ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO - Ivan Cervesato

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6 Elementi di calcolo combinatorio Esempio 3.4 Il numero di possibili “ambi” (insiemi di 2 numeri, a prescindere dall’ordine con cui sono estratti) che possono essere formati con i 90 numeri del lotto è dato da C90,2 = 4 005. Come nel caso di permutazioni e disposizioni, anche per le combinazioni è possibile lasciare cadere l’ipotesi che gli oggetti siano distinti, ammettendo l’eventualità che vi possano essere ripetizioni: Definizione 3.2 Dati n oggetti e un intero k (non necessariamente minore o uguale a n), diciamo combinazione con ripetizione di classe k degli n oggetti ogni possibile gruppo di k oggetti, eventualmente con ripetizioni, tra gli n oggetti dati. Esempio 3.5 Siano A,B,C tre oggetti: le combinazioni con ripetizione di classe 2 di tali oggetti sono i sei gruppi possibili: AA, AB, AC, BB, BC, CC. Ci limitiamo a riportare, senza darne dimostrazione, il seguente Teorema 3.2 Il numero di combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k risulta n + k − 1 C ′ n,k = Esempio 3.6 Diverse tonalità di colore sono ottenute mescolando dieci misurini da un decilitro l’uno di rosso, di giallo e di blu: ogni tonalità risulta quindi una combinazione con ripetizione di n = 3 oggetti (i tre colori base) di classe k = 10 (il numero di decilitri indipendenti da miscelare). Il numero di tonalità diverse che si possono ottenere è quindi C ′ 3,10 = k 3 + 10 − 1 = 10 12 = 66 10 Esempio 3.7 Si deve determinare il massimo numero di termini (di monomi, ovviamente non simili) che può comparire in un polinomio omogeneo di 3 ◦ grado nelle variabili x, y, z, t: il massimo numero di monomi (tutti di 3 ◦ grado) che possono essere costruiti con le 4 lettere date, che evidentemente possono ripetersi (si pensi ai monomi le cui parti letterali sono xxy = x 2 y, oppure ttt = t 3 , ecc.), è dato da C ′ 4,3 = 20. Esempio 3.8 La distribuzione di k oggetti (tra loro indistinguibili) in n “scomparti” può essere effettuata modi diversi: ad esempio, il numero di modi in cui si possono collocare k = 10 bottiglie (uguali) su in C ′ n,k n = 4 ripiani è dato da C ′ 4,10 = 286. Esempio 3.9 Si deve calcolare il numero di modi in cui k = 10 bottiglie uguali possono essere disposte su n = 4 ripiani, richiedendo però che su ogni ripiano debba necessariamente essere posta almeno una bottiglia: dopo avere collocato una bottiglia su ciascuno dei ripiani, restano da distribuire 6 bottiglie su 4 ripiani: i modi possibili di fare ciò sono quindi C ′ 4,6 = 84. §4. PROPRIETÀ DEI COEFFICIENTI BINOMIALI Ricordiamo alcune proprietà, la cui verifica è pressochè immediata, di cui godono i coefficienti binomiali: Proprietà 1: n n = k n − k (3.4) (4.1)
Prof. <strong>Ivan</strong> <strong>Cervesato</strong> - L. S. Einstein 7 Infatti, in base alla (3.3) i due membri dell’uguaglianza possono essere esplicitati come: che evidentemente rappresenta la tesi. Proprietà 2: n = k n! k!(n − k)! = n! (n − k)!(n − n + k)! n − 1 + k − 1 n − 1 Anche in questo caso esplicitiamo, per mezzo della (3.3), tutti i coefficienti binomiali: ossia n! k!(n − k)! = n! k!(n − k)! = (n − 1)! (k − 1)!(n − 1 − k + 1)! + (n − 1)! (k − 1)!(n − k)! + k (n − 1)! k!(n − k − 1)! (n − 1)! k!(n − k − 1)! Osservando ora che il minimo denominatore comune delle due frazioni al membro di destra è k!(n − k)!, si ha da cui, raccogliendo (n − 1)! a numeratore: che è la tesi. n! k(n − 1)! + (n − k)(n − 1)! = k!(n − k)! k!(n − k)! n! (n − 1)!(k + n − k) = k!(n − k)! k!(n − k)! Proprietà 3: n = k + 1 n − k k + 1 Di nuovo, esplicitiamo i coefficienti binomiali: ⇒ n! n(n − 1)! = k!(n − k)! k!(n − k)! n k n! n − k = (k + 1)!(n − k − 1)! k + 1 · n! k!(n − k)! Con riferimento al membro di destra, risulta (k + 1)k! = (k + 1)! e (n − k)! = (n − k)(n − k − 1)!, quindi n! (k + 1)!(n − k − 1)! = (n − k)n! (k + 1)k!(n − k)(n − k − 1)! ⇒ che è la tesi. Proprietà 4: Risulta k · n n − 1 k = n k k − 1 n! (n − 1)! = n · k!(n − k)! (k − 1)!(n − k)! (4.2) (4.3) n! (k + 1)!(n − k − 1)! = n! (k + 1)!(n − k − 1)! Semplificando k con k! (rimane a denominatore (k − 1)!) e tenendo conto che n(n − 1)! = n! segue la tesi. (4.4)
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