CAPITOLO 2 §8. EQUAZIONE DELLA RETTA IN ... - Ivan Cervesato

74 capitolo 2
ESEMPIO 15.2 Risolviamo l’esercizio del precedente Esempio con il secondo metodo: chiamiamo P (x, y)
un generico punto dell’asse, e imponiamo che sia P A = P B: anzi, per semplificare ulteriormente il calcolo,
scriviamo direttamente P A 2 = P B 2 :
quindi
(x + 2) 2 + (y − 1) 2 = (x − 3) 2 + (y + 1) 2
x 2 + 4x + 4 + y 2 − 2y + 1 = x 2 − 6x + 9 + y 2 + 2y + 1
cioè, semplificando: 10x − 4y − 5 = 0, risultato già trovato nell’Esempio 15.1.
15.2 Bisettrice di un angolo
Un secondo ben noto esempio di luogo è fornito dalla bisettrice di un angolo: ricordiamo in proposito i
seguenti Teoremi:
TEOREMA 15.2 Dato un angolo qualunque ˆα, esiste sempre una e una sola semiretta, detta bisettrice
dell’angolo, che esce dal vertice dell’angolo e che divide ˆα in due parti eguali.
TEOREMA 15.3 La bisettrice di un angolo convesso (ossia non contenente i prolungamenti dei lati) è il luogo
dei punti equidistanti dai lati dell’angolo.
Si dice retta bisettrice di un angolo la retta che contiene la semiretta bisettrice e anche la semiretta opposta.
Ovviamente la retta bisettrice di ˆα divide a metà anche
l’angolo opposto al vertice di ˆα stesso.
In analogia a quanto sopra visto per l’asse, il Teorema
15.3 asserisce che se un punto P appartiene alla
bisettrice di un angolo, allora P è equidistante dai
lati dell’angolo (cioè, con riferimento a figura 15.2,
P H = P K) e, viceversa, se P è equidistante dai lati,
allora necessariamente P appartiene alla bisettrice
dell’angolo.
In Geometria Analitica, assegnato un certo angolo, di
cui siano note le equazioni dei lati, il metodo più semplice
per determinare l’equazione della retta bisettrice
consiste appunto nello sfruttare la proprietà ora enunciata.
Fig. 15.2 Bisettrice di un angolo.
Precisamente, detto P (x, y) il generico punto della retta bisettrice, se le rette dei lati hanno equazioni
r : ax + by + c = 0 e r ′ : a ′ x + b ′ y + c ′ = 0, calcoleremo dapprima P H e P K che in base alla (14.6) sono:
P H =
|ax + by + c|
√ a 2 + b 2
e P K = |a′ x + b ′ y + c ′ |
√ a ′2 + b ′2
Imponendo ora la condizione P H = P K (in quanto P appartiene alla retta bisettrice), si ha
|ax + by + c|
√ a 2 + b 2
= |a′ x + b ′ y + c ′ |
√ a ′2 + b ′2