CAPITOLO 2 §8. EQUAZIONE DELLA RETTA IN ... - Ivan Cervesato

62 capitolo 2
Le trasformazioni (10.6) rappresentano la simmetria cercata:
dato il punto P (x, y), le coordinate del suo simmetrico P ′ si ottengono semplicemente scambiando tra
loro le due coordinate di P .
Ad esempio, se P (−2, 3), allora P ′ (3, −2).
Quanto visto per un punto si estende subito ad un insieme di punti, ovvero al grafico di una funzione di
equazione y = f(x) o di una curva di equazione F (x, y) = 0: il grafico simmetrico si ottiene scambiando tra
loro le due coordinate: x = f(y) o F (y, x) = 0.
ESEMPIO 10.6 Data la retta r di equazione y = 3x − 1, la retta simmetrica di r rispetto alla bisettrice del
I e III quadrante ha equazione x = 3y − 1 che naturalmente può essere esplicitata, all’occorrenza, rispetto
alla y come y = x/3 + 1/3. In questo esempio la curva iniziale è rappresentata da una funzione, ed anche la
simmetrica è ancora una funzione: non sempre ciò accade, come evidente dal seguente
ESEMPIO 10.7 Data la curva (parabola) di equazione y = x 2 , la curva simmetrica rispetto alla y = x ha
equazione x = y 2 , che non è una funzione (infatti un valore di x corrispondono due valori di y: y = √ x e
y = − √ x).
Si lascia come esercizio verificare che le equazioni della simmetria rispetto alla bisettrice del II e IV quadrante
sono
′ x = −y
y ′ = −x
(10.7)
Pertanto la curva simmetrica della curva di equazione F (x, y) = 0 ha equazione F (−y, −x) = 0.
ESEMPIO 10.8 Data la curva γ di equazione x 3 − y 2 + 2x − xy + 1 = 0, la simmetrica di γ rispetto alla retta
y = −x è −y 3 − x 2 − 2y − xy + 1 = 0, ottenuta con le sostituzioni x → −y e y → −x.
In particolare, se le trasformazioni (10.6) non mutano la forma della curva (cioè se F (x, y) = F (y, x)), si dice
che la curva è simmetrica rispetto alla retta di equazione y = x.
Analogamente, se le trasformazioni (10.7) non mutano la forma della curva (cioè se F (x, y) = F (−y, −x)), si
dice che la curva è simmetrica rispetto alla retta di equazione y = −x.
La seguente tabella completa la tabella 7.1 con le due simmetrie ora introdotte.
simmetria rispetto a:
asse x asse y origine y = x y = −x
x → x
y → −y
x → −x
y → y
x → −x
y → −y
x → y
y → x
Tabella 10.1 Simmetrie elementari.
x → −y
y → −x
§11. POSIZIONE RECIPROCA TRA DUE RETTE
Dalla geometria elementare è noto che due rette nel piano possono intersecarsi (in uno e in un solo punto),
possono essere parallele o possono essere coincidenti (in questo caso “banale” i punti in comune sono infiniti) 2 .
2 Nello spazio due rette possono risultare anche sghembe: ciò accade quando le due rette non sono parallele ma, appartenendo
a piani diversi, non hanno comunque punti in comune.