ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO - Ivan Cervesato

IVAN CERVESATO
ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO
Indice
§1. Funzione fattoriale e permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 3
§2. Disposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§3. Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§4. Proprietà dei coefficienti binomiali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
§5. Potenza del binomio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
§6. Applicazione: contare le funzioni da un insieme ad un altro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§7. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

§1. FUNZIONE FATTORIALE E PERMUTAZIONI
Cominciamo col dare la seguente
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Definizione 1.1 Assegnato un numero intero n > 0, la funzione che ad n associa il prodotto
n(n − 1)(n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1
è detta funzione fattoriale di n (o, semplicemente, fattoriale di n) ed è indicata con n!; per definizione si pone
inoltre 0! = 1.
Pertanto, in definitiva
Evidentemente, si ha
n! =
n(n − 1)(n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1 se n > 0
1 se n = 0
(1.1)
n! = n(n − 1)! con n ≥ 1 (1.2)
Tale relazione, insieme alla condizione 0! = 1, definisce quindi il fattoriale per ricorrenza.
Definizione 1.2 Assegnati n oggetti tutti distinti fra loro, chiamiamo permutazioni semplici degli n oggetti
tutti i diversi modi possibili di allineare (ossia di “mettere in fila”) gli n oggetti stessi.
Teorema 1.1 Indicato con Pn il numero di permutazioni di n oggetti tutti distinti tra loro, si ha che
Pn = n! (1.3)
Dim.: la dimostrazione è immediata: il primo oggetto può essere scelto in n modi diversi; il secondo oggetto
nei rimanenti (n − 1) modi (ossia tra i restanti (n − 1) oggetti), per un numero totale di modi di scelta dei
primi due oggetti pari a n(n−1). Il terzo oggetto può essere scelto in (n−2) modi (ossia tra i restanti (n−2)
oggetti), e così via sino all’ultimo oggetto, l’ n-esimo, che può essere scelto in un solo modo.
Esempio 1.1 Quanti sono gli anagrammi (anche privi di senso) che si possono formare dalla parola SOLE?
Si tratta evidentemente di determinare il numero di permutazioni semplici ottenibili con 4 oggetti (le 4 lettere
S, O, L, E): gli anagrammi sono quindi in numero di 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
Definizione 1.3 Le permutazioni di n oggetti, di cui r1 tutti uguali tra loro (e distinti dagli altri), r2 tutti
uguali tra loro (e distinti dagli altri), . . . rm tutti uguali tra loro (e distinti dagli altri), sono dette permutazioni
.
con ripetizione; il numero di tali permutazioni è indicato con la scrittura P (r1,r2,...,rm)
n
Teorema 1.2 Risulta
P (r1,r2,...,rm)
n
=
n!
r1!r2! . . . rm!
Di tale semplice teorema non diamo una dimostrazione “formale”: questa peraltro può essere facilmente
ricavata generalizzando il seguente
Esempio 1.2 Data la parola ALA, i suoi anagrammi sono solo 3: ALA, AAL, LAA. La lettera A risulta infatti
ripetuta due volte: se per comodità distinguessimo le due A scrivendone una maiuscola ed una minuscola (in
tal modo le due A diventano distinguibili), gli anagrammi sarebbero 6, come previsto dalla (1.3): ALa, aLA,
AaL, aAL, LAa, LaA. Se le due A sono indistinguibili (sono scritte entrambe in maiuscolo) gli anagrammi ALa
e aLA danno l’unico anagramma ALA e, analogamente, gli anagrammi AaL e aAL danno l’unico anagramma
AAL, ecc. Pertanto, gli anagrammi di una parola di n = 3 lettere, di cui una lettera è ripetuta r1 = 2 volte,
sono in numero di n!/r1! = 3!/2! = 3.
(1.4)

4 Elementi di calcolo combinatorio
Generalizzando tale risultato si ottiene la (1.4).
