CAPITOLO 2 §8. EQUAZIONE DELLA RETTA IN ... - Ivan Cervesato

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64 capitolo 2 Chiameremo retta base del fascio la retta corrispondente a k = 0, ossia la retta passante per l’origine (di equazione y = mx), alla quale tutte le altre rette del fascio risultano parallele. Come al solito, la (12.1) non rappresenta un fascio di rette verticali: questo avrà, banalmente, equazione x = k con k ∈ R (12.2) La (12.1) comprende invece il caso di rette orizzontali: qui si ha m = 0, e l’equazione del fascio è Fig. 12.1 Fascio improprio di rette. y = k con k ∈ R (12.3) ESEMPIO 12.1 Vogliamo scrivere l’equazione del fascio di rette parallele alla retta r di equazione 8x+4y−3 = 0; a tal fine, esplicitando, si ha y = −2x + 3/4, quindi m = −2: l’equazione cercata, che rappresenta tutte le rette parallele ad r, è dunque semplicemente y = −2x + k. L’equazione del fascio di rette perpendicolari alla retta r è invece y = (1/2)x+k: infatti il coefficiente angolare di queste rette è l’antireciproco del coefficiente angolare della retta r. Fig. 12.2 Fascio proprio di rette. 12.2 Fascio proprio DEF<strong>IN</strong>IZIONE 12.2 Chiamiamo fascio proprio di rette l’insieme di tutte le rette del piano passanti per un punto fissato, detto centro del fascio. Per ricavare l’equazione del fascio, sia P (x0, y0) un punto fissato del piano cartesiano. Imponendo che la generica retta del piano y = mx + q passi per P , otteniamo y0 = mx0 + q, cioè q = y0 − mx0. Sostituendo tale valore nella generica retta del piano si ha quindi y = mx + y0 − mx0 ossia y − y0 = m(x − x0) (12.4) che rappresenta l’equazione del fascio proprio passante per P : questo significa che attribuendo valori diversi ad m, pensato questa volta come parametro variabile in R, otterremo rette diverse, tutte passanti per P . Come al solito, la (12.4) non rappresenta la retta verticale passante per P , retta che ovviamente ha equazione x = x0: l’insieme di tutte le rette per P potrà quindi essere scritto come x = x0 y − y0 = m(x − x0) con m ∈ R (12.5) ESEMPIO 12.2 Si vuole scrivere il fascio proprio di rette passanti per P (−2, 3): la (12.5) applicata al caso
in esame, in cui x0 = −2 e y0 = 3, dà x = −2 y − 3 = m(x + 2) con m ∈ R (si faccia attenzione ai segni. . . ) retta 65 ESEMPIO 12.3 Parallela ad una retta data, passante per un punto assegnato (II metodo). Riprendiamo l’Esempio 10.2: data la retta r di equazione y = 3x − 2 ed il punto A(2, 5), si chiede di determinare la retta s parallela ad r e passante per A. Usiamo questa volta il metodo dei fasci, e scriviamo l’equazione del fascio di rette passanti per A: y − 5 = m(x − 2) (12.6) La condizione di parallelismo ci dà immediatamente che mr = ms = 3: sostituendo nell’equazione (12.6) il valore m = 3 si ottiene subito l’equazione della retta cercata: y − 5 = 3(x − 2), ossia y = 3x − 1. ESEMPIO 12.4 Perpendicolare ad una retta data, passante per un punto assegnato (II metodo). In modo del tutto analogo, riprendiamo l’Esempio 10.4: data la retta r di equazione y = 3x − 2 ed il punto A(2, 5), si chiede di determinare la retta s perpendicolare ad r e passante per A. Usiamo, di nuovo, il metodo dei fasci: l’equazione del fascio di rette passanti per A è ancora dato dalla (12.6) dove, questa volta, il valore di m è l’antireciproco di 3 (condizione di perpendicolarità): ms = −1/3. Sostituendo nella (12.6) tale valore, si ottiene subito l’equazione della retta cercata: y − 5 = −1/3(x − 2), ossia y = (−1/3)x + 17/3. Come si vede anche solo dagli ultimi due esempi, il metodo dei fasci consente un sensibile risparmio di tempo e di calcoli. Nel seguito avremo modo di tornare a verificare, in modo ancora più evidente, la bontà di tale metodo. 12.3 Fasci generati da due rette Vogliamo ora affrontare lo studio dei fasci di rette da un punto di vista più generale. Consideriamo due rette distinte r ed s, che supporremo per il momento incidenti nel punto P (x0, y0), di equazioni: r : ax + by + c = 0 (12.7) e s : a ′ x + b ′ y + c ′ = 0 (12.8) Poichè le rette sono incidenti, ricordando la (10.2) sarà a/b = a ′ /b ′ . Siano λ, µ due parametri reali non contemporaneamente nulli; si consideri l’equazione λ(ax + by + c) + µ(a ′ x + b ′ y + c ′ ) = 0 (12.9) ottenuta a partire dalle equazioni delle rette date. La (12.9) prende il nome di combinazione lineare generata dalle equazioni delle rette r ed s. Fissati λ e µ, la (12.9) è un’equazione lineare in x e y e rappresenta quindi una retta t; poiché sia r sia s passano per il punto P , si ha ax0 + by0 + c = 0 e contemporaneamente a ′ x0 + b ′ y0 + c ′ = 0, quindi anche la retta t passa per P (le coordinate di P inserite nella (12.9) danno cioè un’identità). L’equazione della retta t si può ottenere moltiplicando e raccogliendo nella (12.9), fino ad ottenere (λa + µa ′ )x + (λb + µb ′ )y + (λc + µc ′ ) = 0 (12.10) Al variare di λ e di µ la (12.9) – o la (12.10) – rappresenta tutte le rette passanti per P , ossia il fascio proprio di centro P .
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