CAPITOLO 2 §8. EQUAZIONE DELLA RETTA IN ... - Ivan Cervesato

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• se A e B hanno uguale ascissa (x1 = x2), allora è immediato dedurre che la retta cercata è una retta
verticale, di equazione x = x1;
• se A e B hanno uguale ordinata (y1 = y2), allora è immediato dedurre che la retta cercata è una retta
orizzontale, di equazione y = y1.
Supponiamo quindi, come caso generale, che i due punti abbiano ascisse ed ordinate tra loro distinte, sia cioè
x1 = x2 e y1 = y2.
I metodo.
Si tratta di determinare m e q nell’equazione y = mx + q della retta generica: a tal fine basterà imporre che
la retta generica passi per A e per B, sostituendo in essa le coordinate dei due punti, e risolvere il sistema
nelle incognite m e q che così si ottiene, come nel seguente
ESEMPIO 13.1 Dati di due punti A(2, 1) e B(4, 5), imponiamo la condizione di passaggio:
1 = m · 2 + q
5 = m · 4 + q
Risolvendo il sistema si ricava m = 2 e q = −3, da cui la retta cercata: y = 2x − 3.
II metodo.
Usiamo il metodo dei fasci, e scriviamo l’equazione del fascio proprio passante per uno dei due punti, per
esempio A: ciò, in base alla (12.4), è immediato.
Per determinare m è sufficiente richiedere che la generica retta del fascio passi anche per l’altro punto B: il
valore di m così determinato, inserito nell’equazione del fascio, dà la retta cercata, come evidente dal seguente
ESEMPIO 13.2 Risolviamo il problema del precedente Esempio col metodo dei fasci, e scriviamo l’equazione
del fascio per A(2, 1):
y − 1 = m(x − 2) (13.1)
In tale equazione sostituiamo le coordinate di B(4, 5) e ricaviamo m:
5 − 1 = m(4 − 2) ⇒ m = 2
Sostituendo tale valore nella (13.1) si ottiene la retta per A e B: y − 1 = 2(x − 2), ossia l’equazione già
trovata sopra: y = 2x − 3.
13.1 Condizione di allineamento per tre punti
Per stabilire se i tre punti A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) sono allineati sarà sufficiente determinare l’equazione
della retta r per due di essi, e verificare se il terzo punto appartiene o no a tale retta.
ESEMPIO 13.3 Per stabilire se i tre punti A(1, 2), B(−1, 6) e C(2, 3) sono allineati, determiniamo la retta
per A e B usando il metodo dei fasci: il fascio per A ha equazione
y − 2 = m(x − 1)
Imponendo il passaggio per B si ha 6 − 2 = m(−1 − 1) da cui m = −2: quindi la retta per A e B è
y − 2 = −2(x − 1) cioè y = −2x + 4.
Sostituendo le coordinate di C in tale equazione si ottiene 2 = −6 + 4, eguaglianza falsa: il punto C non è
pertanto allineato con A e B.