Esempio 1.3 Quanti sono gli anagrammi della parola COLONNA? Le lettere sono n = 7, con la O ripetuta
= 1 260.
r1 = 2 volte e la N ripetuta r2 = 2 volte: quindi P (2,2)
7
§2. DISPOSIZIONI
Diamo la seguente
Definizione 2.1 Dati n oggetti distinti, diciamo disposizioni semplici di classe k, con k ≤ n, tutti i possibili
allineamenti che si possono formare con k degli n oggetti dati, considerando distinti due allineamenti se
differiscono per l’ordine o per qualche elemento.
Teorema 2.1 Il numero delle disposizioni semplici di n oggetti distinti di classe k è
Dn,k = n(n − 1)(n − 2) · . . . · · · (n − k + 1) (2.1)
Dim.: anche in questo caso, la dimostrazione è evidente: il primo oggetto può essere scelto in n modi diversi;
il secondo in (n − 1) modi, ecc., fino all’oggetto k-esimo, che può essere scelto in (n − k + 1) modi: il numero
di modi totale è quindi dato dalla (2.1). .
Esempio 2.1 Ad una corsa ippica partecipano 8 cavalli, indicati con le lettere a, b, c, d, e, f, g, h. Un certo
tipo di scommessa prevede che si vinca se si riesce ad indovinare i tre cavalli che arrivano ai primi tre posti,
ed anche il loro ordine di arrivo: bisogna cioè indovinare quali cavalli arrivano nei primi tre posti, ed anche
l’esatto ordine in cui arrivano. Il numero di possibili esiti della corsa è evidentemente il numero di disposizioni
semplici di 8 oggetti presi a 3 a 3, ossia di classe 3:
D8,3 = 8 · 7 · 6 = 336
Si noti che se si scommette sui tre cavalli (poniamo) a, d, f e questi tre arrivano effettivamente ai primi
tre posti, ma non in quest’ordine (ossia - per esempio - nell’ordine d, a, f), lo scommettitore perde. Nelle
disposizioni semplici l’ordine degli allineamenti è importante, nel senso che due allineamenti con gli stessi
oggetti disposti in ordini differenti, sono due allineamenti differenti, come d’altronde previsto dalla definizione
data.
Se si ammette la possibilità che un oggetto sia ripetibile più volte, si hanno le disposizioni con ripetizione:
qui evidentemente cade la condizione k ≤ n sopra data per le disposizioni semplici.
Teorema 2.2 Il numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k è
D ′ n,k = n k
Dim.: il primo oggetto di ogni allineamento può essere scelto in n modi diversi; ora, però, ciò è vero anche
per il secondo, per il terzo, . . . , per il k-esimo oggetto, in quanto si ammette la possibilità di ripetizioni: si
ha dunque subito Dn,k = n · n · . . . · n (k volte), ossia la (2.2).
Esempio 2.2 Il numero totale di diverse colonne da giocare per essere sicuri di “fare 13” al Totocalcio
è il numero di disposizioni con ripetizione di n = 3 oggetti (i tre simboli 1,X,2) di classe k = 13, ossia
D ′ 3,13 = 3 13 = 1 594 323.
(2.2)

§3. COMBINAZIONI
Vale la seguente
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Definizione 3.1 Dati n oggetti distinti, chiamiamo combinazioni semplici di classe k, dove k ≤ n, tutti i
possibili gruppi che si possono formare con k degli n oggetti, considerando distinti due gruppi se differiscono
per almeno un elemento.
Dalla definizione data risulta immediatamente che le combinazioni semplici di n oggetti di classe k rappresentano
il numero di sottoinsiemi con cardinalità k di un insieme di cardinalità n (o, come anche si dice, il
numero di k-sottoinsiemi di un n-insieme). 1
A differenza del caso delle disposizioni, nelle combinazioni l’ordine degli oggetti non importa: due combinazioni
sono diverse se differiscono tra loro per almeno un elemento.
Teorema 3.1 Il numero delle combinazioni semplici di n oggetti di classe k è
Cn,k = Dn,k
Pk
= n(n − 1) . . . (n − k + 1)
k!
