CAPITOLO 2 §8. EQUAZIONE DELLA RETTA IN ... - Ivan Cervesato

58 capitolo 2
calcolo delle ordinate y1 e y2 dei punti di intersezione, valori che invece è necessario conoscere se si vuole
applicare la (2.1).
ESEMPIO 8.5 Calcolare la distanza tra i punti di intersezione tra la retta di equazione y = −x + 1 e la curva
(circonferenza) di equazione x 2 + y 2 + 2x − y − 1 = 0: ponendo a sistema
y = −x + 1
x 2 + y 2 + 2x − y − 1 = 0
ed eliminando la y, dopo brevi passaggi si ottiene l’equazione 2x 2 + x − 1 = 0 che dà x1 = −1 e x2 = 1/2,
che sono le ascisse dei punti A e B di intersezione.
Usando la (8.21), senza dovere calcolare le ordinate di A e B si ha subito
AB = | 1
2 + 1|1 + (−1) 2 = 3√
2
2
§9. EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA IMPLICITA
La (8.19) mostra che una generica retta del piano è rappresentata da un’equazione lineare in x e y (nel caso
particolare di rette parallele agli assi si avrà solo la x o solo la y, come si è visto).
Vogliamo ora mostrare che l’equazione generale di primo grado in x e in y:
ax + by + c = 0 (9.1)
rappresenta una qualunque retta del piano al variare dei tre coefficienti a, b, c (c è detto termine noto).
Ciò può essere verificato senza difficoltà, analizzando i vari casi possibili:
a) a = 0, b = 0, c = 0: dividendo per b ed esplicitando rispetto alla y la (9.1) assume la forma esplicita:
y = − a c
x −
b b
che evidentemente coincide con la (8.19) ponendo m = −a/b e q = −c/b.
b) a = 0, b = 0, c = 0: la (9.1) viene a scriversi come ax + by = 0 che, ricavando la y, diventa y = −ax/b
che rappresenta una retta passante per l’origine (della forma y = mx ponendo m = −a/b).
c) a = 0, b = 0 e c ∈ R: la (9.1) diventa by + c = 0 che, esplicitata, dà y = −c/b, equazione di una retta
orizzontale.
d) a = 0, b = 0 e c ∈ R: la (9.1) diventa ax + c = 0 che, esplicitata, dà x = −c/a, equazione di una retta
verticale.
e) a = 0, b = 0, c = 0: il caso è banale: la (9.1), riducendosi ad un’identità, verificata per ogni coppia di
numeri reali (x, y), rappresenta in effetti l’intero piano cartesiano.
f) a = 0, b = 0, c = 0: anche questo è un caso banale, in quanto l’equazione c = 0 è impossibile e non è
rappresentabile graficamente.
Pertanto, due sono le possibili forme per l’equazione della retta generica: la (8.19) e la (9.1), rispettivamente
in forma esplicita e in forma implicita.
Si possono tenere presenti le seguenti osservazioni:
1. in forma implicita la retta è determinata da due parametri (m e q), mentre in forma implicita i parametri
sono tre (a, b, c);
(9.2)