ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO - Ivan Cervesato

§1. FUNZIONE FATTORIALE E PERMUTAZIONI
Cominciamo col dare la seguente
Prof. Ivan Cervesato - L. S. Einstein 3
Definizione 1.1 Assegnato un numero intero n > 0, la funzione che ad n associa il prodotto
n(n − 1)(n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1
è detta funzione fattoriale di n (o, semplicemente, fattoriale di n) ed è indicata con n!; per definizione si pone
inoltre 0! = 1.
Pertanto, in definitiva
Evidentemente, si ha
n! =
n(n − 1)(n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1 se n > 0
1 se n = 0
(1.1)
n! = n(n − 1)! con n ≥ 1 (1.2)
Tale relazione, insieme alla condizione 0! = 1, definisce quindi il fattoriale per ricorrenza.
Definizione 1.2 Assegnati n oggetti tutti distinti fra loro, chiamiamo permutazioni semplici degli n oggetti
tutti i diversi modi possibili di allineare (ossia di “mettere in fila”) gli n oggetti stessi.
Teorema 1.1 Indicato con Pn il numero di permutazioni di n oggetti tutti distinti tra loro, si ha che
Pn = n! (1.3)
Dim.: la dimostrazione è immediata: il primo oggetto può essere scelto in n modi diversi; il secondo oggetto
nei rimanenti (n − 1) modi (ossia tra i restanti (n − 1) oggetti), per un numero totale di modi di scelta dei
primi due oggetti pari a n(n−1). Il terzo oggetto può essere scelto in (n−2) modi (ossia tra i restanti (n−2)
oggetti), e così via sino all’ultimo oggetto, l’ n-esimo, che può essere scelto in un solo modo.
Esempio 1.1 Quanti sono gli anagrammi (anche privi di senso) che si possono formare dalla parola SOLE?
Si tratta evidentemente di determinare il numero di permutazioni semplici ottenibili con 4 oggetti (le 4 lettere
S, O, L, E): gli anagrammi sono quindi in numero di 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
Definizione 1.3 Le permutazioni di n oggetti, di cui r1 tutti uguali tra loro (e distinti dagli altri), r2 tutti
uguali tra loro (e distinti dagli altri), . . . rm tutti uguali tra loro (e distinti dagli altri), sono dette permutazioni
.
con ripetizione; il numero di tali permutazioni è indicato con la scrittura P (r1,r2,...,rm)
n
Teorema 1.2 Risulta
P (r1,r2,...,rm)
n
=
n!
r1!r2! . . . rm!
Di tale semplice teorema non diamo una dimostrazione “formale”: questa peraltro può essere facilmente
ricavata generalizzando il seguente
Esempio 1.2 Data la parola ALA, i suoi anagrammi sono solo 3: ALA, AAL, LAA. La lettera A risulta infatti
ripetuta due volte: se per comodità distinguessimo le due A scrivendone una maiuscola ed una minuscola (in
tal modo le due A diventano distinguibili), gli anagrammi sarebbero 6, come previsto dalla (1.3): ALa, aLA,
AaL, aAL, LAa, LaA. Se le due A sono indistinguibili (sono scritte entrambe in maiuscolo) gli anagrammi ALa
e aLA danno l’unico anagramma ALA e, analogamente, gli anagrammi AaL e aAL danno l’unico anagramma
AAL, ecc. Pertanto, gli anagrammi di una parola di n = 3 lettere, di cui una lettera è ripetuta r1 = 2 volte,
sono in numero di n!/r1! = 3!/2! = 3.
(1.4)