Esempio 3.1 Date n = 3 lettere a, b, c, consideriamo le disposizioni D3,2 di classe k = 2: esse sono evidentemente
sei, date da ab; ac; ba; bc; ca; cb. Come abbiamo visto, poichè nelle disposizioni l’ordine degli
oggetti è rilevante, la disposizione (poniamo) ab è diversa da ba. Nel caso di combinazioni, invece, il gruppo
ab è lo stesso del gruppo ba: come combinazioni, cioè, essi non sono distinti. Pertanto, se si identificano
quelle disposizioni che differiscono solo per l’ordine degli oggetti (come ad esempio ab e ba), si ottengono le
combinazioni C3,2: ab, ac, bc.
Viceversa, da queste si possono ottenere le disposizioni, permutando in ogni modo possibile gli elementi che
costituiscono una combinazione: in questo caso tali modi sono in numero di 2! (P2 = 2!), talchè D3,2 = C3,2P2.
La dimostrazione del teorema 3.1 risulta quindi da una generalizzazione di tale esempio: essendo Dn,k =
Cn,kPk, si ha subito la tesi.
Si ha inoltre
n(n − 1) . . . (n − k + 1) n(n − 1) . . . (n − k + 1)(n − k)! n!
≡ =
(3.2)
k!
k!(n − k)!
k!(n − k)!
Per indicare il numero di combinazioni si usa anche il simbolo n
k (leggi: n su k), detto coefficiente binomiale:
in base alla (3.2) il numero di combinazioni semplici di n oggetti di classe k si può scrivere tramite i coefficienti
binomiali, si ha cioè
n n!
Cn,k = =
k k!(n − k)!
con k ≤ n (3.3)
Esempio 3.2 Nella corsa dell’esempio 2.1, il numero di possibili terne di cavalli che arrivano primo, secondo
e terzo, indipendentemente dall’ordine in cui arrivano, è C10,3 = 120: in questo caso la terna (poniamo)
d, a, f è indistinguibile dalla terna a, f, d o dalla terna f, a, d, ecc.
Esempio 3.3 Il numero di possibili “mani” (insiemi di 5 carte) che possono essere distribuite nel gioco del
poker con 4 giocatori (mazzo di 32 carte) è dato dal numero di sottoinsiemi di 5 carte, che possono essere
costituiti con le 32 carte del mazzo, ossia C32,5 = 201 376.
1 Con riferimento ad insiemi formati da un numero finito di elementi, la cardinalità di un insieme rappresenta semplicemente
il numero di elementi dell’insieme; l’estensione, con le necessarie precisazioni e cautele, al caso di insiemi costituiti da infiniti
elementi è, come ben noto, possibile: in questa sede tuttavia ci limiteremo a considerare insiemi con cardinalità finita.
(3.1)

6 Elementi di calcolo combinatorio
Esempio 3.4 Il numero di possibili “ambi” (insiemi di 2 numeri, a prescindere dall’ordine con cui sono
estratti) che possono essere formati con i 90 numeri del lotto è dato da C90,2 = 4 005.
Come nel caso di permutazioni e disposizioni, anche per le combinazioni è possibile lasciare cadere l’ipotesi
che gli oggetti siano distinti, ammettendo l’eventualità che vi possano essere ripetizioni:
Definizione 3.2 Dati n oggetti e un intero k (non necessariamente minore o uguale a n), diciamo combinazione
con ripetizione di classe k degli n oggetti ogni possibile gruppo di k oggetti, eventualmente con
ripetizioni, tra gli n oggetti dati.
Esempio 3.5 Siano A,B,C tre oggetti: le combinazioni con ripetizione di classe 2 di tali oggetti sono i sei
gruppi possibili: AA, AB, AC, BB, BC, CC.
