CAPITOLO 2 §8. EQUAZIONE DELLA RETTA IN ... - Ivan Cervesato

52 capitolo 2
8.2 Breve digressione sul concetto di infinito
Per motivi che saranno chiari tra poco, è opportuno affrontare una breve digressione sul concetto di infinito
in matematica: occorre tenere conto che quanto sarà qui esposto ha carattere intuitivo, e verrà reso più
rigoroso nel secondo volume, nell’ambito della teoria dei limiti.
Il lettore sa già che la divisione per zero non ha significato algebrico: pertanto, quando si scrive
n
d
si pone la condizione d = 0.
Supponiamo ora che n sia un numero che per fissare le idee considereremo per il momento positivo: n > 0.
Se calcoliamo il valore della frazione (8.5) con valori del denominatore d, che supporremo anch’esso positivo,
via via più piccoli, evidentemente otteniamo che il valore della frazione (8.5) aumenterà al diminuire del
denominatore. In altre parole, man mano che il denominatore “si avvicina” al valore zero (si pensi: d =
0.1, 0.001, 0.000 000 1, . . .), il valore della frazione diventa “sempre più grande”: si dice che tale valore “si
avvicina ad infinito”: anzi, visto che sia n sia d sono positivi, si dice che il valore della frazione “tende a più
infinito”.
In una forma puramente simbolica si usa pertanto scrivere
(8.5)
n
= +∞ n > 0 (8.6)
0 +
dove la scrittura 0 + (leggasi “zero più”) sta a ricordare che il denominatore è pensato essere via via più
piccolo (“vicino a zero”, “tendente a zero”) e positivo.
In modo del tutto analogo potremmo pensare di dividere n per valori di d “molto prossimi” a zero, ma negativi
(d = −0.1, −0.000 1, −0.000 001, . . .): in tal caso, il valore della frazione aumenta in valore assoluto, ma
in effetti diminuisce sempre più, diventa via via sempre più piccolo (si ricordi che scrivendo, ad esempio, la
successione −5, −500, −50 000 ecc., si stanno scrivendo numeri sempre più piccoli).
Questo porta a scrivere
n
= −∞ n > 0 (8.7)
0− dove – nuovamente – la scrittura 0 − (leggasi “zero meno”) sta a ricordare che il denominatore è pensato
essere via via più piccolo (come prima: “vicino a zero”, “tendente a zero”) e negativo. Si dice questa volta
che il valore della frazione “tende a meno infinito”.
Qualora il numeratore fosse negativo (n < 0), verrebbe a valere un ragionamento analogo, solo che questa
volta si avrebbe
n
= −∞
0 + n < 0 (8.8)
e
n
= +∞ n < 0 (8.9)
0− (si osservi che ciò è pienamente coerente con la consueta “regola dei segni” in base alla quale il segno di una
frazione è positivo se numeratore e denominatore sono concordi, negativo se sono discordi).
Se si trascurano infine i segni del numeratore e del denominatore, e si pensa al valore di una frazione in cui
il numeratore è costituito da un numero fissato, e il denominatore è costituito da un numero via via sempre
“più piccolo”, ossia “tendente a zero”, si arriva a scrivere
n
= ∞ (8.10)
0