ELEMENTI DI MATEMATICA Volume primo - Ivan Cervesato

14 capitolo 1
Si consideri ora la funzione biunivoca di figura 6.5.
Fig. 6.5 Funzione biunivoca e funzione inversa.
Si dà quindi la seguente
In questo caso ad ogni elemento di A corrisponde
unoeunsoloelementodiB, come richiesto dalla
definizione 6.1, ma anche ad ogni elemento di B
corrisponde uno e un solo elemento di A (e questo
non è richiesto dalla definizione di funzione: ciò
accade solo per le funzioni biunivoche).
In altre parole, questa volta “invertendo” il verso
delle frecce si ottiene effettivamente una funzione
definita in B a valori in A, in figura indicata con
le frecce tratteggiate.
DEFINIZIONE 6.5 Sia f : A → B, conf biunivoca. Si definisce funzione inversa, indicata con la
scrittura f −1 , la funzione f −1 : B → A che ad ogni y ∈ B associalasuacontroimmaginex ∈ A.
L’importanza delle funzioni biunivoche consiste nel fatto di ammettere funzione inversa (o, come
anche si dice, di essere invertibili).
Si osservi che se f è biunivoca, allora evidentemente anche f −1 ètale,e(f−1 ) −1 = f.
DEFINIZIONE 6.6 Dati due insiemi A, B non vuoti, diremo che gli insiemi A e B si trovano in
corrispondenza biunivoca se esiste una funzione f : A → B biunivoca.
Dati una funzione f : A → B e X ⊂ A un sottoinsieme non vuoto di A, è possibile considerare
la funzione ϕ : X → B ottenuta “restringendo” f ad X, cioèassumendo come nuovo dominio di
f l’insieme X: la funzione ϕ è detta restrizione di f ad X ed è denotata con la scrittura f|X.
Viceversa, f è detta estensione di ϕ ad A.
Come si osservava poco sopra, i caratteri di suriettività, iniettività e biunivocità possono essere
alterati restringendo o estendendo opportunamente una funzione.
6.3 Funzione composta
Vale la seguente
DEFINIZIONE 6.7 Siano A, B, C tre insiemi non vuoti, e siano f e g due funzioni tali che f : A → B
e g : B → C. Chiamiamo allora funzione composta da g ed f (nell’ordine) la funzione h : A → C
tale che h(x) =g(f(x)).
Il significato della definizione ora data è piuttosto immediato da comprendere: la funzione f associa
al generico elemento x ∈ A il generico elemento y = f(x) ∈ B; la funzione g, definita in B, associa
al generico elemento y ∈ B il generico elemento z = g(y) ∈ C.