Ci limitiamo a riportare, senza darne dimostrazione, il seguente
Teorema 3.2 Il numero di combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k risulta
n + k − 1
C ′ n,k =
Esempio 3.6 Diverse tonalità di colore sono ottenute mescolando dieci misurini da un decilitro l’uno di
rosso, di giallo e di blu: ogni tonalità risulta quindi una combinazione con ripetizione di n = 3 oggetti (i tre
colori base) di classe k = 10 (il numero di decilitri indipendenti da miscelare). Il numero di tonalità diverse
che si possono ottenere è quindi
C ′ 3,10 =
k
3 + 10 − 1
=
10
12
= 66
10
Esempio 3.7 Si deve determinare il massimo numero di termini (di monomi, ovviamente non simili) che
può comparire in un polinomio omogeneo di 3 ◦ grado nelle variabili x, y, z, t: il massimo numero di monomi
(tutti di 3 ◦ grado) che possono essere costruiti con le 4 lettere date, che evidentemente possono ripetersi (si
pensi ai monomi le cui parti letterali sono xxy = x 2 y, oppure ttt = t 3 , ecc.), è dato da C ′ 4,3 = 20.
Esempio 3.8 La distribuzione di k oggetti (tra loro indistinguibili) in n “scomparti” può essere effettuata
modi diversi: ad esempio, il numero di modi in cui si possono collocare k = 10 bottiglie (uguali) su
in C ′ n,k
n = 4 ripiani è dato da C ′ 4,10 = 286.
Esempio 3.9 Si deve calcolare il numero di modi in cui k = 10 bottiglie uguali possono essere disposte su
n = 4 ripiani, richiedendo però che su ogni ripiano debba necessariamente essere posta almeno una bottiglia:
dopo avere collocato una bottiglia su ciascuno dei ripiani, restano da distribuire 6 bottiglie su 4 ripiani: i
modi possibili di fare ciò sono quindi C ′ 4,6 = 84.
§4. PROPRIETÀ DEI COEFFICIENTI BINOMIALI
Ricordiamo alcune proprietà, la cui verifica è pressochè immediata, di cui godono i coefficienti binomiali:
Proprietà 1:
n n
=
k n − k
(3.4)
(4.1)

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Infatti, in base alla (3.3) i due membri dell’uguaglianza possono essere esplicitati come:
che evidentemente rappresenta la tesi.
Proprietà 2:
n
=
k
n!
k!(n − k)! =
n!
(n − k)!(n − n + k)!
n − 1
+
k − 1
n − 1
Anche in questo caso esplicitiamo, per mezzo della (3.3), tutti i coefficienti binomiali:
ossia
n!
k!(n − k)! =
n!
k!(n − k)! =
(n − 1)!
(k − 1)!(n − 1 − k + 1)! +
(n − 1)!
(k − 1)!(n − k)! +
k
(n − 1)!
k!(n − k − 1)!
(n − 1)!
k!(n − k − 1)!
Osservando ora che il minimo denominatore comune delle due frazioni al membro di destra è k!(n − k)!, si ha
da cui, raccogliendo (n − 1)! a numeratore:
che è la tesi.
n! k(n − 1)! + (n − k)(n − 1)!
=
k!(n − k)! k!(n − k)!
n! (n − 1)!(k + n − k)
=
k!(n − k)! k!(n − k)!
Proprietà 3:
n
=
k + 1
n − k
k + 1
Di nuovo, esplicitiamo i coefficienti binomiali:
⇒
n! n(n − 1)!
=
k!(n − k)! k!(n − k)!
n
k
n!
n − k
=
(k + 1)!(n − k − 1)! k + 1 ·
n!
k!(n − k)!
Con riferimento al membro di destra, risulta (k + 1)k! = (k + 1)! e (n − k)! = (n − k)(n − k − 1)!, quindi
n!
(k + 1)!(n − k − 1)! =
(n − k)n!
(k + 1)k!(n − k)(n − k − 1)! ⇒
che è la tesi.
Proprietà 4:
Risulta
k ·
n n − 1
k = n
k k − 1
n!
(n − 1)!
