CAPITOLO 2 §8. EQUAZIONE DELLA RETTA IN ... - Ivan Cervesato

76 capitolo 2
La prima delle due equazioni è evidentemente impossibile, la seconda invece, che, dopo semplici passaggi, si
può riscrivere come t : 4x + 6y − 3 = 0, dà il luogo cercato.
Si lascia al lettore come esercizio di rappresentare graficamente le tre rette r, s, t in questione sul piano
cartesiano.
§16. EQUAZIONI PARAMETRICHE DI UN LUOGO
Come è stato detto, un luogo può essere definito da un’equazione F (x, y) = 0 o anche, talvolta, da una
funzione y = f(x): si dice che queste sono le equazioni cartesiane del luogo.
Esiste però anche un’altra forma per descrivere un luogo geometrico: infatti, se si pone x = t, dove t
rappresenta un parametro reale definito in un sottoinsieme A di R (A ⊆ R), si ottiene:
x = t
F (t, y) = 0
che rappresentano le equazioni parametriche del luogo.
oppure
x = t
y = f(t)
(16.1)
ESEMPIO 16.1 Le equazioni parametriche della retta in forma cartesiana −6x + 2y + 5 = 0 si otterranno
scrivendo dapprima l’equazione della retta in forma esplicita: y = 3x − 5/2, poi ponendo x = t ∈ R e quindi
y = 3t − 5/2: x = t
y = 3t − 5/2
Si osservi che si sarebbe anche potuto procedere scrivendo la retta come 6x = 2y + 5, quindi eguagliando i
due membri a t: 6x = t
2y + 5 = t
⇒
x = t/6
y = (t − 5)/2
Questo mostra che la rappresentazione parametrica di un luogo non è unica.
Più in generale, possiamo pensare che i punti di coordinate (x, y) di un certo luogo possano essere rappresentati
dalla coppia di equazioni:
x = f(t)
y = g(t)
(16.2)
in funzione del parametro reale t. Questo significa che al variare di t si ottengono, tramite le funzioni f(t) e
g(t), le coordinate (x(t), y(t)) dei punti del luogo.
Se si vuole passare dalla forma parametrica a quella cartesiana, occorrerà ricavare il parametro da una delle
due equazioni ed “eliminarlo” operando una sostituzione, come nel seguente
ESEMPIO 16.2 Si vuole scrivere in forma cartesiana la curva di equazioni parametriche:
x = t + 2
y = 2t − 3
A tal fine basta ricavare il parametro dalla prima equazione: t = x − 2, e sostituire nella seconda, ottenendo
y = 2(x − 2) − 3, cioè y = 2x − 7, che rappresenta il luogo in forma cartesiana.
Numerosi problemi chiedono di determinare proprio l’equazione del luogo dei punti che godono di una certa
proprietà, ossia che soddisfano una certa condizione, come nel seguente
ESEMPIO 16.3 Si consideri il triangolo che ha due vertici fissi: A(2, 1) e B(3, −2), ed il terzo vertice C sulla
retta r di equazione y = x + 2 (figura 16.1). Poiché C ∈ r, indicata con il parametro reale t l’ascissa di C, la
corrispondente ordinata sarà y = −t + 5 e le coordinate di C risultano (t, −t + 5).