOLO 2 RETTA §8. EQUAZIONE DEL
Page 3 and 4: etta 53 Si osservi solo di sfuggita
Page 5 and 6: Fig. 8.4 Coefficiente angolare e pe
Page 7 and 8: etta 57 indipendente x, ricavando i
Page 9 and 10: etta 59 2. mentre la forma esplicit
Page 11 and 12: ovvero retta 61 aa ′ + bb ′ = 0
Page 13 and 14: etta 63 In base a quanto già visto
Page 15 and 16: in esame, in cui x0 = −2 e y0 = 3
Page 17 and 18: etta 67 un’equazione lineare dell
Page 19 and 20: ESEMPIO 12.7 Data l’equazione ret
Page 21: §14. DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA R
Page 25 and 26: e quindi retta 75 ax + by + c √ a
Page 27 and 28: e Fig. 16.1 Luogo dei baricentri di
Page 29 and 30: date da: xG = −2 + 5 + k 3 retta
Page 31 and 32: ESEMPIO 17.9 Il parallelogrammo ABC

CAPITOLO 2 §8. EQUAZIONE DELLA RETTA IN ... - Ivan Cervesato

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?