= n ·
k!(n − k)! (k − 1)!(n − k)!
(4.2)
(4.3)
n!
(k + 1)!(n − k − 1)! =
n!
(k + 1)!(n − k − 1)!
Semplificando k con k! (rimane a denominatore (k − 1)!) e tenendo conto che n(n − 1)! = n! segue la tesi.
(4.4)

8 Elementi di calcolo combinatorio
§5. POTENZA DEL BINOMIO
Risulta (“binomio di Newton”):
o
(a + x) n =
(a − x) n =
In particolare, ponendo nella (5.1) a = 1, si ha
n
k=0
n
(−1) k
k=0
(1 + x) n =
n
a
k
n−k x k
n
k=0
n
a
k
n−k x k
n
x
k
k
I coefficienti binomiali (3.3) rappresentano pertanto proprio i coefficienti dello sviluppo della potenza n-esima
del binomio, ricavabili per via elementare tramite il noto triangolo di Tartaglia.
Esempio 5.1 Si ha
(1 + x) 4 =
4
x
0
0 +
4
x
1
1 +
4
x
2
2 +
4
x
3
3 +
4
x
4
4 = 1x 0 + 4x + 6x 2 + 4x 3 + 1x 4
Si noti che in base alla proprietà 1, ossia in base alla (4.1), i coefficienti primo e ultimo (k = 0), secondo e
penultimo (k = 1), ecc. dello sviluppo (5.1) sono uguali.
Teorema 5.1 Dato un insieme A di cardinalità n, allora card P(A) = 2 n , dove P(A) rappresenta l’insieme
delle parti di A. 2
Dim.: il numero di sottoinsiemi aventi cardinalità k = 0 è dato da n
0 = 1 (l’insieme vuoto); il numero di
sottoinsiemi di cardinalità k = 1 è n
1 = n (gli n sottoinsiemi costituiti da ciascuno degli n elementi di A), e
così via (procedendo per k = 0, 1, . . . , n).
Allora
n
n n
n n
card P(A) = + + . . . + =
0 1
n k
Tale somma si ottiene subito ponendo nella (5.3) x = 1:
n
n
k
che è la tesi.
k=0
= (1 + 1) n = 2 n
§6. APPLICAZIONE: CONTARE LE FUNZIONI DA UN INSIEME A UN ALTRO
Teorema 6.1 Siano K ed N due insiemi finiti, con cardinalità k > 0 ed n > 0, rispettivamente. Allora il
numero di funzioni arbitrarie da K ad N (f : K → N) è dato da n k , ossia è dato da D ′ n,k .
Dim.: siano K = {x1, x2, . . . , xk} il dominio, e N = {y1, y2, . . . , yn} il codominio. Assegnare una funzione
f : K → N significa assegnare le immagini di x1, x2, . . . , xk, ossia f(x1), f(x2), . . . , f(xk). Per f(x1) sono
2 Ricordiamo che l’insieme delle parti di un insieme A è l’insieme dei sottoinsiemi, propri e impropri, che si possono formare
con gli elementi di A.
k=0
(5.1)
(5.2)
(5.3)

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possibili n scelte (uno qualunque degli elementi y1, y2, . . . , yn di N); analogamente, anche per f(x2) sono
possibili ancora n scelte, per un totale di n 2 possibilità. A sua volta ciascuna di tali possibilità può essere
associata a n possibili scelte per f(x3), e così via, fino ad arrivare a un totale di n · n · . . . · n (k volte)
possibilità.
Teorema 6.2 Siano K ed N due insiemi finiti, con cardinalità k > 0 ed n > 0, rispettivamente, dove k ≤ n.
Allora il numero di funzioni iniettive da K ad N (f : K → N) è dato da Dn,k.
Dim.: osserviamo dapprima che la richiesta che sia k ≤ n è necessaria, in quanto, altrimenti, non possono
essere date funzioni iniettive da K in N.
Come nel caso precedente, siano K = {x1, x2, . . . , xk} il dominio, e N = {y1, y2, . . . , yn} il codominio.
Assegnare una funzione f : K → N significa, di nuovo, assegnare le immagini di x1, x2, . . . , xk, ossia
f(x1), f(x2), . . . , f(xk). Per f(x1) sono possibili n scelte (uno qualunque degli elementi y1, y2, . . . , yn di
N); per f(x2) sono invece possibili solo (n − 1) scelte, in quanto, dovendo essere f iniettiva, non è più possibile
associare ad x2 la stessa immagine assegnata prima ad x1. Analogamente per f(x3) sono possibili solo
(n − 2) scelte, dovendo essere esclusi i due elementi di N assegnati prima come immagini di x1 e x2. Procedendo
in questo modo si deduce che all’ultimo elemento xk ∈ K può essere associato uno degli (n − k + 1)
elementi rimanenti in N, per un totale di n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) funzioni.
Corollario Se K ed N hanno la stessa cardinalità n > 0, allora il numero di funzioni iniettive da K in N
(f : K → N) è Pn = n!.
Dim.: la tesi segue immediatamente dal teorema 6.2: si tratta di ripetere il ragionamento, dove questa volta
l’ultimo elemento xn ∈ K può essere associato in un solo modo all’ultimo elemento yj ∈ N, per un totale di
n! possibili funzioni iniettive (che, in questo caso, risultano necessariamente anche biunivoche).
§7. ESERCIZI
§7.1 Permutazioni e funzione fattoriale
1. Verificare le seguenti identità:
a) n!(n + 1) = (n + 1)!
b) n · n! + n! = (n + 1)!
c) n 2 (n − 2)! = n! + n(n − 2)!
d) (n+1)!
(n−1)! = n2 + n
e) (n + 1)! − n! = n! · n
2. Risolvere le seguenti equazioni:
a) (x + 1)! = 10x! [9]
b) 30(x − 1)! = (x + 1)! [5]
c) (x + 1)! − x! = 3x! [3]
d) (x + 2)! − 6x! = 6(x + 1)! [5]
e) (x + 1)! = x · x! + 7(x − 1)! [7]
3. Calcolare il numero di anagrammi della parola AMBO. [24]

10 Elementi di calcolo combinatorio
4. In quanti modi diversi si possono sedere 7 persone su 7 sedie? [5 040]
5. Tra tutti i numeri di 9 cifre diverse tra loro e da zero, quanti sono quelli le cui prime due cifre sono 3 e
7? [5 040]
6. Quanti anagrammi si possono fare con la parola BADILE? Quanti sono quelli che cominciano con LI?
[720; 24]
7. Tra tutti i numeri di 10 cifre tutte diverse tra loro, quanti sono multipli di 10? [362 880]
8. Tra tutti i numeri di 10 cifre tutte diverse fra loro, quanti sono i numeri le cui prime 5 cifre sono dispari?
[(5!) 2 = 14 400]
9. Si devono disporre su uno scaffale 12 libri: 8 di narrativa e 4 saggi. In quanti modi si possono disporre,
se si vuole che i libri di narrativa siano tutti a sinistra dei saggi? [8! × 4!]
10. Tizio possiede 4 libri in francese, 6 in inglese e 3 in tedesco. In quanti modi può disporli su uno scaffale,
se i libri in francese stanno a destra, quelli in inglese al centro e quelli in tedesco a sinistra?
[4! × 6! × 3!]
11. Quanti sono gli anagrammi della parola TOVAGLIA? [20 160]
12. Quanti sono gli anagrammi della parola TAVOLATA? [3 360]
13. In quanti modi si possono disporre 4 bottiglie (tra loro identiche) di barolo e 6 (tra loro identiche) di
chianti in uno scaffale con 10 scomparti? e se gli scomparti sono 12? [210; 13 860]
14. Quanti sono i numeri di 5 cifre, tutte dispari? [3 125]
15. Tra tutti i numeri che si possono formare con le cifre del numero 8 330 888, quanti sono i multipli di
10? quanti i numeri pari? [15; 75]
16. Quante sono le funzioni biunivoche definibili tra due insiemi di 5 elementi ciascuno? [120]
§7.2 Disposizioni
1. Quante parole di 3 lettere (anche prive di significato) si possono formare con le 21 lettere dell’alfabeto
italiano? e quante di 4 lettere? [9 261; 194 481]
2. Quanti numeri di 3 cifre si possono formare con le 4 cifre 2,4,6,7? [64]
3. Quante coppie di iniziali si possono formare con le 21 lettere dell’alfabeto italiano? [441]
4. Ad una gara partecipano 15 concorrenti. In quanti modi diversi il gruppo dei primi 3 si può presentare
al traguardo? [2 730]
5. Tizio ha 12 libri: di questi, 4 devono essere sistemati su un ripiano della libreria: in quanti modi si può
fare? [11 880]
6. Un club ha 240 soci, tra i quali devon essere eletti un presidente, un vicepresidente e un tesoriere. In
quanti modi diversi può farsi la scelta? [13 651 680]
7. In un torneo, 10 giocatori di scacchi devono disputare fra loro tutte le possibili partite, in cui un
giocatore una volta tiene il bianco e una volta tiene il nero. Quante partite dovranno essere disputate?
[90]

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8. Si vogliono formare 120 numeri di tre cifre tutte diverse fra loro. Qual è il minor numero di cifre con
cui è possibile farlo? [6]
9. In quanti modi 4 persone possono prendere posto in una fila di 7 sedie numerate? [840]
10. Per quanti elementi distinti il numero di disposizioni di classe 3 è 60? [5]
11. Tra tutti i numeri di 8 cifre, tutte diverse tra loro, quanti sono quelli le cui prime 4 cifre sono dispari,
e le restanti pari? [(5 × 4 × 3 × 2) 2 ]
12. Un libraio dispone tre libri di narrativa, da scegliere tra 6, nella vetrina di destra e tre saggi, da
scegliere tra 8, in quella di sinistra. In quanti modi si possono allestire le due vetrine, tenendo conto
della disposizione dei libri? [40 320]
13. Da un mazzo di 52 carte si estraggono le 13 carte di picche, le si mescola e se ne scoprono 4: in quanti
modi diversi possono uscire le carte, tenendo conto anche dell’ordine di uscita? [17 160]
14. Verificare le seguenti identità:
a) Dn,k = nDn−1,k−1
b) Dn,k − Dn−1,k = kDn−1,k−1
c) (k − 1)Dn,k−1 = nDn,k−1 − Dn,k
d) (n − k)Dn+1,k+1 = (n + 1)Dn,k+1
e) Dn,k − Dn,k−1 = (n − k)Dn,k−1
15. Risolvere le seguenti equazioni:
a) Dx,6 = 20Dx,4
b) Dx+2,5 = 6Dx,5
c) Dx,3 + 7Dx+2,2 = Dx+3,3 − 6 [7]
d) Dx+1,2 + Dx+2,3 = 15x [2]
16. Per entrare in un sistema informatico occorre una password costituita da 5 lettere scelte tra le 21
dell’alfabeto: un hacker vuole entrare nel sistema tramite un programma che “tenta” automaticamente
2 000 password al secondo. Quanto tempo occorre, al più, per violare il sistema? [circa 34 min]
17. Da quante colonne è costituito un sistema del totocalcio di 5 triple? e uno di 8 doppie? e uno di 5
triple e 8 doppie? [243; 256; 62 208]
18. Un codice alfanumerico è costituito da 6 caratteri: i primi 3 scelti tra le 21 lettere dell’alfabeto, i secondi
3 da tre cifre da 0 a 9. Quante sequenze diverse possono essere formate in tal modo? [9 261 000]
19. Le recenti targhe automobilistiche sono costituite da una coppia di lettere, da una terna di cifre, e
da una seconda coppia di lettere. Se le lettere sono scelte tra le 26 dell’alfabeto anglosassone, quante
automobili possono essere immatricolate con tale sistema? [26 2 × 10 3 × 26 2 ]
20. Il numero di disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe 7 è 78 125. Quanto vale n? [5]
21. Quante sono le funzioni definibili tra i due insiemi A e B (f : A → B), dove card A=3 e card B=5?
[9]
[7]
[125]

12 Elementi di calcolo combinatorio
§7.3 Combinazioni
1. Quanti ambi, terne e quaterne si possono formare con i numeri 3, 5, 17, 34, 90? [10, 10, 5]
2. Quanti ambi, terne e quaterne si possono formare con i 90 numeri del gioco del lotto?
[4 005; 117 480; 2 555 190]
3. Ciascuna delle n persone di un certo gruppo stringe la mano a tutte le altre. Quante sono le strette di
]
mano complessive? [ n
2
4. Un libraio vuole esporre in vetrina 7 saggi, scelti tra i 15 disponibili. In quanti modi può effettuare la
scelta? [6 435]
5. Con un gruppo di 22 persone si devono formare due squadre, una di pallavolo e una di calcio. In quanti
modi diversi le squadre possono essere formate? (chi gioca a pallavolo non gioca a calcio e viceversa).
16
× ]
6. Si hanno 10 biglie recanti le 10 cifre, e due scomparti, A e B: se 5 biglie sono poste nello scomparto A,
e 5 in B, in quanti modi può avvenire la distribuzione? [252]
7. Delle 10 biglie dell’esercizio precedente, 3 vengono poste nello scomparto A, e 2 in B: in quanti modi 7
× ]
può avvenire la distribuzione? [ 10
3
8. Delle 10 biglie dell’esercizio precedente, 3 vengono poste nello scomparto A, 2 in B e 4 inun terzo 7 5
× × ]
scomparto C: in quanti modi può avvenire la distribuzione? [ 10
3
9. Verificare le seguenti identità:
a)
2n−1 2n−1
n = n−1
n
n
= k + (k + 1)
b) n n
n
c) (n − k) n kn
k−1 =
d)
2n 2n−1
= 2
k
k+1
n−1 n−k+1 k
n
n
e) n
2 n−1
2 = (n − 1) − 2
10. Risolvere le seguenti equazioni:
a) Cx,5 = Cx,3
b) Cx+2,4 = 7Cx,4
c) 2Cx,4 = 2Cx,3 − Cx,2
d) 7Cx,5 = Cx+2,4
11. In quanti modi possono essere scelti i 2 rappresentanti di classe in una classe di 20 studenti? [190]
12. Una videoteca ha 120 DVD, e ne presta 3 per volta. Fra quanti possibili lotti di 3 DVD può scegliere
un cliente? [280 840]
13. Giorgio va dal gelataio e compra un cono su cui, per la cifra pagata, vengono messe 3 palline di gelato
di gusti diversi. Se si può scegliere tra 15 varietà di gelato diverse, in quanti modi diversi Giorgio può
ordinare il suo cono? e se Giorgio scegliesse anche gusti non tra loro diversi? [455, 680]
14. Un barista prepara cocktail mescolando 3 liquori diversi degli 8 disponibili. Quanti cocktail diversi può
preparare? [56]
[ 22
6
2
11
2
4
[8]
[5]
[4; 5]
[5]

Prof. Ivan Cervesato - L. S. Einstein 13
15. Il barista dell’esercizio precedente prepara cocktail mescolando 3 misurini di liquore, scelti fra gli 8
disponibili: quanti cocktail possono essere preparati? [120]
16. Dati 10 punti del piano, a 3 a 3 non allineati, quante sono le rette del piano che si ottengono congiungendo
i punti a 2 a 2? [45]
17. Ad un concorso con 3 posti partecipano 10 candidati. Quante sono le possibili terne di vincitori?
18. Quanti gruppi di 3 colori si possono formare con i 7 colori dell’iride? [35]
[120]